Частина 4

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Крайні значення інтервалу відхиляються від математичного очікування на одну і ту ж величину, а саме – на 500. Тоді можна записати з урахуванням нерівності Чебишева:

P(2500 ≤ X ≤ 3500) = P( X − mx ≤ 500) ≥1 − Dx 2 500

Звідси отримуємо:

P ≥1 − 2500002500 = 0,99

Тобто шукана ймовірність буде не менша, ніж 0,99.

Приклад. Середнє квадратичне відхилення кожною з 2500 незалежних випадкових величин не перевершує 3. Оцінити ймовірність того, що абсолютна величина відхилення середнього арифметичного цих випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних очікувань не перевершує 0,3.

Нерівність Чебишева у разі суми випадкових величин має вигляд:

Якщо середнє квадратичне відхилення не перевершує 3, то, очевидно, дисперсія не перевершує 9. Величина ε по умові завдання рівна 0,3.

p ≥1 −0,04 = 0,96

Приклад. Вибірковим шляхом потрібно визначити середню довжину деталей, що виготовляються. Скільки потрібно досліджувати деталей, щоб з ймовірністю, більшою чим 0,9, можна було стверджувати, що середня довжина відібраних виробів відрізнятиметься від математичного очікування цього середнього (середня довжина деталей всієї партії) не більш, ніж на 0,001 см.? Встановлено, що середнє квадратичне відхилення довжини деталі не перевищує 0,04 див.

По умові якщо середнє квадратичне відхилення не перевищує 0,04, то дисперсія, очевидно, не перевищує (0,04)2. Також по умові задано, що

51

Тобто для досягнення необхідної ймовірності необхідно відібрати більше 16000 деталей.

Описаний підхід, як видно, дозволяє вирішити множину чисто практичних завдань.

Приклад. Ймовірність того, що наугад вибрана деталь виявиться бракованою, при кожній перевірці одна і та ж і рівна 0,2. Визначити ймовірність того, що серед 50 навмання вибраних деталей бракованих опиниться не менше 6.

Для того, щоб скористатися теоремою Муавра - Лапласа знайдемо математичне очікування і дисперсію кількості бракованих деталей в 50 – ти відібраних:

mx = np = 50 0,2 =10

Dx = npq = 50 0,2 0,8 = 8

Фактично в завданні потрібно визначити ймовірність того, що бракованих деталей буде не менше шість, але і, очевидно, не більш 50ти.

Значення функції Лапласа знаходяться по таблиці. Звичайно, значення функції Лапласа Ф(10) в таблиці немає, але оскільки в таблицях вказано, що Ф(3)=1,0000, то всі значення від величин, що перевищують 3 також рівні 1. Додатково див. Функция Лапласа.

Приклад. Відомо, що 60% всього числа виробів, що виготовляються заводом, є виробами першого сорту. Приймальник бере ті, що перші попалися 200 виробів. Чому рівна ймовірність того, що серед них опиниться з від 120 до 150 виробів першого сорту?

52

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Ймовірність того, що деталь опиниться першого сорту, рівна, очевидно, 0,6. Математичне очікування числа виробів першого сорту рівне:

mx = np = 200 0,6 =120

По теоремі Муавра - Лапласа отримуємо:

Приклад. Перевіркою встановлено, що 96% виробів служать не менше терміну, що гарантується. Навмання вибирають 15000 виробів. Знайти ймовірність того, що з терміном служби що менш гарантується буде від 570 до 630 виробів.

Ймовірність того, що термін служби виробу буде менш гарантованого рівна: 1 – 0,96 = 0,04

Математичне очікування числа таких виробів рівне mx = np =15000 0,04 = 600

По теоремі Муавра - Лапласа отримуємо:

= Φ(0,88) = 2Φ(1,25) = 2 0,3944 = 0,7888

Теорія масового обслуговування.

Випадкові процеси.

Система масового обслуговування складається з деякого числа обслуговуючих одиниць або каналів, робота яких полягає у виконанні заявок, що поступають по цих каналах .

Приклади систем масового обслуговування вельми поширені на практиці. Це різні телефонні станції, ремонтні майстерні і інш. Вигляд і кількість заявок, що поступають на ці системи, різні і, взагалі кажучи, випадкові.

Теорія масового обслуговування описує закономірності функціонування таких систем.

Визначення. процес функціонування системи масового обслуговування називається випадковим процесом.

Щоб оптимізувати процес функціонування системи масового обслуговування його треба вивчити і описати математично.

Теорія масового обслуговування є розділом теорії ймовірності, що дуже швидко розвивається, оскільки її застосування на практиці надзвичайно широко.

Випадковий процес, що протікає в системі масового обслуговування полягає в тому, що система у випадкові моменти часу переходить з одного стану в інше. Міняється число заявок, число зайнятих каналів, число заявок в черзі і інш.

53

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Визначення. Якщо перехід системи з одного стану в інше відбувається стрибком, а кількість станів системи (кінцеве або нескінченне) можна пронумерувати, то така система називається системою дискретного типу.

Якщо кількість можливих станів рахунковий, то сума ймовірності знаходження системи в одному із станів рівна 1.

∑pk (t) =1

k

Сукупність ймовірності pk(t) для кожного моменту часу характеризує даний перетин випадкового процесу.

Випадкові процеси з рахунковим безліччю станів бувають двох типів: з дискретним або безперервним часом.

Якщо переходи системи з одного стану в інше можуть відбуватися тільки в строго певні моменти часу, то випадковий процес буде процесом з дискретним часом, а якщо перехід можливий у будь-який момент часу, то процес буде процесом з безперервним часом.

Оскільки в реальності заявки на систему масового обслуговування можуть поступати у будь-який момент часу, та більшість реальних систем масового обслуговування будуть системами з процесом з безперервним часом.

Для того, щоб описати випадковий процес в системі з безперервним часом необхідно перш за все проаналізувати причини, що викликають зміну стану системи. Ці причини визначаються потоком заявок, що поступають на систему.

Потік подій.

Визначення. Потоком подій називається послідовність подій, що відбуваються один за іншим в какиете моменти часу.

Характер подій, створюючих потік може бути різним, а якщо події відрізняються один від одного тільки моментом часу, в який вони відбуваються, то такий потік подій називається однорідним.

Однорідний потік можна зобразити послідовністю крапок на осі, відповідній

часу:

τ

Визначення. Потік подій називається регулярним, якщо події слідує одне за іншим через строго певні проміжки часу.

Визначення. Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання чи того іншого числа подій на ділянку часу τ залежить тільки від довжини ділянки і не залежить від того, де саме на осі розташована ця ділянка.

Стаціонарність потоку подій означає, що щільність потоку постійна, відсутні проміжки часу, протягом яких подій більш ніж зазвичай. Класичний приклад – “час пік” на транспорті.

54

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Визначення. Потік подій називається потоком без последействий, якщо для будь-яких ділянок часу, що не перехрещуються, число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від числа подій, що обпадають на інших.

Відсутність последействий означає, що заявки в систему поступають незалежно один від одного. Потік вихідних подій систем масового обслуговування зазвичай має післядію, навіть якщо вхідний потік його не має. Приклад – вхід пасажирів на станцію метро – потік без післядії, оскільки причини приходу окремого пасажира не пов'язані з причинами приходу всіх останніх, а вихід пасажирів із станції – потік з післядією, оскільки він обумовлений прибуттям поїзда.

Післядія, властива вихідному потоку слід враховувати, якщо цей потік у свою чергу є вхідним для какойабо іншої системи.

Визначення. Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарну ділянку ∆t два або більш за події досить мало в порівнянні з ймовірністю попадання однієї події.

Умова ординарності означає, що заявки на систему приходять поодинці, а не парами, трійками і так далі Проте, якщо заявки поступають тільки парами, тільки трійками і так далі, то такий потік легко звести до ординарного.

Визначення. Якщо потік подій стаціонарний, ординарний і без последействий, то такий потік називається простим (пуассоновским) потоком.

Ця назва пов'язана з тим, що в цьому випадку число подій, що потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, розподілене по распределению Пуассона .

Відповідно до цього закону розподілу математичне очікування числа крапок, що потрапляють, що потрапили, на ділянку часуτ, має вигляд:

a= λτ

λ- щільність потоку – середнє число подій в одиницю часу.

Ймовірність того, що за час τ відбудеться рівно т подій, рівна

Pm (τ) = (λτm)!m e−λτ

Ймовірність того, що протягом даного часу не відбудеться жодної події, рівна:

P0 (τ) = e−λτ

Хай Т – проміжок часу між двома довільними сусідніми подіями в простому потоці. Знайдемо функцію розподілу

F(t) = P(T < t)

Відповідно до закону розподілу Пуассона, отримуємо:

Математичне очікування, дисперсія і середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно рівні:

mt = λ1 ; Dt = λ12 ; σt = λ1 ;

Таким чином, для величини Т отримали

55

“Курс вищої математики. Частина 4.”

ЛЕКЦІЯ 7.

Приклад. У бюро обслуговування в середньому поступає 12 заявок в годині Вважаючи потік замовлень простим, визначити ймовірність того, що: а) за 1 хвилину не поступить жодного замовлення, би) за 10 хвилин поступить не більше трьох замовлень.

Спочатку знайдемо щільність (інтенсивність) потоку, виразив її в кількості заявок в хвилину. Очевидно, ця величина рівна λ = 1260 = 0,2 .

Далі знаходимо ймовірність того, що за час τ = 1 мін не поступить жодної заявки по формулі:

P0 (τ) = e−λτ = e−0,2 ≈ 0,819

Ймовірність того, що за 10 хвилин поступить не більше трьох замовлень складатиметься з ймовірності того, що не поступить жодного замовлення, поступить один, два або рівно три замовлення.

Приклад. У ресторан прибуває в середньому 20 відвідувачів в годині Вважаючи потік відвідувачів простим, і знаючи, що ресторан відкривається в 11.00, визначите:

а) ймовірність того, що в 11.12 в ресторан прийде 20 відвідувачів за умови, що в

11.07 їх було 18

б) ймовірність того, що між 11.28 і 11.30 в ресторані опиниться новий відвідувач, якщо відомо, що попередній відвідувач прибув в 11.25.

Для відповідь на перше питання фактично треба знайти ймовірність того, що в проміжок від 11.07 до 11.12 (τ = 5 хвилин) прийде рівно 2 відвідувачі. При цьому ми знаємо інтенсивність потоку відвідувачів - λ = 20/60 = 1/3 відвідувачі в хвилину. Звичайно, дана величина носить умовний характер, оскільки відвідувачі не можуть приходити по частинах.

Шукана ймовірність рівна:

Визначення. Миттєвою щільністю потоку подій називається межа відношення середнього числа подій, часу (t, t + ∆t), що доводиться на елементарний відрізок, до довжини цієї ділянки, яка прагнути до нуля.

56

“Курс вищої математики. Частина 4.”

λ(t) = lim m(t + ∆t) − m(t)

∆t→0 ∆t

Як видно з приведеного визначення, з урахуванням того, що середнє число подій на ділянці часу рівне математичному очікуванню, то можна сказати, що миттєва щільність потоку рівна похідною за часом від математичного очікування числа подій на ділянці (0, t).

Визначення. Нестаціонарним пуассоновским потоком називається ординарний потік однорідних подій без последействий із змінною щільністю (t). λ

Для такого потоку число подій, що потрапляють на ділянку довжиниτ, що починається в точці t0, підкоряється закону Пуассона:

Тут а – математичне очікування числа подій на ділянці від t0 доτ + t0 . Воно обчислюється за формулою:

t0 +τ

a = ∫λ(t)dt

t0

Величина а на тільки від довжини ділянкиτ, але і від його положення в часі. Закон розподілу проміжку Т між двома сусідніми подіями також залежатиме від того, де на тимчасовій осі розташоване перше з подій, а також від функції (t)λ .

Ймовірність того, що на ділянці часу від t0 до t + t0 не з'явиться жодної події,

рівна

t +t0

− ∫λ(t )dt

P(T ≥ t) = e−a = e t0

Тоді, відповідно, ймовірність появи хоч би однієї події на цьому інтервалі часу буде рівна:

Ця щільність розподілу вже не буде показовою. Вона залежить від параметра t0 і виду функції (t). λПроте, умова відсутності післядії в цьому виді потоку зберігається.

Потік Пальма.

Потік Пальма ще називають потоком з обмеженою післядією.

Визначення. Потоком Пальма називається ординарний потік однорідних подій, якщо проміжки між подіями Т1, Т2 . є незалежними випадковими величинами.

Якщо проміжки часу Т1, Т2 . розподілені по показовому закону, то потік Пальма стає простим потоком.

57

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Прикладом потоку Пальма може служити рух колони автомобілів. Хай рухається колона автомобілів, кожен з яких, рухаючись з однаковою швидкістю, прагне триматися на деякій заданій відстані від попереду автомобіля, що йде. Проте, унаслідок дії безлічі випадкових чинників, ця відстань витримується не точно. Тоді часи перетину кожним автомобілем певного рубежу Т1, Т2 . будуть незалежними випадковими величинами і утворять по струм Пальма.

Відзначимо, що якщо автомобілі прагнутимуть витримувати задану відстань не від сусідньої машини, а від головної, то моменти перетину цього рубежу вже не утворюватимуть потік Пальма.

Потік Пальма часто виходить як вихідний потік систем масового обслуговування.

Теорема. (Теорема Пальма) Хай на систему масового обслуговування поступає потік заявок типу Пальма, причому заявка, що застала всі канали зайнятими, дістає відмову (не обслуговується). Якщо при цьому час обслуговування має показовий закон розподілу, то потік не обслужених заявок є також потоком типу Пальма.

Цей факт важливий, оскільки заявки, що на практиці дістали відмову, зазвичай перенаправляються на іншу систему масового обслуговування, тобто утворюють для цієї системи вхідний потік.

Так, якщо на систему масового обслуговування поступає простий вхідний потік, то потік заявок, що дістали відмову, вже не буде простим, проте, буде потоком з обмеженою післядією.

Потоки Ерланга.

Потоки Ерланга також є потоками з обмеженою післядією. Вони утворюються просіюванням простого потоку.

Суть цього просіювання полягає в наступному. Якщо зобразити на тимчасовій осі простий потік, поставивши у відповідність кожній події деяку крапку, і викинути з потоку кожну другу крапку, то отримаємо потік Ерланга першого порядку. Залишивши кожну третю крапку і викинувши дві проміжні, отримуємо потік Ерланга другого порядку і так далі

Визначення. Потоком Ерланга до – порядку називається потік, що отримується з простого, якщо зберегти в простому потоці кожну (до + 1) – ю крапку, а останні викинути.

Очевидно, що простий потік може розглядатися як потік Ерланга нульового порядку.

Хай є простий потік з інтервалами Т1, Т2 . між подіями. Величина Т – проміжок часу між двома сусідніми подіями в потоці Ерланга до – го порядку.

k +1

Очевидно, що T = ∑Ti . Оскільки первинний потік – простий, то випадкові

i=1

величини Т1, Т2 . розподілені по показовому закону: f (t) = λe−λt ;

Позначимо fk(t) щільність розподілу величини Т для потоку Ерланга до – го порядку. Якщо помножити цю щільність на елементарний відрізок часу dt, ми отримаємо ймовірність того, що величина Т прийме значення в деякій скільки завгодно малій околиці точки t- (t, t + dt). На цю ділянку повинна потрапити кінцева точка проміжку, а попередні до точок простого потоку – на проміжок (0, t).

58

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Ймовірність першої події рівнаλdt , а другого - Pk (t) = (λkt!)k e−λt . Ці події

повинні здійснитися спільно, значить, їх ймовірності треба перемножити.

fk (t)dt = λ(λt)k e−λt dt k!

fk (t) = λ(λt)k e−λt k!

Отриманий закон розподілу називається законом розподілом Ерланга k- го порядку.

При до = 0 отримуємо показовий закон розподілу.

Математичне очікування, дисперсія і середнє квадратичне відхилення для розподілу Ерланга знаходяться по формулах:

Ерланга.

Закон розподілу для такого потоку матиме вигляд:

λ

Зміна порядку нормованого потоку Ерланга дозволяє отримати різний ступінь післядії. Післядія зростає із збільшенням до.

На практиці це зручно для наближеного представлення реального потоку з яким

– або післядією потоком Ерланга. При цьому порядок цього потоку визначається з того міркування, щоб характеристики потоку Ерланга (математичне очікування і дисперсія) співпадали з характеристиками початкового потоку.

Ланцюги Марков.

(Андрій Андрійович математик Маркова (1856-1922) – російського, академік)

Визначення. Процес, що протікає у фізичній системі, називається марківським, якщо у будь-який момент часу ймовірність будь-якого стану системи в майбутньому залежить тільки від стану системи у нинішній момент і не залежить від того, яким чином система прийшла в цей стан.

59

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Визначення. Ланцюгом Марков називається послідовність випробувань, в кожному з яких з'являється тільки одне з до несумісних подій Ai з повної групи. При цьому умовна ймовірність pij(s) того, що в s -му випробуванні наступить подія Aj за умови, що в (s – 1) – ом випробуванні наступила подія Ai, не залежить від результатів попередніх випробувань.

Незалежні випробування є окремим випадком ланцюга Марков. Події називаються станами системи, а випробування – змінами станів системи.

По характеру змін станів ланцюгу Марков можна розділити на дві групи.

Визначення. Ланцюгом Марков з дискретним часом називається ланцюг,

зміна станів якої відбувається в певні фіксовані моменти часу. Ланцюгом Марков з безперервним часом називається ланцюг, зміна станів якої можливо в будь-які випадкові моменти часу.

Визначення. Однорідним називається ланцюг Марков, якщо умовна ймовірність pij переходу системи із стану i в стан j не залежить від номера випробування. Ймовірність pij називається перехідною ймовірністю.

Допустимо, число станів кінцеве і рівне до.

Тоді матриця, складена з умовної ймовірності переходу матиме вигляд:

Ця матриця називається матрицею переходу системи.

Оскільки в кожному рядку міститися ймовірності подій, які утворюють повну групу, то, очевидно, що сума елементів кожного рядка матриці рівна одиниці.

На основі матриці переходу системи можна побудувати так званий граф станів системи, його ще називають розмічений граф станів. Це зручно для наочного представлення ланцюга. Порядок побудови граф розглянемо на прикладі.

Приклад. По заданій матриці переходу побудувати граф станів.

Оскільки матриця четвертого порядку, то, відповідно, система має 4 можливих стани.

60