Частина 4

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Повторення випробувань. Формула Бернуллі.

Якщо проводиться деяка кількість випробувань, в результаті яких може відбутися або не відбутися подія А, і ймовірність появи цієї події в кожному з випробувань не залежить від результатів решти випробувань, то такі випробування називаються незалежними щодо події А.

Допустимо, що подія А наступає в кожному випробуванні з ймовірністю Р(А)=р. Визначимо ймовірність Рт,п того, що в результаті п випробувань подія А наступило рівно т разів.

Цю ймовірність в принципі можна порахувати, використовуючи теореми складання і множення ймовірності, як це робилося в розглянутих вище прикладах. Проте, при достатньо великій кількості випробувань це приводить до дуже великих обчислень. Таким чином, виникає необхідність розробити загальний підхід до рішення поставленої задачі. Цей підхід реалізований у формулі Бернуллі. (Якоб Бернуллі (1654

– 1705) – швейцарський математик)

Хай в результаті п незалежних випробувань, проведених в однакових умовах, подія А наступає з ймовірністю Р(А)= р, а протилежна йому подія А з ймовірністю

P(A) =1 − p .

Позначимо Ai – настання події А у випробуванні з номером i. Оскільки умови проведення дослідів однакові, то ця ймовірність рівна.

Якщо в результаті п дослідів подія А наступає рівно т разів, то решта п-т разів ця подія не наступає. Подія А може з'явитися т разів в п випробуваннях в різних комбінаціях, число яких рівне кількості поєднань з п елементів по т. Ця кількість сочетаний знаходиться по формулі:

Ймовірність кожної комбінації рівна твору ймовірності:

pm (1− p)n−m

Застосовуючи теорему складання ймовірності несумісних подій, отримуємо

формулу Бернуллі:

Pm,n = m!(nn−! m)! pm (1 − p)n−m

Формула Бернуллі важлива тим, що справедлива для будь-якої кількості незалежних випробувань, тобто того самого випадку, в якому найчіткіше виявляються закони теорії ймовірності.

Приклад. По меті робиться 5 пострілів. Ймовірність попадання для кожного пострілу рівна 0,4. Знайти ймовірність того, що в мету потрапили не менше трьох разів.

Ймовірність не менше трьох попадань складається з ймовірності п'яти попадань, чотирьох попадань і трьох попадань.

Оскільки постріли незалежні, то можна застосувати формулу Бернуллі ймовірності того, що в т випробуваннях подія у ймовірністю р наступає рівно п разів.

Pm,n = m!(nn−! m)! pm (1 − p)n−m

11

“Курс вищої математики. Частина 4.”

У разі п'яти попадань з п'яти можливих:

P5,5 = p5 = 0,45 = 0,01024

Чотири попадання з п'яти пострілів:

P4,5 = 4!5!1! p4 (1 − p) = 0,0768

Три попадання з п'яти:

Остаточно, отримуємо ймовірність не менше трьох попадань з п'яти пострілів:

P = 0,01204 + 0,0768 + 0,2304 = 0,31744

Випадкові величини.

Вище розглядалися випадкові події, що є якісною характеристикою випадкового результату досвіду. Для отримання кількісної характеристики вводиться поняття випадкової величини.

Визначення. Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може приймати те або інше значення, причому заздалегідь відоме яке саме.

Випадкові величини можна розділити на дві категорії.

Визначення. Дискретною випадковою величиною називається така величина,

яка в результаті досвіду може приймати певні значення з певною ймовірністю, створюючі рахункову множину (множина, елементи якої можуть бути занумеровані).

Ця множина може бути як кінцевою, так і нескінченною.

Наприклад, кількість пострілів до першого попадання в ціль є дискретною випадковою величиною, оскільки ця величина може приймати і нескінченну, хоча і рахункову кількість значень.

Визначення. Безперервною випадковою величиною називається така величина, яка може приймати будь-які значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Очевидно, що число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченне.

Для завдання випадкової величини недостатньо просто вказати її значення, необхідно також вказати ймовірність цього значення.

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Визначення. Співвідношення між можливими значеннями випадкової величини і їх ймовірністю називається законом розподілу дискретної випадкової величини.

Закон розподілу може бути заданий аналітично, у вигляді таблиці або графічно. Таблиця відповідності значень випадкової величини і їх ймовірності називається

поряд розподілу.

12

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Графічне представлення цієї таблиці називається багатокутником розподілу. При цьому сума все ординат багатокутника розподілу є ймовірністю всіх можливих значень випадкової величини, а, отже, рівна одиниці.

Приклад. По меті робиться 5 пострілів. Ймовірність попадання для кожного пострілу рівна 0,4. Знайти ймовірність числа попадань і побудувати багатокутник розподілу.

Ймовірність п'яти попадань з п'яти можливих, чотири з п'яти і три з п'яти були знайдені выше по формулі Бернуллі і рівні відповідно:

Представимо графічно залежність числа попадань від їх ймовірності.

При побудові багатокутника розподілу треба пам'ятати, що з'єднання отриманих крапок носить умовний характер. У проміжках між значеннями випадкової величини ймовірність не приймає ніякого значення. Крапки сполучені тільки для наочності.

Приклад. Ймовірність хоч би одного попадання в мішень стрільцем при трьох пострілах рівна 0,875. Знайти ймовірність попадання в мішень при одному пострілі.

Якщо позначити р – ймовірність попадання стрільцем в мішень при одному пострілі, то ймовірність промаху при одному пострілі, очевидно, рівна (1 – р).

Ймовірність трьох промахів з трьох пострілів рівна (1 – р)3. Ця ймовірність рівна 1 – 0,875 = 0,125, тобто в мету не потрапляють жодного разу.

Отримуємо: (1 − p)3 = 0,125; 1 − p = 0,5; p = 0,5.

13

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Приклад. У першій коробці міститься 10 куль, з них 8 білих; у другій коробці 20 куль, з них 4 білих. З кожної коробки навмання витягували по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання беруть одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля біла.

Ймовірність того, що узята з першої коробки куля біла - P1 (Б) = 0,8, що не білий

- Р1 (НБ) = 0,2 .

Ймовірність того, що узята з другої коробки куля біла - Р2 (Б) = 0,2, що не білий

- Р2 (НБ) = 0,8.

Ймовірність того, що повторно вибрана куля, що витягує з першої коробки і ймовірність того, що повторно вибрана куля, що витягує з другої коробки, рівні 0,5.

Ймовірність того, що повторно вибрана куля, що витягує з першої коробки, і він

білий - p1 = 0,5 Р1 (Б) = 0,5 0,8 = 0,4.

Ймовірність того, що повторно вибрана куля, що витягує з другої коробки, і він

білий - p2 = 0,5 Р2 (Б) = 0,5 0,2 = 0,1.

Ймовірність того, що повторно буде вибраний біла куля, рівна

P = p1 + p2 = 0,4 + 0,1 = 0,5.

Приклад. Є п'ять гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець уразить ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, рівна 0,95, для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що мета буде уражена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання вибраної гвинтівки.

Ймовірність того, що вибрана гвинтівка з оптичним прицілом, позначимоP0 = 53 ,

а ймовірність того, що вибрана гвинтівка без оптичного прицілу, позначимо PБО = 52 .

Ймовірність того, що вибрали гвинтівку з оптичним прицілом, і при цьому мета була ураженаP1 = P0 P(ПЦ / О) , де Р(Пц/o) – ймовірність ураження цілі з гвинтівки з

оптичним прицілом.

Аналогічно, ймовірність того, що вибрали гвинтівку без оптичного прицілу, і при цьому мета була ураженаP1 = PБО P(ПЦ / БО) , де Р(Пц/бo) – ймовірність

ураження цілі з гвинтівки без оптичного прицілу.

Остаточна ймовірність ураження цілі рівна сумі ймовірності Р1 і Р2, оскільки для ураження цілі досить, щоб відбулася одна з цих несумісних подій.

P = P1 + P2 = 0,95 0,6 + 0,7 0,4 = 0,57 + 0,28 = 0,85

Приклад. Троє мисливців одночасно вистрілили по ведмедеві, який був убитий однією кулею. Визначити ймовірність того, що ведмідь був убитий першим стрільцем, якщо ймовірність попадання для цих стрільців рівна відповідно 0,3, 0,4, 0,5.

У цьому завданні потрібно визначити ймовірність гіпотези вже після того, як подія вже здійснилася. Для визначення шуканої ймовірності треба скористатися формулою Бейеса. У нашому випадку вона має вигляд:

14

“Курс вищої математики. Частина 4.”

У цій формулі Н1, Н2, Н3 – гіпотези, що ведмедя уб'є перший, другий і третій стрілець відповідно. До твору пострілів ці гіпотези рівноімовірні і їх ймовірність рівна 13 .

P(H1/A) – ймовірність того, що ведмедя убив перший стрілець за умови, що постріли вже зроблені (подія А).

Ймовірність того, що ведмедя уб'є перший, другий або третій стрілець, обчислені до пострілів, рівні відповідно:

P(A / H1 ) = p1q2 q3 = 0,3 0,6 0,5 = 0,09

P(A / H 2 ) = q1 p2 q3 = 0,7 0,4 0,5 = 0,14

P(A / H3 ) = q1q2 p3 = 0,7 0,6 0,5 = 0,21

Тут q1 = 0,7; q2 = 0,6; q3 = 0,5 – ймовірність промаху для кожного із стрільців, розраховані як q = 1 – p, де р – ймовірність попадання для кожного із стрільців.

Підставимо ці значення у формулу Бейеса:

Приклад. Послідовно послано чотири радіосигнали. Ймовірність прийому кожного з них не залежать від того, чи прийнята решта сигналів, чи ні. Ймовірність прийому сигналів рівна відповідно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Визначити ймовірність прийому трьох радіосигналів.

Подія прийому трьох сигналів з чотирьох можливо в чотирьох випадках:

Для прийому трьох сигналів необхідно здійснення одне з подій А, В, З або D. Таким чином, знаходимо шукану ймовірність:

P = 0,012 + 0,018 + 0,028 + 0,048 = 0,106.

Приклад. Двадцять екзаменаційних квитків містять по два питання, які не повторюються. Той, що іспитується знає відповіді тільки на 35 питань. Визначити ймовірність того, що іспит буде складений, якщо для цього досить відповісти на два питання одного квитка або на одне питання одного квитка і на вказане додаткове питання з іншого квитка.

В цілому є 40 питань (по 2 в кожному з 20 квитків). Ймовірність того, що випадає питання, на яку відповідь відомий, очевидно, рівна 3540 .

Для того, щоб скласти іспит, потрібний здійснення одне з трьох подій:

15

“Курс вищої математики. Частина 4.”

1) Подія A – відповіли на перше питання (ймовірність 3540 ) і відповіли на друге

питання (ймовірність 3439 ). Оскільки після успішної відповіді на перше питання залишається ще 39 питань, на 34 з яких відповіді відомі.

P(A) = 3540 3439 = 0,7628

2) Подія В – на перше питання відповіли (ймовірність 3540 ), на другій – ні

(ймовірність 395 ), на третій – відповіли (ймовірність 3438 ).

P(B) = 3540 395 3438 = 0,1004

3) Подія З – на перше питання не відповіли (ймовірність 405 ), на другій – відповіли (ймовірність 3935 ), на третій – відповіли (ймовірність 3438 ).

P(C) = 405 3935 3438 = 0,1004

Ймовірність того, що за заданих умов іспит буде складений рівна:

P = P( A) + P(B) + P(C) = 0,9636

Приклад. Є дві партії однорідних деталей. Перша партія складається з 12 деталей, 3 з яких - браковані. Друга партія складається з 15 деталей, 4 з яких – браковані. З першої і другої партій витягують по дві деталі. Яка ймовірність того, що серед них немає бракованих деталей.

Ймовірність виявитися не бракованою для першої деталі, що витягує з першої партії, рівна p1 = 129 , для другої деталі, що витягує з першої партії за умови, що перша

деталь була не бракованою, - p2 = 118 .

Ймовірність виявитися не бракованою для першої деталі, що витягує з другої партії, рівна p3 = 1511 , для другої деталі, що витягує з другої партії за умови, що перша

деталь була не бракованою, - p4 = 1014 .

Ймовірність того, що серед чотирьох деталей, що витягують, немає бракованих,

рівна:

.

16

Розглянемо той же приклад, але декілька з іншою умовою.

Приклад. Є дві партії однорідних деталей. Перша партія складається з 12 деталей, 3 з яких - браковані. Друга партія складається з 15 деталей, 4 з яких – браковані. З першої партії витягуються навмання 5 деталей, а з другої – 7 деталей. Ці деталі утворюють нову партію. Яка ймовірність дістати з них браковану деталь?

Для того, щоб вибрана навмання деталь була б бракованою, необхідно виконання одне з двох несумісних умов:

1) Вибрана деталь була з першої партії (ймовірність - 125 ) і при цьому вона – бракована (ймовірність - 123 ). Остаточно:

p1 = 125 123 = 0,1041;

2) Вибрана деталь була з другої партії (ймовірність - 127 ) і при цьому вона – бракована (ймовірність - 154 ). Остаточно:

p2 = 127 154 = 0,1556;

Остаточно, отримуємо: p = p1 + p2 = 0,2597 .

Приклад. У урні 3 білих і 5 чорних куль. З урни виймають навмання дві кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі не одного кольору.

Подія, що полягає в тому, що вибрані кулі різного кольору відбудеться в одному

здвох випадків:

1)Перша куля біла (ймовірність - 83 ), а другий – чорний (ймовірність - 75 ).

2)Перша куля чорна (ймовірність - 85 ), а другий – білий (ймовірність - 73 ).

Остаточно отримуємо: p = 83 75 + 85 73 = 1528 .

Біномінальний розподіл.

Якщо проводиться п незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з'явитися з однаковою ймовірністю р в кожному з випробувань, то ймовірність того, що подія не з'явиться, рівна q = 1 – р.

Приймемо число появ події в кожному з випробувань за деяку випадкову величину Х.

17

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Щоб знайти закон розподілу цієї випадкової величини, необхідно визначити значення цієї величини і їх ймовірності.

Значення знайти досить просто. Очевидно, що в результаті п випробувань подія може не з'явитися зовсім, з'явитися один раз, двічі, три і так далі до п разів.

Ймовірність кожного значення цієї випадкової величини можна знайти по формулі Бернуллі.

Ця формула аналітично виражає шуканий закон розподілу. Цей закон розподілу називається біномінальним.

Приклад. У партії 10% нестандартних деталей. Навмання відібрано 4 деталі. Написати біномінальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа нестандартних деталей серед чотирьох відібраних і побудувати багатокутник отриманого розподілу.

Ймовірність появи нестандартної деталі в кожному випадку рівна 0,1. Знайдемо ймовірність того, що серед відібраних деталей:

1) Взагалі немає нестандартних.

P4 (0) = 0!4!4!0,10 0,94 = 0,6561

2) Одна нестандартна.

P4 (1) = 1!43!! 0,11 0,93 = 0,2916

3) Дві нестандартні деталі.

P4 (2) = 2!4!2!0,12 0,92 = 0,0486

4) Три нестандартні деталі.

P4 (3) = 3!4!1!0,13 0,91 = 0,0036 5) Чотири нестандартні деталі.

P4 (4) = 4!4!0!0,14 0,90 = 0,0001

Побудуємо багатокутник розподілу.

18

“Курс вищої математики. Частина 4.”

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Приклад. Дві гральні кістки одночасно кидають 2 рази. Написати біномінальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа випадань парного числа окулярів на двох гральних кістках.

Кожна гральна кістка має три варіанти парних окулярів – 2, 4 і 6 з шести можливих, таким чином, ймовірність випадання парного числа окулярів на одній кістці рівна 0,5.

Ймовірність одночасного випадання парних окулярів на двох кістках рівна 0,25. Ймовірність того, що при двох випробуваннях обидва рази випали парні окуляри

на обох кістках, рівна:

P2 (2) = 0!2!2!0,252 0,750 = 0,0625

Ймовірність того, що при двох випробуваннях один раз випали парні окуляри на обох кістках:

P2 (1) = 1!21!! 0,251 0,751 = 0,375

Ймовірність того, що при двох випробуваннях жодного разу не випаді парного числа окулярів на обох кістках:

P2 (0) = 0!2!2!0,250 0,752 = 0,5625

ЛЕКЦІЯ 3.

Розподіл Пуассона.

(Сімеон Подіни Пуассон (1781 – 1840) – французького математика)

Хай проводиться п незалежних випробувань, в яких поява події А має ймовірність р. Якщо число випробувань п достатньо велике, а ймовірність появи події А в кожному випробуванні мало (p0,1)≤, то для знаходження ймовірності появи події А до раз знаходиться таким чином.

Зробимо важливе допущення – твір пр зберігає постійне значення: np = λ

Практично це допущення означає, що середнє число появи події в різних серіях випробувань (при разном п) залишається незмінним.

19

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Якщо відомі числа λ і до, то значення ймовірності можна знайти по відповідних таблицях розподілу Пуассона.

Числові характеристики дискретних випадкових величин.

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Проте, коли неможливо знайти закон розподілу, або цього не вимагається, можна обмежитися знаходженням значень, званих числовими характеристиками випадкової величини. Ці величини визначають деяке середнє значення, навколо якого групуються значення випадкової величини, і ступінь їх розкиданості навколо цього середнього значення.

Визначення. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини на їх ймовірності.

n

mx = M (X ) = x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn = ∑xi pi

i=1

Математичне очікування існує, якщо ряд, що стоїть в правій частині рівності, сходиться абсолютно.

З погляду ймовірності можна сказати, що математичне очікування приблизно рівне середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.

Властивості математичного очікування.

1)Математичне очікування постійної величини рівне самою постійною.

М(С) = С

2)Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування.

M (Cx) = CM (x)

20