M-051

Re s[X ( p)e pt ]= lim

10 p + 2

e pt

=

8

e3t ;

3

p=3

p→3

p( p +1)

Re s[X ( p)e pt ]= lim

10 p + 2

e pt = −

2

;

( p +1)( p −3)

3

p=0

p→0

Re s[X ( p)e pt ]= lim

10 p + 2

e pt

= −2e−t

p=−1

p→−1

p( p −3)

Тоді частковий розв’язок

x(t) = − 2 − 2e−t

+ 8 e3t .

3

3

Загальні поняття та визначення.

Інтегральними рівняннями називають

рівняння, в яких шукана функція знаходиться під знаком інтегралу.

У загальному випадку лінійні інтегральні рівняння (ІР) мають вигляд

g(x) y(x) −λ∫K (x,t) y(t)dt = f (x),

x Q ,

( 19 )

Ω

де K(x ,t) – ядро ІР, f(x) – права частина рівняння з областю існування

Q, λ - параметр

функція y(x) – шуканою. Причому функції

K(x,t), f(x)

і g(x) можуть бути як

комплексними, так і дійсними, а змінні x і t – тільки дійсними.

Рівняння (19) є неоднорідним. У випадку g(x)≡1 і f(x)≡0, то рівняння (19)

запишеться у вигляді

y(x) −λ∫K (x,t) y(t)dt = 0,

x Q ,

( 20 )

Ω

∫b K (x,t) y(t)dt = f (x), c ≤ x ≤ d;

( 21 )

∫x K (x,t) y(t)dt = f (x), x Q;

( 22 )

a

0

( 23 ).

y(x) −λ∫b

K (x,t) y(t)dt = f (x);

a

y(x) −λ∫K (x −t) y(t)dt = f (x);

( 24 )

Ω

Причому інтегральні рівняння згортки наступного вигляду:

f (x) = λ∫х

K (x −t) y(t)dt

є рівнянням Вольтерри І роду,

( 25 )

a

y(x) −λ∫х

K (x −t) y(t)dt = f (x) - рівняння Вольтерри ІІ роду. ( 26 )

a

Розглянемо методику знаходження розв’язку інтегральних рівнянь згортки

Вольтерри І та ІІ роду за допомогою інтегрального перетворення Лапласа.

Нехай задано рівняння (25). Застосувавши до нього перетворення Лапласа,

одержимо:

х

L[f (x)]= λ L ∫K (x −t) y(t)dt .

0

1

−1

F( p)

y(x) =

L

.

λ

g( p)

x = ∫х

e x −t y (t ) dt .

0

х

L[x]= L ∫ex−t y(t)dt .

0

Оскільки L[x]=

1

х

x−t

1

p −1

1

1

;

L ∫e

y(t)dt

=

Y ( p), тоY ( p) =

=

−

.

p

2

p

−1

p

2

p

p

2

0

−1

1

1

y(x) = L

−

=1 − x.

p

2

p

х

= L[f (x)].

L[y(x)]−λ L ∫K(x −t) y(t)dt

0

Y ( p) −λ g( p) Y ( p) = F( p) або Y ( p) =

F( p)

.

1

−λ g( p)

−1

F( p)

y(x) = L

.

1

−λ g( p)

L[y(x)]− L ∫х (x −t) y(t)dt = L[sin x)].

0

Оскільки

L[sin x]=

1

х

1

p

2

;

L ∫(x −t) y(t)dt =

Y ( p),

то Y ( p) =

=

p

2

p

2

( p

2

+1)( p

2

−1)

+1

0

−1

1

1

1

=

+

2

2

2

+1)

( p

−1)

.

( p

Взявши обернене перетворення, знаходимо розв’язок рівняння:

−1 1

1

1

1

y(x) = L

2

+

2

(sin t + sht).

( p

+

1)

( p

=

2

2

−1)

1 . f (t ) = sh 2t;

5 .

f (t ) = ch 2 4t;

9 .

f (t ) = sh 2t cht ;

2

. f (t ) = e −2 t ;

6 .

f (t ) = sh 2t sh 3t;

10 .

f (t ) = cos 2 2t;

3 . f (t ) = cos 4t;

7 .

f (t ) = sin 2 2t;

11 .

f (t ) = cos 2t cos 4t;

4

. f (t ) = sh 5t;

8 .

f (t ) = sh 2 2t;

12 .

f (t ) = ch 2t cht ;

1. f (t) = e−4t sin 3t;

5. f (t) = sh2t cos2 2t;

9. f (t) = e2t cos 2t sin t;

2.

f (t) = e3t cos 3t;

6. f (t) = e−2t cos 2t;

10. f (t) = e3t sin 3t sin 2t;

3. f (t) = sht ssnt;

7. f (t) = et ssn2t;

11. f (t) = et cos 5t;

4.

f (t) = sin 2t ssn3t;

8. f (t) = cos t cos 2t;

12. f (t) = e3t cos t.

1. f (t) = e3/ 2t ;

5. f (t) =t e2t ;

9. f (t) = 2t ;

2. f (t) = e−3t ;

6. f (t) =t sin2t ;

10. f (t) =3t2 ;

3. f (t) =cos4t ;

7. f (t) =t cos2t ;

11. f (t) =t et ;

4. f (t) =t sh2t ;

8. f (t) =t sh3t;

12. f (t) =t sin2t .

б). Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно теореми

диференціювання зображення:

1. f (t) = t cos3t ;

5. f (t) = t sin2t ;

9. f (t) =t sh2t ;

2. f (t) =t sht ;

6. f (t) = t sin3t ;

10. f (t) = t cost;

3. f (t) =t ch2t ;

7. f (t) = t cost cht;

11. f (t) =t sh5t ;

4. f (t) =t e−2t ;

8 f (t) = t 2 cost ;

12. f (t) = t cht .

τ

τ

τ

1. f (t) = ∫cos2τ dτ ;

5. f (t) = ∫ch2τ dτ ;

9. f (t) = ∫e2τ chτ dτ ;

0

0

0

0

2

4

6

t

0

1

2

3

t

t

0

1

2

3

t

0

1

2

3

0

1

2

3

4

t

0

1

2

3

4

t

0

1

2

3

4

t

0

1

2

3

4

t

1.

x′′+ 4x′+ 4x = 2cost;

8.

x′′−4x′+3x = t +2;

′

=1;

′

x(0) = 0, x (0)

x(0) = 0, x (0) =1;

2. x′′+ 2x′ = 2t −1;

9. x′′+ 2x′+ x = 3 −t;

′

= 0;

′

= 0;

x(0) = 0, x (0)

x(0) = 0, x (0)

3.

x′′−3x′ = 3t;

10.

x′′−5x′+6x = t +1;

′

=1;

′

= 0;

x(0) = 0, x (0)

x(0) = 0, x (0)

4.

x′′+ x = t 2 +2;

11.

x′′− x′−6x = 2t;

′

= 0;

′

= 0;

x(0) = 0, x (0)

x(0) =1, x (0)

5.

x′′+2x′+ x = sin 2t;

12.

x′′+3x′−4x = co2t;

′

′

= 0.

x(0) = 0, x (0) = 0;

x(0) = 0, x (0)

6.

x′′−5x′+4x = e2t ;

13.

x′′−5x′+6x = t +1;

′

′

x(0) = 0, x (0) = 2.

x(0) = 2, x (0) = 0.

7.

x′′+ 2x′ = sin t;

14. x′′−7x′+6x = sht;

′

′

x(0) =1, x (0) = 0.

x(0) = 0, x (0) =1.

1.

∫x (x −t) y(t)dt = chx −1.

2.

y(x) =1+ ∫x ch(x −t) y(t)dt.

0

0

3.

∫x sin(x −t) y(t)dt =

1

x 4 .

4.

y(x) = e x − x −1+ ∫x

y(t)dt.

2

0

0

x

x

2

x

5.

∫cos(x −t) y(t)dt = x sin x.

6.

y(x) =

+ ∫(x −t) y(t)dt.

0

2

0

1. f (t) = e−t ;

11. f (t) =1 + t ;

21. f (t) = t + cos t;

2. f (t) = at

;

12. f (t) = 2 sin t − cos t ;

22. f (t) = t − cos t ;

3.

f (t) = t ;

13. f (t) = t + e−t ;

23. f (t) = t + t 2 ;

4. f (t) = t 2

;

14. f (t) =

1

(cht + cos t) ;

24. f (t) = 3t / 2 ;

2

5.

f (t) = t / 2 ;

15. f (t) = 2t

−1 ;

25. f (t) = t + cht ;

6.

f (t) = cos 2t;

16. f (t) = at

−1 ;

26. f (t) = t − cht ;

7.

f (t) = t 3

;

17. f (t) =

1

(sht − 2cht) ;

27. f (t) = 2t 2 + t;

2

8. f (t) = 2t

;

18. f (t) =

1

(sht − 2 cos t);

28. f (t) =1 +t 2

;

2

9.

f (t) = sin t ;

19. f (t) = t + sht ;

29. f (t) =1 + t 3

;

10. f (t) = sin 2t ;

20. f (t) = e−t ;

30. f (t) = sht + 2t.

Завдання 2. Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно вказаних теорем

а). Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно теореми подібності:

1 . f (t ) = shat ;

6 .

f (t ) = ch 2 at ;

11 . f (t ) = shat

chbt ;

2 . f (t ) = e −at ;

7 .

f (t ) = shat

shbt ;

12 . f (t ) = cos 2

5t;

3 . f (t ) = cos at ;

8 .

f (t ) = sin 2 at ;

13 . f (t ) = cos

2t cos t;

4 . f (t ) = sh 2t;

9 .

f (t ) = sh 2 at ;

14 . f (t ) = chat

chbt ;

5 . f (t ) = chat ;

10 .

f (t ) = cos

at

cos bt ;

15 . f (t ) = sin

2t sin t.