47.Випадкові події. Класичне означення ймовірності. Властивості ймовірності.

Випадкова подія

О.1: Це подія, що може відбутися або не відбутися в результаті певного досліду.

О.2: Подія називається несумісною, якщо поява одного виключає появу іншого.

О.3: Події утворюють повну групу подій, якщо в результаті досліду з’явиться одна з них.

З О.2 і О.3 випливає, що якщо події дійсні і утворюються повну групу то в результаті досліду відбудеться тільки одна з цих подій.

О.4: Події є рівно можливими, якщо кожна з них не є більш можливою.

Класичне означення ймовірності.

Ймовірність – число, що характеризує можливість того, що відбудеться певна подія.

О.1: Ймовірність називається відношення сприятливих подій до числа всіх подій, що утворюють повну групу.

P(A) = m/n

З означення рівно можливих =>

1.Ймовірність достовірної події = 1, тобто будь який результат нас влаштовує.

2.Неможливої = 0

3.Випадової події – додатне число, що знах між 0 і 1.

Випадково може відбутися, а може не відбутися ( 0<n<m).

0< n/m <1 ; 0< F(A) <1

Отже маємо, що ймовірність будь-якої події є 0< P(A) <1.

Аксіома 1: В кожній події А ставиться відповідне невідоме число.

Аксіома 2: Ймовірність достовірної події = 1.

Аксіома 3: Ймовірність 2ох подій = сумі ймовірностей.

Основні комбінаторики.

О.1: Перестановкою називається комбінації, що складаються з елементів і відрізняються їх порядком.

О.2: Розміщенням називається комбінація з n елементів по m елементів, які визначаються складом або порядком цих елементів.

A ^m_n = n! / (n-m)!

О.3: Поєднанням (комбінаціями) називається комбінація з n елементів п m елементів, що відрізняються складом.

C^m_n = n! / (n-m)!m!

Зауваження 1:

A^m_n = PmC^m_n

Зауваження 2: Важливо, що ці елементи різні (не повторюються).

Досить часто використовуються наступні умови.

Правило суми: Якщо деякий об’єкт А можна вибрати з цих об’єктів m способами, а B n способами, то вибрати А або B можна n+m способами.

Правило добутку: А -> m, B-> n, то вибрати (А,B) можна m*n способами.

48.Відносна частота. Означення статичної і геометричної ймовірностей.

Відносна частота. Статична ймовірність

Відносна частота – це відносна кількість сприятливих до кількості проведених дослідів.

W(F)=m/n

Статичне означення – в якості імовірності події А прийм. Відносну частину цієї події

Геометричне означення ймовірності

Якщо є відрізок що містить в великому то ймовірність находження маленького відрізку в ньому P(B)=l/L

Якщо є на прощині область d вписана в Q ймовірність того , що точка В(х) попаде в d=P(B)=g/G (g,G площі).

49.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій. Повна група подій. Протилежні події.

Теорема додавання ймовірних не несумісних подій

Означення : сумою подій А і В (А+В) називається подія А , або подія В , або подія А і В

Якщо А і В несумісні : Або А , або В і перетину немає

Сума трьох подій А,В,С = або А , або В, або С, або А і В, (А і С (ВС) А і В і С ;

Теорема: ймовірність появи однієї з 20ти несумісних подій = ∑ ймовірностей цих подій

Р(А+В)=Р(А)=Р(В)

Доказ: n раз проводили дослід : М₁ – кількість раз для В . М₂ – кількість для А

Р(А+В)=М₁+М₂/n= М₁/n+M₂= Р(А)-Р(В)

Наслідок. Ймовірність появи хоча б однієї з подій А₁+…+Аn( несумісних) дорівнює:

P(А₁+…+Аn)=P(А₁)+…+P(Аn)

Повна група подій. Протилежні події

Теорема: Сума ймовірних несумісних подій, що утворюють повну групу =1

Доказ: Дійсно А₁+…+Аn – несумісні , утворюють повну групу.

P(А₁+…+Аn)=P(А₁)+…+P(Аn)=1

Означення Протилежні дві єдині несумісних подій , що утворюють повну групу

Події А,А’;

Теорема: Сума протилежних подій =1