МУ Расчеты в mathLab
.pdf
Пример
Вычислить lim sin x.
x 0 x
Порядок ввода:
>>syms x
>>y=sin(x)/x;
>>limit(y)
В результате получим 1.
Пример
Вычислить lim |
2x3 3x2 1 |
||
|
|
. |
|
x2 |
|
||
x 2 |
2x 3 |
||
Порядок ввода:
>>syms x
>>f=(2*x^3+3*x^2+1)/(x^2–2*x+3);
>>vpa(limit(f,2),3)
В результате получим 9,67.
Пример
|
|
1 x |
|
Вычислить |
lim 1 |
|
. |
|
|||
|
x |
x |
|
Порядок ввода:
>>y=(1+1/x)^x;
>>limit(y,inf)
В результате получим exp(1), т.е. число е.
Пример
Вычислить lim 1.
x 0 x
Порядок ввода:
>>y=1/x;
>>limit(y,x,0,'left')
41
В результате получим –inf, т.е. минус бесконечность.
Пример
Вычислить lim 1.
x 0 x
Порядок ввода:
>>y=1/x;
>>limit(y,x,0,'right')
В результате получим inf, т.е. бесконечность.
Пример
sin(x h) sin x |
|||
Вычислить lim |
|
. |
|
h |
|||
h 0 |
|
||
Порядок ввода:
>>syms x h
>>y=(sin(x+h)–sin(x))/h;
>> limit(y,h,0) % Вычисление предела по переменной h
В результате получим cosx.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Дифференцирование функций в MATLAB осуществляется с помощью функции diff.
Для функций одной переменной:
diff(f) – вычисляет первую производную функции f;
diff(f,k) – вычисляет производную k-го порядка функции f. Для функций нескольких переменных:
diff(f,х) – вычисляет первую производную функции f по переменной x;
diff(f,x,k) – вычисляет производную k-го порядка функции f по переменной x.
Пример
Вычислить производную функции y=2x3–3x2+3.
42
Порядок ввода:
>>syms x
>>y=2*x^3–3*x^2+3;
>>diff(y)
В результате получим 6х2–6х.
Пример
Найти производную функции y=sin(x+h) по переменной х.
Порядок ввода:
>>syms x h
>>y=sin(x+h);
>>diff(y,х)
В результате получим cos(x+h).
Пример
Найти производную функции y=sin(x h) по переменной h. x
Порядок ввода:
>>syms x h
>>y=sin(x+h)/x;
>>diff(y,h)
В результате получим cos(x+h)/x.
Пример
Найти вторую производную функции y=5/х.
Порядок ввода:
>>syms x
>>diff(5/x,2)
В результате получим 10/х3.
43
Пример
Найти вторую производную функции y=3x3h–2h2x2+3 по переменной х.
Порядок ввода:
>>syms x h
>>y=3*x^3*h–2*h^2*x^2+3
>>diff(y,x,2)
В результате получим 18xh–4h2.
Пример
Найти третью производную функции y=3h2 ln(x) 3eh по переменной h.
Порядок ввода:
>>syms x h
>>diff(3*h^2*log(x)+3*exp(h),h,3)
В результате получим 3eh.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
I. Вычислить пределы функций:
1) lim |
|
|
|
|
|
x 3 |
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4x 3 |
||||||||||
x 3 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
2) lim |
|
|
|
|
7 x |
7 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) lim |
( |
|
1 |
|
1 |
|
); |
|
|
||||||
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
tgx |
|||||||||
4) lim |
|
|
|
|
x 2 |
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 x 6 |
|
|
|
||||||||
x x |
|
|
|
|
|
||||||||||
5) lim (sin x)tgx;
x
2
6) |
lim |
|
|
|
2 |
|
x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 4 |
5x 1 5 |
|
||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
x2 3 |
1 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 5 2 |
||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|||||||||||||||||
8) lim |
sin5x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x sin6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3y |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||
9) lim |
|
x 9 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
||||||||||
10) lim |
|
3x 2y |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y 1 5x 3y |
|
|||||||||||||||||
44
II. Вычислить производные функций:
1) y(x) x2 |
3x 1; |
5) |
y(x) x cosx; |
|||||||||
2) |
y(x) |
2x2 1 |
; |
|
|
6) |
y(x) sinx2 x2; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 2 |
7) |
y(x) 0,5x cosx; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) y(x) arcsin2x; |
8) |
y(x,z) 5(sinx cos5z); |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2x |
|
||
4) |
y(x) |
|
|
|
|
; |
9) |
y(x,z) sin(z 3) 2x. |
||||
|
|
x 3 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
III. Вычислить производные старших порядков:
1)y(x) x2 cosx, второго порядка;
2)y(x) e 2x x3, третьего порядка;
3)y(x) ex x4 /3, шестого порядка.
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде в MATLAB существует команда dsolve. Она может быть использована, если решение существует в аналитическом виде. Практически это означает, что командой dsolve можно пользоваться только при поиске решения линейного дифференциального уравнения (или системы линейных уравнений).
Пример
Решить дифференциальное уравнение dx 0,5x с начальным dt
условием x(0)=10. Построить график решения в интервале [–0,5; 7].
Порядок ввода:
>>x=dsolve('Dx=–0.5*x','x(0)=10')
>>ezplot(x,[–0.5,7]);
>>grid
В результате получим функцию х=10e–1/2t и график (рис. 11).
45
Рис. 11. График функции-решения уравнения
Пример
Решить систему однородных дифференциальных уравнений
dx1 0,5x ;
2
dt
dx2 3x1;
dt
с начальными условиями x1(0)=0, x2(0)=1. Построить график решения в интервале [–0,5; 13].
Порядок ввода:
>>[x1,x2]=dsolve('Dx1=–0.5*x2','Dx2=3*x1','x1(0)=0','x2(0)=1')
>>ezplot(x1,0,13)
>>grid
>>hold on
>>ezplot(x2,[0,13])
В результате получим функции x1 |
|
/6 sin |
|
t/2 и |
6 |
6 |
x2 cos 
6 t/2 . Графики функций показаны на рис. 12.
46
Рис. 12. Графики функций х1 и х2
Пример
Решить систему неоднородных дифференциальных уравнений
dx1 3x 12;1
dtdx
2;
снулевыми начальными условиями и построить график решения в
интервале [0; 5] для первой x1 координаты и в интервале [0; 9] для второй x2 координаты.2dt 2,5x1 1,25x
Порядок ввода:
>>[x1,x2]=dsolve('Dx1= –3*x1+12','Dx2=2.5*x1–1.25*x2', ...
'x1(0)=0','x2(0)=0')
>>ezplot(x1,[0,5])
>>grid
>>hold on
>>ezplot(x2,[0,9])
Врезультате получим функции x1=4–4e–3t, x2=8+40/7∙e–3t–96/7∙e–5/4t
играфик (рис. 13).
47
Рис. 13. Графики функций х1 и х2
Пример
Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка
2,5d2x 3dx 5x 12 dt2 dt
с нулевыми начальными условиями и построить график решения в интервале [–0,2; 9].
Порядок ввода:
>>x=dsolve('2.5*D2x+3*Dx+5*x=12','Dx(0)=0','x(0)=0')
>>ezplot(x,[–0.2 9])
>>grid
В результате |
получим x= 36 |
41/205 e 3/5 t sin |
41/5 t |
12/5 e 3/5 t cos |
41/5 t 12/5 и график (рис. 14). |
|
|
Пример
Построить график решения дифференциального уравнения 3-го порядка с нулевыми начальными условиями в интервале [–0,2; 21]:
1,5d3x 4d2x 3dx 5x 12. dt3 dt2 dt
48
Рис. 14. График функции-решения уравнения
Порядок ввода:
>>x=dsolve('1.5*D3x+4*D2x+3*Dx+5*x=12','D2x(0)=0', … 'Dx(0)=0','x(0)=0')
>>ezplot(x,[–0.2 21])
>>grid
В результате получим график, показанный на рис. 15.
Рис. 15. График решения уравнения
49
Пример
Решить неоднородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка с нулевыми начальными условиями:
|
dx1 |
|
|
x |
10; |
|
|
|
|
||||||
dt |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
dx2 |
2x |
x ; |
|
|||
|
|
|
|||||
|
1 |
|
3 |
|
|||
dt |
|
|
|
|
|||
|
dx3 |
|
2,5x |
3x |
2x . |
||
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|||
dt |
|
|
|
|
|||
Порядок ввода:
>> [x1,x2,x3]=dsolve('Dx1=–x1+10','Dx2=2*x1–x3', ...
'Dx3=2.5*x1–3*x2–2*x3','x1(0)=0','x2(0)=0','x3(0)=0')
В результате получим функции x1=10–10e–t, x2=15/8∙e–3t+35/8∙et–5– –5/4∙e–t, х3=45/8∙e–3t–35/8∙et–85/4∙e–t+20.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
I. Решить дифференциальные уравнения при заданном начальном условии и построить графики решения любых трех уравнений:
1) |
dx |
|
tcost |
x |
, x(1) 0; |
5) |
|
dx |
x tgt |
1 |
, x(0) 0; |
|||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
dx |
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
|
|
dx |
1 |
|
, x(1) 1; |
6) (x |
t) |
1, |
|
x( 1) 0; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
et x |
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
1 x2 |
7) 1 et x |
dx |
et, х(0) |
1; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
, x(0) 1; |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dt |
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
4) |
dx |
x cost, x(0) |
1 |
; |
8) |
|
t2x4 |
|
|
, x(1) |
|
. |
||||||||||||||||||||
dt |
|
t |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
II. Решить дифференциальные уравнения старшего порядка при заданных начальных условиях:
1) d2x 4x 0, x(0) 0, dx(0) 2; dt2 dt
50