- •Кислицын А.А. Физика атома, атомного ядра и элементарных частиц
- •Силы Ван-дер-Ваальса
- •Рассмотрим два атома (или две молекулы), у кото-
- •Найдем энергию взаимодействия между двумя дипо- лями, изображенными на рисунке. Эта энергия обусловлена
- •Итак,
- •Обозначим:
- •Силы f12 и f21 найдем по формуле (28.2):
- •Покажем, что оба связанных осциллятора могут со- вершать простые колебания с одной и
- •Определитель:
- •Эти частоты называются нормальными, или главны- ми; одна из них немного меньше, а
- •Если начальные условия будут отличаться от
- •Подставляя эти условия в (28.10), находим:
- •В каждой из формул (28.11) есть множитель, мед-
- •Теперь найдем полную энергию связанных ос- цилляторов. Потенциальная энергия
- •Сделаем замену переменных:
- •Теперь применим полученные результаты к системе из двух квантовых осцилляторов. Согласно полу- ченным
- •Используя формулу бинома Ньютона:
- •Знак "минус" указывает на то, что между ато-
- •Зонная теория твердого тела
- •Рассмотрим в качестве примера литий (третий эле- мент в таблице Д.И.Менделеева). Это удобно
- •При сближении ато- мов возникает нес- колько эффектов.
- •Энергии стационарных состо- яний валентных электронов в кристалле различаются на очень маленькую вели-
- •Диэлектрики, полупроводники и проводники
- •Энергетические зоны.
- •В зависимости от того, как располо- жены энергетичес- кие зоны, твердые тела принято
- •У полупроводников щель между валент- ной зоной и зоной проводимости мно- го меньше,
- •В металлах валент- ная зона и зона про- водимости перекры- ваются. Расстояние
- •Квазичастицы в твердых телах
- •Но рождаться и исчезать могут не только фотоны. Одно из самых удивительных и
- •Таких процессов в настоящее время известно очень много, и квантовая теория поля была
- •Сточки зрения математики, основной чертой кванто- вой теории поля является введение операторов, описывающих
- •Вквантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией.
- •Аналогично оператор рождения частицы переводит систему из состояния с N частицами в состояние
- •Таким образом, в случае, когда состояние сис-
- •Если необходимо учесть, что частицы могут нахо- диться в различных состояниях, то, записывая
- •Рассмотрим выражение an am 0 . Сначала на Ψ0 дей-
- •Из операторов an и an можно построить играющий важную роль оператор числа частиц.
- •Поля, соответствующие квазичастицам в кристалли- ческой решетке, должны подчиняться условиям трансляционной симметрии, поэтому
- •Если неопределенность энергии много меньше са-
- •Вероятность распада квазичастицы зависит от числа других квазичастиц, с которыми данная частица взаимодействует,
- •Сростом температуры возрастает число квазичас- тиц с большой энергией, их взаимодействие стано- вится
- •Колебания решетки
- •Рассмотрим движение решетки более подробно. Бу-
- •Рассмотрим колебания одномерной цепочки
- •Обозначим через un смещение атома в узле решетки с номером n. Тогда уравнение
- •Из свойств трансляционной симметрии следует, что колебания всех атомов должны быть подобны друг
- •Итак, получено уравнение гармонического осцилля-
- •При уменьшении длины волны волновое число уве- личивается, и если величину ka/2 нельзя
- •Как видно из формулы (28.27), групповая скорость с ростом k уменьшается, и при
- •Мы рассмотрели простейший вид колебаний -
- •ФОНОНЫ
- •Напомним, что уравнение Шредингера для гармони-
- •Введем операторы рождения и уничтожения частиц (фононов):
- •Итак, колебания атомов решетки можно представить как излучение фононов, обладающих энергией j (k)
- •Вквантовой статистике формула, определяющая среднее количество частиц с энергией (распреде-
- •Взаимодействие фононов: их рассеяние друг на дру- ге, рождение, уничтожение - это результат
- •Для большинства чистых кристаллов это время дос- таточно велико, поэтому для них в
- •Фононы можно наблюдать в эксперименте и изме-рять их характеристики как у реальных частиц.
- •Введение квазичастиц позволило создать современ-
- •Описать этот процесс непосредственно очень слож- но. На языке электрон-фононного взаимодействия это выглядит
- •Вобычном (не сверхпроводящем состоянии) сопро- тивление электрическому току появляется в ре- зультате рассеяния
- •ДРУГИЕ КВАЗИЧАСТИЦЫ
- •Вферромагнетике магнон с квазиимпульсом k при малых k (т.е. для длинных волн) имеет
- •Поляритоны - составные квазичастицы, возникаю-
- •Поляроны - связанные состояния электронов и про- дольных оптических фононов в ионных кристал-
- •Экситоны - связанные состояния электрона и дырки в полупроводниках и в диэлектриках. Возбуждение
Из операторов an и an можно построить играющий важную роль оператор числа частиц. Таким опера- тором является "произведение" an an (т.е. последо-
вательное действие сначала an , затем an ). Дей-
ствительно, |
a a |
|
N |
N |
N |
(см. формулу (28.20)). |
|
n n |
|
|
|
Эти представления с успехом использованы в физи- ке твердого тела. В этой трактовке твердое тело рассматривается как совокупность квантованных полей - частиц различных типов (они получили название квазичастиц), взаимодействующих друг
с другом. Состояние всей системы определяется
заданием этих квазичастиц, а взаимодействие между ними - операторами рождения и уничтоже-
ния.
Поля, соответствующие квазичастицам в кристалли- ческой решетке, должны подчиняться условиям трансляционной симметрии, поэтому квазичасти-
цы в твердом теле - это кванты полей, характери-
зуемые энергией E(k), отвечающей волновому век-
тору k. Очень важным является вопрос о времени
жизни τ(k) квазичастиц. Это время определяется соотношением неопределенностей
(k) / E(k) / (k)
где Γ(k) - неопределенность энергии квазичастицы.
Если неопределенность энергии много меньше са-
мой энергии:
(k) / (k) E(k)
то время жизни достаточно велико, и можно гово-
рить о квазичастице с определенной энергией E и
определенным квазиимпульсом k. Если же Γ(k) того же порядка, что и E(k), то это означает, что квазичастица настолько быстро распадается на другие частицы, что нет смысла говорить о ней как
о независимом, физически наблюдаемом объекте.
(В физике элементарных частиц такие частицы называются резонансами). Поэтому время жизни,
по существу, и определяет, насколько оправдано
описание твердого тела как набора квазичастиц.
Вероятность распада квазичастицы зависит от числа других квазичастиц, с которыми данная частица взаимодействует, а количество квазичастиц зави-
сит от температуры: чем температура выше, тем
квазичастиц больше. Поэтому для твердого тела
характерной является зависимость времени жизни
квазичастиц от температуры. В области низких температур число квазичастиц мало, они слабо
взаимодействуют друг с другом, и времена их жиз- ни оказываются достаточно большими. В этом слу- чае твердое тело удается описать как газ слабо- взаимодействующих квазичастиц, полная энергия
которого складывается из энергий отдельных ква-
зичастиц: |
E E (k)n (k) |
|
k ,
где α - тип квазичастиц, число которых равно nα(k).
Сростом температуры возрастает число квазичас- тиц с большой энергией, их взаимодействие стано- вится более интенсивным, время жизни уменьша- ется, и при высоких температурах квазичастичное описание твердого тела становится непримени- мым.
Так же, как и в физике элементарных частиц, квази-
частицы делятся на бозоны (квазичастицы с це-
лым спином, они подчиняются статистике Бозе- Эйнштейна) и фермионы (квазичастицы с полуце- лым спином, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака). Далее мы подробнее рассмотрим
фононы, и кратко некоторые другие типы квазичас-
тиц .
Колебания решетки
Впредыдущих разделах мы рассматривали движе-
ние электронов в периодическом поле, которое создается атомами (ионами), находящимися в уз- лах кристаллической решетки. При этом мы счита- ли эти атомы (или ионы), составляющие решетку,
неподвижными. Такая постановка задачи является
идеализацией, поскольку атомы (ионы) решетки на самом деле не являются неподвижными, а совер-
шают колебания вблизи своего положения равно-
весия. При рассмотрении некоторых свойств твер- дых тел, таких как теплоемкость, электрическое
сопротивление и др., эти колебания оказываются весьма существенными.
Рассмотрим движение решетки более подробно. Бу-
дем считать, что атомы совершают гармонические
колебания относительно своих положений равно- весия в узлах решетки. Детальное описание дви-
жения атомов весьма затруднительно, т.к. требует
знания особенностей структуры данного кристал- ла. Но колебания с малой частотой (длинноволно-
вые колебания) можно описать сравнительно про-
сто, если использовать следующее предположе- ние: длинноволновые колебания - это звуковые ко-
лебания, которые представляют собой коллектив-
ные движения атомов твердого тела. Другими сло- вами, будем рассматривать эти движения как вол- ны деформации (звуковые волны), распространяю- щиеся в твердом теле, не интересуясь деталями перемещения каждого атома в отдельности.
Рассмотрим колебания одномерной цепочки
из N атомов одинаковой массы M, располо-
женных на расстоянии a друг от друга и свя- занных квазиупругими силами с силовой по- стоянной ("коэффициентом упругости") f.
Обозначим через un смещение атома в узле решетки с номером n. Тогда уравнение движение этого ато- ма можно записать в виде:
M |
d 2u2n |
f un un 1 f un 1 un |
(28.23) |
|
dt |
|
|
где справа от знака равенства записана разность сил, действующих со стороны правого (n+1) и ле- вого (n-1) соседей. Поскольку n может принимать
все значения от 1 до N, то получается система из N
дифференциальных уравнений, решить которую при больших значениях N очень трудно. Однако учет свойств трансляционной симметрии решетки облегчает задачу.
Из свойств трансляционной симметрии следует, что колебания всех атомов должны быть подобны друг другу, и поэтому смещение атома в некотором уз- ле n+m может отличаться от смещения в узле n
лишь фазой: |
un m (t) un (t) eikma |
|
|
|
(28.24) |
где k - волновое число, соответствующее колебани- ям с длиной волны λ = 2π/k. Подставляем (28.24) в уравнение (28.23):
M ddt2u2n f un un e ika f un eika un fun 1 e ika fun eika 1
fun 1 cos ka isin ka fun cos ka isin ka 1 2 f 1 cos ka un ,
иполучаем стандартное уравнение для гармоничес-
кого осциллятора.