M-051

Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Высшая математика

Файл:

e−2t sin2 t

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.04.2021

Размер:

439.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

б). Застосувавши теорему інтегрування зображення, знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) :

1. f (t) =

e−2t

sint

;

6. f (t) =

sh2t

;

2. f (t) =

sin3t sint

;

7. f (t) =

sht

;

ch2t cht

sin

3. f (t) =

;

8. f (t) =

;

f (t) =

cos2t −cost

; 9.

f (t) =

sin2 t

;

f (t) =

1−e2t

;

10.

f (t) =

1−cost

;

tet

13.f (t) = e2tt−1 ;

14.f (t) =1−te−t ;

15.f (t) =1−cost t e−t .

Завдання 5. Згідно оберненого перетворення Лапласа, знайти оригінали функції f(t) за заданими зображеннями F(p):

1. F( p) =

;

11. F( p) =

;

21. F( p) =

;

( p −2)( p −

−4 p +

2. F( p) =

;

12. F( p) =

;

22. F( p) =

;

( p −2)( p −1)2

p3 +

+10 p + 41

3. F( p) =

;

13. F( p) =

;

23. F( p) =

p +3

;

( p + 2)2 ( p +1)

p3 +8

+ 2 p +10

4. F( p) =

;

14. F( p) =

;

24. F( p) =

;

( p −2)2 ( p +3)

p3 −1

2 −4 p + 20

5. F( p) =

;

15. F( p) =

;

25. F( p) =

;

( p2

+ 4)( p2 +1)

3 −8

p2 −4 p +13

6. F( p) =

;

16. F( p) =

;

26. F( p) =

;

( p2 +1)( p2 +9)

p2 −4 p +8

p2 + 2 p +17

7. F( p) =

;

17. F( p) =

p −2

;

27. F( p) =

;

( p2 + 4)( p2 +1)

p2 −4 p +13

p2 −2 p +3

8. F( p) =

;

18. F( p) =

3p +19

; 28. F( p) =

;

( p2

+ 2)( p2 +3)

2 p2 +8 p +19

p2 −6 p +

9. F( p) =

;

19. F( p) =

5 p −

;

29. F( p) =

;

( p2

+ 4)( p2 +1)

p3 −

p2 −3p +3

10. F( p) =

; 20. F( p)

p +1

;

30. F( p) =

;

( p2 +5)( p2 +3)

2 p

p2 −2 p −

Завдання 6. Розв’язати, застосувавши перетворення Лапласа, наступні диференціальні рівняння при заданих початкових умовах :

1.	x′′+4x′+4x = e−2t (cost +2sint);			16.			x′′−4x′+3x =t 2 +t;
	′		=1;				′
	x(0) = −1, x (0)		=1;			x(0) = 0, x (0) =1;
2.	x′′+ x′ = 2t +1;			17.		x′′+2x′+ x =3 −t;
	′	= 0;					′
	x(0) =1, x (0)	= 0;				x(0) =1, x (0) = 0;
3.	x′′−4x′ =3t;			18.	x′′−5x′+6x =t +1;
	′	= 0;					′
	x(0) =1, x (0)	= 0;				x(0) = 0, x (0) =1;
4.	x′′+ x′ =t 2 +2t;			19.	x′′− x′−6x = 2t;
	′	= 0;					′
	x(0) = 2, x (0)	= 0;					x(0) =1, x (0) = 0;
5.	x′′+2x′+ x = 2sint;			20.		x′′+3x′−4x = 2cost;
	′						′
	x(0) = 0, x (0) = 2;						x(0) = 2, x (0) = 0;
6.	x′′+4x = e−2t cost;			21.		x′′−4x′+3x = 2t 2 +t;
	′		=1;				′
	x(0) = −1, x (0)		=1;				x(0) = 0, x (0) =1;
7.	x′′+2x′ = 2t +1;			22.		x′′+2x′ =3 +t;
	′	= −1;					′
	x(0) =1, x (0)	= −1;					x(0) = −1, x (0) =1;
8.	x′′− x′ =t +2;			23.		x′′−5x′ =3t +1;
	′		= 0;				′
	x(0) = −1, x (0)		= 0;				x(0) = 0, x (0) =1;
9.	x′′+ x′ =t 2 +t;			24.		x′′−3x′+2x = 2 +t;
	′		= 0;				′
	x(0) = −1, x (0)		= 0;				x(0) =1, x (0) = 0;
10.	x′′+2x′+ x = 2cost;			25.			x′′+2x′ = ch4t;
	′						′
	x(0) = 0, x (0) = 2;						x(0) = x (0) = 0;
11.	x′′− x′ = e−2t sin 2t;			26.			x′′+ x = sht;
	′						x(0) = x(0) = 0;
	x(0) = −1, x (0) =1;						x(0) = x(0) = 0;
12.	x′′+2x′ = 2t −1;			27.			x′′+ x = cost;
	′						′
	x(0) = −1, x (0) =1;						x(0) = x (0) = 0;
13.	x′′−2x′ =3t +1;			28.			x′′−4x = 4e2t ;
	′		= 0;				′
	x(0) =1, x (0)		= 0;				x(0) = x (0) = 0;
14.	x′′+3x′ =t 2 +2t;			29.			x′′+2x′+ x = e2t ;
	′		= 0;				′
	x(0) = 2, x (0)		= 0;				x(0) = 0, x (0) = −2;
15.	x′′+2x′+ x = 2sin 2t;			30.			x′′−4x = 2cos2t;
	′		= 2;				′
	x(0) = 0, x (0)		= 2;				x(0) = x (0) = 0;

Завдання 7. Знайти частковий розв’язок наступних систем диференціальних рівнянь за допомогою перетворення Лапласа:

x′

= y,

x(0)

= 0, y(0)

=1.

2x′+ y′ = 4t

y′

= x + y,

x(0)

=1, y(0) = 0.

′

− x′ = tet ,

x′+ y = 0,

x(0) = y(0) =1.

′

= 2x + 2 y,

x′

+ 2 y = 3t,

x(0)

= 2, y(0)

= 3.

y′−2x = 4,

x′

= x − y,

x(0) =1, y(0) = 0.

= x + y,

y′

′

+ y

′

= e

x(0) = y(0) =1.

y′ = 2x + y,

′

= 2 y +e

x(0) = y(0) =

y′ = 2x + e−t ,

x′−2 y = 0,

x(0)

= y(0) =

2t,

x′+ 2 y′ =

x −3y = 0,

x(0) = y(0) =1;.

− y′ = sin t,

10.

x′

= x + y,

x(0) = 0, y(0) =1.

= x − y,

y′

11.

x′

+ 2 y = 3t,

x(0)

= 2, y(0)

= 3.

y′−2x =

′

12.

x + y +0.5x = e

, x(0) = 0, y(0) =1.

x′+ y′− 2x = sin t,

13.

x′− y′ = t,

x(0) = 0, y(0) = 0.5.

+ 2 y′ =

x′

14.

x′−3y =

x(0) =1, y(0)

= 0;

− y′ = sin t,

15.

x − y′ = t,

x(0)

= 0, y(0)

= 0.5.

+ 2 y′ =

x′

x′ = −2x −2 y,

x(0) = y(0) =1.

16.

y′ = −2x + y,

′

, x(0) = 0, y(0) =1.

17. x − 2x − y = e

y′ = x + y,

18.

x′+ 4x − y =

x(0) = 2, y(0) = 3.

y′+ 2x + y =

19.

x − y′ = t,

x(0)

= 0, y(0) = 0.5.

= 0,

x′+ 2 y′

′

20. x + y +

0.5y = e

, x(0) =1, y(0) = 0.

x′+ y′− 2 y = sin t,

21.

x′−3y = 0,

x(0)

=1, y(0) = 0.

− y′ = sin t,

22.

x′−3y = 0,

x(0)

=1, y(0) = 0.

− y′ = sin t,

23.

′

+ y

′

= e

x(0) = y(0) = 0.

x′− y′ = t,

24.

x′+ y = 0,

x(0) = y(0) =1.

y′−2x −2 y = 0,

25.

′

+ y

′

x(0) = y(0) = 0;

= e

2x′+ y′ = cost,

26.

x′−3y

= 0,

x(0) =1, y(0) = 0;

x − y′ = sin t,

′

27.

x + y − y = e

x(0) = y(0) = 0;

2x′+ y′+ 2 y = cos t,

28.

x′−3y = 0,

x(0) = y(0) = 0;

x − y′ = cost,

′

29. x − x −

2 y =

x(0) = y(0) =1;

y′−2x − y = 0,

30.

x − y′ = 0,

x(0)

= y(0) = 0;

= t,

x′+ 2 y′

Завдання 8. Знайти розв’язок наступних інтегральних рівнянь:

1. ∫x		sh(x −t) y(t)dt =1−cos x.	16.	∫x	e x−t sh(x −t) y(t)dt =	1	(e2 x	−1) −	1	x.
1. ∫x		sh(x −t) y(t)dt =1−cos x.	16.	∫x	e x−t sh(x −t) y(t)dt =		(e2 x	−1) −	2	x.
	0			0	4				2
	x			x
2.	∫sin(x −t) y(t)dt = cos x.		17.	∫	x −t y(t)dt = x 2 x.
	0			0
3.	∫x (x −t) 2 y(t)dt = x3 .		18.	y(x) = e−2 x +3∫x (x −t) 2 y(t)dt.
	0				0
		x			x
4.	y(x) =1+ x cos x + ∫(x −t) y(t)dt.		19.	y(x) = x + ∫cos(x −t) y(t)dt.
		0			0
5.	∫x	ch(x −t) y(t)dt =1−sin x.	20.	y(x) = e2 x −∫x (x −t)e( x−t ) y(t)dt.
	0				0
	x				x
6.	∫sh(x −t) y(t)dt =1+cos x.		21.	y(x) = sin x − ∫sh(x −t) y(t)dt.
	0				0

7.	∫x (x −t) y(t)dt = x 2 .
	0
	x	1	−cos 2x
8.	∫sh(x −t) y(t)dt =	1	−cos 2x	.
8.	∫sh(x −t) y(t)dt =		2	.
	0		2
9.	y(x) = cos3x + ∫x ex−t y(t)dt.

10. ∫sh(x −t) y(t)dt = sin 2 x.

22.	y(x) = x3 + ∫x sin(x −t) y(t)dt.
		0
		x
23.	∫ch(x −t) y(t)dt = sin 2 x.
	0
24. ∫x		e x−t cos(x −t) y(t)dt = xe x .
	0
		x
25.	y(x) = sin 2x − ∫e x−t y(t)dt.
		0

11.	∫x	sh(x −t) y(t)dt =1−cos x.
	0
	x				x
12.	∫sh(x −t) y(t)dt = 2 sin 2				x	.
12.	∫sh(x −t) y(t)dt = 2 sin 2					.
	0	2
13.	∫x (x −t) sin(x −t) y(t)dt = sin 2 x.
	0
	x		1				1
14.	∫	(x −t)e x−t y(t)dt =	1	e2 x − xe x −			1	.
14.	∫	(x −t)e x−t y(t)dt =		e2 x − xe x −			2	.
	0	2					2
15.	∫x (x −t)sh(x −t) y(t)dt = xchx − shx.
	0

26.	y(x) =1+ ∫x cos(x −t) sin(x −t) y(t)dt.
		0
					x
27.	y(x) = xe2 x			−∫e2( x−t ) y(t)dt.
				0
28.	y(x) = sin x + ∫x cos(x −t) y(t)dt.
				0
					x
29.		y(x) = e x		+ ∫sin(x −t) y(t)dt.
				0
30.		y(x) =	x 2		+	1	x (x −t) 2 y(t)dt.
30.		y(x) =			+		x (x −t) 2 y(t)dt.
		2		2			∫0

Формули перетворень Лапласа для деяких функцій

№

Оригінал

Зображення F(p)

п/п

f(t)

С-const

exp(at)

p − a

t n

pn+1

sin(at)

+ a2

cos(at)

+ a2

sh(at)

− a2

ch(at)

p2 − a2

exp(-at)sin(ωt)

( p + a)2

+ω2

exp(-at)cos(ωt)

p + a

( p + a)2

+ω2

exp(-at)sh(ωt)

( p + a)2

−ω2

exp(-at)ch(ωt)

p + a

( p + a)2

−ω2

t n exp(at)

( p − a)n+1

t n f(t)

(−1)

d n

F( p)

dpn

(sin at − at cos at)

2a3

( p2

+ a2 )2

exp(−t

)

exp

Erf

exp(−a

t )

π p

exp −

4 p

−

exp(−a t ),

a > 0

π p3

exp

4 p

№

Оригінал

Зображення F(p)

п/п

f(t)

p −ln a

ln t

−

ln( pe)

sin 2 (at)

2a2

p( p2 + 4a2 )

cos2 (at)

p2 + 2a2

p( p2

+ 4a2 )

sh2(at)

2a2

p( p2

− 4a2 )

ch2(at)

− 2a2

p( p2

− 4a2 )

sin(ωt-φ0)

exp

−

cos(ωt-φ0)

exp

−

Література

1.Овчинников П.П. Вища математика. Підручник .Ч.2. – К.: Техніка, 2000. – 792 с.

2.Вища математика: Збірник задач. Ч.2. Навчальний посібник під заг. ред.. П.П. Овчинникова. – К.: Техніка, 2003. – 376 с.

3.Вища математика. Практикум. В.Г. Кривуца, В.В. Барковський, Н.В. Барковська. –

К.: ЦУЛ, 2003. – 536 с.

Зміст

Розділ І. Інтегральне перетворення Лапласа. Загальні поняття та означення. …....4 Теореми операційного числення. ……………………………………….……...5

§1. Теорема лінійності зображення. ……………………………………………..5

§2. Теорема подібності …………………………………………………………..5

§3. Теорема запізнення.………………………………………………………….. 6

§4. Теорема зсуву (згасання). …………………………………………………….7

§4. Теореми диференціювання оригіналу і зображення. ……………………….8

§5. Теореми інтегрування оригіналу і зображення. ……………………………9

§6. Згортки функцій. ……………………………………………………………...11

§7. Зображення періодичних функцій. ……………………………………….…11

Розділ ІІ. Обернене перетворення Лапласа. ……………………………………...…. 12 Розділ ІІI. Застосування перетворення Лапласа. …………………………….…….. 16

§1. Знаходження розв’язків звичайних диференціальних рівнянь з

постійними коефіцієнтами. …………………………………………….……16

§2. Знаходження розв’язку системи звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. ……………………………………………….… 19

§3. Знаходження розв’язку інтегральних рівнянь операційним методом. ….…22

Розділ ІV. Домашні завдання. ………………………………………………………......25

Розділ V. Завдання до розрахункової роботи. ……………………………………..….30 Формули перетворення Лапласа для деяких функцій. ……………………….……..36

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
03.05.2021947.78 Кб4456.pdf
#
03.05.2021776.15 Кб3490.pdf
#
03.05.20211.59 Mб6683.pdf
#
26.04.20211.64 Mб4M-008.pdf
#
26.04.20211.23 Mб3M-040.pdf
#
26.04.2021439.24 Кб5M-051.pdf
#
26.04.2021967.56 Кб12Частина 1.pdf
#
26.04.2021882.81 Кб2Частина 2.pdf
#
26.04.20211.01 Mб2Частина 3.pdf
#
26.04.2021669.46 Кб6Частина 4.pdf