Poper_zgyn_plastyn

де 4 w = 2 2 w - двомірний оператор Лапласа.

Рівняння (26) називають основним рівнянням згину пластинки або рівнянням Софі Жермен. Після того, як функція прогинів w(x, y) буде знайдена як розв’язок цього рівняння, через прогини легко обчислити по отриманих раніше формулах зусилля та напруження в пластинці.

Для розв’язання цього рівняння та визначення сталих інтегрування потрібно знати умови на контурі пластинки. Кількість сталих інтегрування для диференціального рівняння четвертого порядку в частинних похідних дорівнює 8, отже для прямокутної пластинки на кожному краї контуру треба задати дві граничні умови.

6. Граничні умови.

Граничні умови задаються в залежності від характеру закріплень контуру пластинки.

Умови, при яких на контурі задаються переміщення (тобто прогини або кути повороту серединної площини), називаються геометричними.

Умови, при яких на контурі задаються зусилля (згинальні або крутні моменти та поперечні сили), називаються статичними.

Якщо одночасно задаються і переміщення, і зусилля, то умови називаються

змішаними.

x

b

Рис.4

y

12

Розглянемо прямокутну пластинку та визначимо граничні умови на контурі при різних типах закріплення її кінців (рис.4).

1). Розглянемо защемлений край ОА.

В защемленні відсутні прогини та неможливий кут повороту защемленого перерізу відносно осі Ох. Тому граничні умови можуть бути сформульовані так:

w(x,0) = 0

∂ (27)w (x,0) = 0

∂y

Отримані умови є геометричними.

2). Розглянемо шарнірно опертий край АВ.

На ньому дорівнюють нулю прогини та згинальний момент. Враховуючи зв’язок між згинальним моментом та прогином (20), можемо записати:

друга умова спрощується:

Отримані умови є змішаними. 3) Вільний край СВ.

Так як в цьому перерізі немає ніяких напружень, то треба прирівняти до нуля всі три зусилля, які можуть виникати у перерізі: поперечну силу, згинальний та крутний моменти. Отже кількість сформульованих граничних умов перевищує необхідну (три

13

замість двох). Наявність такого протиріччя пояснюється тим, що задача розв’язується в наближеній постановці. Задовольнити всім граничним умовам немає можливості.

Вказаного протиріччя позбуваються за допомогою штучного прийому об’єднання крутного моменту та поперечної сили в одну силу, статично їм еквівалентну.

Розглянемо крутний момент Н, розподілений вздовж грані СВ, яка паралельна осі х. На довжині dx діє крутний момент, рівний Н dx. Його можна зобразити у вигляді двох вертикальних протилежно спрямованих сил Н з плечем dx. Подібну заміну крутних моментів на вертикальні сили можна здійснити по всій довжині грані СВ. На межі кожної нескінченно малої ділянки dx , за виключенням кінцевих точок С та В, буде прикладено по

дві протилежно спрямовані сили, різниця між якими складає ∂∂Hx dx , тобто вздовж грані

буде діяти вертикальне розподілене навантаження інтенсивності ∂∂Hx . В точках С та В

виникнуть зосереджені сили НС та НВ. Отримане вертикальне навантаження можна об’єднати з поперечною силою Qy та рахувати, що на грані СВ діє приведена поперечна

сила інтенсивністю Qyприв = Qy + ∂∂Hx .

Аналогічно, вздовж граней пластинки, паралельних осі у діятиме приведена поперечна сила інтенсивності Qxприв = Qx + ∂∂Hy .

Для отримання граничної умови у кінцевому вигляді скористуємося виразами для крутного моменту через функцію прогинів (24):

Треба мати на увазі, що граничні умови будуть виконуватись наближено, але на основі принципу Сен-Венана така заміна приведе лише до появи місцевих напружень поблизу краю пластинки, що розглядається.

Отже, на грані СВ умови на контурі пластинки можна записати у вигляді:

14

Отримані умови є статичними.

7. Елементарні приклади згину пластинок.

Розглянемо декілька простих прикладів згину пластинки, які мають важливе значення для розуміння особливостей роботи пластин при згині.

7.1.Циліндричний згин пластини.

Циліндричним згином називається такий згин, при якому серединна площина пластинки переходить у циліндричну поверхню.

Уявимо пластинку, нескінченно довгу в напрямку осі у, завантажену сталим в напрямі цієї осі навантаженням (рис.5).

a

q=q(x) O

x

1

y

z

Рис.5

Вздовж осі х навантаження може змінюватися довільно q = q(x) . Всі смужки одиничної ширини, виділені з цієї пластинки, будуть згинатися однаково та в цілому пластинка буде зігнутою по циліндричній поверхні w = w(x) . Рівняння Софі Жермен запишеться у вигляді:

15

Рівняння, що описує циліндричний згин пластини, співпадає з рівнянням згину балки, у якої жорсткість перерізу на згин дорівнює EJ = D . Звідси й назва величини D – циліндрична жорсткість.

Проінтегруємо отримане рівняння. Нехай, наприклад, q = q0 ax , тоді загальний інтеграл рівняння (32) буде мати вигляд:

Якщо пластинка має скінчені розміри, то для утворення її циліндричного згину на кромках, паралельних х, повинні бути прикладені моменти Му аналогічно тому, як це зображено для смужки, вирізаної з безмежної пластини.

7.2 Чистий згин пластини.

Чистим згином пластинки називається такий згин, при якому в усіх її поперечних перерізах поперечна сила відсутня.

Розглянемо прямокутну пластинку, вільну від закріплень, на контурі якої прикладені згинальні моменти (рис.6):

Початок координат розмістимо в центрі пластинки. Для визначення прогинів скористуємося диференціальним рівнянням (26), яке задовольняється, якщо прийняти w = 0,5C1 x2 + 0,5C2 y2 . Константи С1 та С2 знайдемо з граничних умов (35):

M x = −D(C1 + µC2 ) = m1 ;

16

M y = −D(C2 + µC1 ) = m2 ;

Н=0.

x

m1

m2

y z

Рис.6

Розв’язуючи ці рівняння відносно С1 та С2, визначимо:

та рівняння поверхні прогинів запишеться у вигляді:

w = 2D(11− µ2 ) [(µ m2 − m1 )x2 + (µ m1 − m2 )y2 ].

Отже, в усіх перерізах пластини, паралельних осям х та у , діють тільки згинальні моменти сталого значення. Інших зусиль в цих перерізах не виникає: H = Qx = Qy = 0 .

8.Методи розв’язання основного рівняння згину пластинки.

Взагальному випадку відшукування функції w(x, y) , яка б задовольняла рівнянню

(26)та граничним умовам, є досить складною задачею, тому її зазвичай не розв’язують у замкнутій формі, а застосовують чисельні або наближені методи. Найбільш поширеними є розв’язок у подвійних тригонометричних рядах (розв’язок Нав’є), розв’язок у одинарних тригонометричних рядах (розв’язок Леві) та чисельний метод скінчених різниць. Розглянемо більш детально кожен з них.

8.1 Розв’язок у подвійних тригонометричних рядах (розв’язок Нав’є).

Цей розв’язок, запропонований Нав’є, придатний при дії довільного поперечного навантаження, якщо всі сторони прямокутної пластини є шарнірно опертими.

Розв’язок шукаємо у вигляді нескінченого ряду:

17

де Аmn – константи, коефіцієнти ряда.

Для шарнірно опертої по контуру пластинки маємо такі граничні умови:

Легко перевірити, що граничні умови (37) для функції прогинів та для похідних:

Визначимо коефіцієнти ряду Аmn. Для цього функцію w(x,y), представлену у вигляді (36), підставимо в основне рівняння згину пластинки. Після простих перетворень отримуємо:

Інтенсивність навантаження q(x,y) розкладемо у подвійний тригонометричний ряд

Два ряди є рівними, якщо рівні їхні коефіцієнти, отже з (38) та (39) випливає:

18

Розглянемо один з часткових випадків, коли q = const .

Отже, максимальне значення прогину виникає в центрі пластинки та дорівнює:

співвідношення ba та може бути табульованим.

Підставляючи функцію прогинів у формули (20), (21) для згинальних моментів, отримуємо: