Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне, и посмотрим, что здесь к чему:

Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, и в ситуации неопределённости не рискует слишком большими деньгами. Например, система «красное / чёрное» в рулетке (см. Задачу 85).

Игра с высокой дисперсией. Её часто так и называют – дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы Мартингейл, где на кону оказываются суммы, на порядок превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.

Многими любимый покер: здесь есть так называемые тайтовые игроки, которые склонны осторожничать и «трястись» над своими игровыми средствами (банкроллом). Неудивительно, что их банкролл не подвергается значительным колебаниям (низкая дисперсия). Наоборот, если у игрока высокая дисперсия, то это агрессор. Он часто рискует, делает крупные ставки и может, как сорвать огромный банк, так и програться в пух и прах.

То же самое происходит на биржах, и так далее – примеров масса.

Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание.

Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:

 Формула для нахождения дисперсии

Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой:

и найденное матожидание M ( X ) 0,5 .

Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание M ( X 2 ) – квадрата случайной величины X . По определению математического

ожидания, значения случайной величины X 2 следует перемножить на соответствующие вероятности и эти произведения сложить:

M ( X 2 ) x12 p1 x22 p2 x32 p3 ... xn2 pn

в данном случае:

M (X 2 ) ( 5)2 0,5 (2,5)2 0,4 102 0,1 12,5 2,5 10 25

Таким образом, по формуле:

D( X ) ...

Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).

Осваиваем технику решения и оформления:

Задача 87

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла. Но желающие могут представить четыре лампочки с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями :)

Решение: Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения xi pi , затем xi2 pi и, наконец, суммы в правом столбце:

Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: M (X ) xi pi 1,5.

Дисперсию вычислим по формуле:

D(X ) M (X 2 ) (M (X ))2 xi2 pi (1,5)2 14,1 2,25 11,85

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:

(X ) D(X ) 11,85 3,44 – лично я обычно округляю результат до 2 знаков после запятой.

Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе (ссылка на видеоролик на Ютубе). Вот здесь вот уже будет трудно ошибиться.

Пара заданий для самостоятельного решения:

Задача 88

Вычислить дисперсию случайной величины X предыдущего примера по определению.

…встречается и такая задача, я ничего не придумываю. Почти 

И аналогичный пример:

Задача 89

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Найти M ( X ), D( X ), ( X )

Да, значения случайной величины бывают достаточно большими, и здесь по возможности лучше использовать Эксель.

И в заключение параграфа разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:

Задача 90

Дискретная случайная величина X может принимать только два значения: x1 и x2 , причём x1 x2 . Известна вероятность p1 0,8 , математическое ожидание M ( X ) 0,2 и дисперсия D( X ) 5,76 .

Найти x1, x2 , p2 .

Решение: начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий:

p1 p2 1

и поскольку p1 0,8 , то p2 0,2 .

Осталось найти x1, x2 …, легко сказать :) Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:

M (X ) x1 p1 x2 p2 – подставляем известные величины:

0,2 0,8x1 0,2x2 – и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении:

0,8x1 0,2x2 0,2

ОК, едем дальше. По формуле вычисления дисперсии:

D(X ) x12 p1 x22 p2 (M (X ))2 – подставляем известные данные:

5,76 0,8x12 0,2x22 (0,2)2 5,76 0,8x12 0,2x22 0,04 5,8 0,8x12 0,2x22

и реверанс:

О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему:

0,8x1 0,2x2 0,2

0,8x12 0,2x22 5,8

Десятичные дроби – это, конечно, безобразие, умножаем оба уравнения на 5:

Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:

x2 1 4x1 (это более простой путь) – подставляем во 2-е уравнение:

4x12 (1 4x1 )2 29

Возводим разность в квадрат и проводим упрощения:

4x12 1 8x1 16x12 29 20x12 8x1 28 0

5x12 2x1 7 0

В результате получено квадратное уравнение, находим его дискриминант: D ( 2)2 4 5 ( 7) 4 140 144 и извлекаем из него корень:

D 144 12 – отлично, целое значение, значит, мы на верном пути.

Таким образом, у нас получаются два решения:

1) если x1 2 12 1, то ; 10

2) если x1 2 12 1,4 , то x2 1 4 1,4 4,6 . 10

Условию x1 x2 удовлетворяет первая пара корней. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения:

и выполним проверку, а именно, найдём матожидание:

M (X ) x1 p1 x2 p2 1 0,8 5 0,2 0,8 1 0,2

и дисперсию:

D( X ) x12 p1 x22 p2 (M ( X ))2 ( 1)2 0,8 52 0,2 (0,2)2 0,8 5 0,04 5,76

В результате получены исходные значения, что и требовалось проверить.

Ответ: x1 1, x2 5, p2 0,2 …да, вроде бы такие простенькие числа, но вычисления…, и поэтому в этой задаче следует проявлять повышенное внимание.

Переходим к графическому представлению дискретной случайной величины: