Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг
.pdfела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода 1асовой стрелки, ©>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ю<0.
Размерность угловой скорости \/Т (т. е. 1/время); в качестве диницы измерения обычно применяют рад/с или, что то же, 1/с (с-1), ак как радиан — величина безразмер- [ая.
Угловую скорость тела можно изоб-
•азить в виде вектора со, модуль которо- |
|
о равен |ш| и который направлен вдоль |
|
>си вращения тела в ту сторону, |
откуда |
|ращение видно происходящим |
против |
:ода часовой стрелки (рис. 135). Такой |
|
leicrop определяет сразу и модуль угло- |
|
юй скорости, и ось вращения, и направ- |
|
гение вращения вокруг этой. оси. |
характеризует изменение с те |
У г л о в о е у с к о р е н и е |
рнием времени угловой скорости тела. Если за промежуток врегени At —ti—t угловая скорость тела изменяется на величину Аш— =ю,—©, то числовое значение среднего углового ускорения тела а этот промежуток времени будет еср=Дш/Д/. В пределе при А/-+0 шйдем, учтя одновременно равенство (37), что
dco d*q> |
или е = ш = ф. |
(38) |
|
е = ч г = ж |
|||
|
|
Таким образом, числовоезначение углового ускорения тела в данный
юмент времени равно первой производной от угловой скорости или торой производной от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения 1/7** (1/время*); в качестве диницы измерения обычно применяется рад/с* или, что то же, 1/с*
с-).
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение ела называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Легко (идетъ, что вращение будет ускоренным, когда величины ш и в (меют одинаковые знаки, и замедленным,— когда разные.
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью)
южно также изобразить в виде вектора е, направленного вдоль >сн вращения. При этом
е = dco/d/. |
(38') |
Направление е совпадает с направлением со, когда тело вращается
гскоренно (рис. 135, а), и противоположно ю при замедленном «ращении (рис. 135, б).
$ 50. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯ
Если угловая скорость тела остается во все время движения потоянной (co=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы (37) имеем
dtp= cod/. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t = О угол ф=<р*, и беря интегралы слева от ф. до <р, а справа от 0 до t, получим окончательно
Ф=<р«+«/. |
(39) |
Из равенства (39) следует, что при равномерном вращении, когда Ф«=0,
<р=<о/ и <a=<p/t. |
(40) |
В технике скорость равномерного вращения часто оорелелшрт числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через лоб/мнн*. Найдем зависимость между п об/мин и ш 1/с. При окном обороте тело повернется на угол 2л, а при п оборотах на.2ял; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 с. Из равенства (40) следует тогда, что
<|)=лл/30 « 0,1л. |
(41) |
Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (е = const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в -началь
ный момент времени /= 0 |
угол ф=ф., а угловая скорость а>=о>« |
|||
(о), — начальная |
угловая |
скорость). |
|
|
Из формулы |
(38) имеем dw=ed/. Интегрируя левую часть в пре |
|||
делах от (о0 до |
и, |
а правую — в пределах от 0 до /, |
найдем |
|
|
|
|
<о=(о#+ е/. |
(42) |
Представим выражение (42) в виде
dф/d/=a>o+в/ или dф=<йod/+e/d/.
Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вра щения
ф=фо+©о*+^'/2. |
(43) |
Угловая скорость со этого вращения определяется формулой (42). Если величины ш и е имеют одинаковые знаки,. вращение будет равноускоренным, а если разные — равнозамедленным.
S 61. СКОРОСТИ и УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Установив в предыдущих параграфах характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.
1. С к р р о с т и т о ч е к т е л а . Рассмотрим какую-ниб точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вра щения (см. рис. 134). При вращении тела точка М будет описывать
* Следует особо подчеркнуть, что л по размерности не угол, а угл скорость.
122
жружность радиуса ft, плоскость которой перпендикулярна оси фащения, а центр С лежит на самой оси. Если за время d/.проис- [одит элементарный поворот тела на угол d«p, то точка М при этом :овершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds= =ftd<p. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отнопению ds к d/, т. е.
[ЛИ
v = hco. |
(44) |
Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют иногда ще линейной или окружной скоростью точки М.
Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося
твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя- \ие от этой точки до оси вращения.
Направлена скорость по касательной к описываемой точкой жружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось ращения и точку М.
Так как для всех точек тела и имеет в данный момент времени дно и то же значение, то из формулы (44) следует, что скорости очек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси ращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет 1ИД, показанный на рис. 136.
Рис. 136 |
Рис. 137 |
2.У с к о р е н и я т о ч е к ' т е л а . Для нахождения ускоре-
ия точки М воспользуемся формулами ax= dv/dt, an= v t/p.
В нашем случае р=Л. Подставляя значение v из равенства (44)
выражения ат и а„, получим: |
|
ли окончательно: |
(45) |
ат^=Лс, ая = Лю*. |
Касательная составляющая ускорения а* направлена по касаельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра щении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная
оставляющая ал всегда направлена по радиусу М С к оси вращения !>ис. 137). —
123
Полное ускорение точки М. будет а = У а \ + а* или |
|
а = Л V е*+ ©*• |
(46) |
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом |х, который вычисляется по формуле tgji= а х/ап [вторая из формул (22)]. Подставляя сюда зна
чения |
и Оп из равенств (45), получаем |
|
|
tg ц.=е/ш'. |
(47) |
Так как со и е имеют в данный момент временидля всех точек тела одно и то же значение, то из формул (46) и (47) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол ц с радиусами описываемых ими окруж ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вцд, показанный на рис. 138.
Рис. 138 Рис. 139
Формулы (44) — (47) позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения. По этим же формулам можно, зная движение одной точки тела, найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом.
3. В е к т о р ы с к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор г точки
М (рис. |
139). Тогда К—г sin а и |
по формуле |
(44) |
|
|
|i>| = |(o|ft = |© |r s in a |
или |
|и | = |
|о>хг| |
Таким |
образом, модуль векторного |
произведения сох г равен |
модулю скорости точки М. Направления' векторов шХг и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно сти их одинаковы. Следовательно,
v = a>xr, |
(48) |
124
г. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен вектор
ному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Формулу (48) называют формулой Эйлера.
Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени, получим
или |
|
e = (ex7) + («>Xt5). |
(49) |
Формула (49) определяет вектор ускорения любой точки вращаю щегося тела.
Вектор е Х г направлен,_ как и вектор соХг, т. е. по касательной к траектории точки М, а |еХ г\—гг sin a= eh . Вектор же a>Xi> на правлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М , а |<оХ Xt»|=o>t>sin 90°=coVi, так как v —mh. Учитывая все эти результаты, а также формулы (45), заключаем, что еХ г= ат и o>Xv=an.
Задача 54. Вал, делающий л=90 об/мин, после выключения двигателя на чинает вращаться равнозамедленно и останавливается через tt = 40 с. Определить, :колько оборотов сделал вал за это время.
Р е ш е и н е. Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая
Л = 0 , будет |
|
<р=ш#/+е/*/2 , <о=й)0+ е /. |
(а) |
Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, |
Ko |
ropую вал имел до, выключения двигателя. Следовательно, |
|
ц,=ял/30.
В момент остановки при <=/, угловая скорость вала <о1= 0 . Подставляя эта аначения во второе из уравнения (а), получаем:
0=nn/30+et1 и e = —nnl30i1.
Если обозначить число сделанных валом за время tt оборотов через N (не э«ешквать с п; я — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет ра ки q>,=2nAf. Подставляя найденные значения е и qx в первое из уравнений (а), юлучим
2яАг=(пл/30)<1-^-(ял/60)<1=(лл/60)/1,
>ткуда
N = n tj/120=30 об.
Задача 88. Маховик радиусом У?= 0,6 м вращается равномерно, делая л=» =90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.
Р е ш е н и е . Скорость точки обода o= R w , где угловая скорость ш должна 5ыть выражена в радианах в секунду. Тогда <0=яп/30=3я и о=/?*Зя«5,7 м/с.
Далее, так как <о=const, то е= 0, и, следовательно,
в = в я=7?ш, =/?*9я, «»53,3 м/с1.
Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения. ЗадачЬ 56. Полагая, что при разгоне маховик вращается по закону
<p=ee + C i/-fc»e-«, (а)
шределнть значения постоянных коэффициентов с0, ct , с, и Л из условий, что при '= 0 должно быть $0 = 0 и <t>o= 0 и что предельная угловая скорость, до которой
№
разгоняется маховик юпр= 50 с-1 , а его угловое ускорение при разгоне не должно превышать значения &,= 10 с-1 . Найти также, какое ускорение будет при этом у точек обода маховика в момент времени <х= I с, если радиус маховика /7=0,4 м.
Р е ш е н и е . Из уравнения (а) видно, что при t—0 q>=0, если <yfc,=0, т. е.
с0= —с*.
Далее из уравнения (а) находим, что a}=<f=c1—kctt~*i. Следовательно, при
( = 0 (о=0, если et—kct= 0, т. е. ct=ltct.
При этих значениях cQ и сг уравнение (а) примет вид |
|
|
|
||||
< |
р |
= |
с |
, |
( |
б |
) |
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
со=Ф =с,* (1 —е- **), |
e= co = cffe*e“ *<. |
|
|
(в) |
Первое из равенств (в) показывает, что ш со временем растет и при <-*■оо стремится к предельному значению с,Л; следовательно, шпр= с 1А. Из второго же равенства видно, что е со временем убывает, стремясь к нулю, а наибольшее зна чение имеет при <= 0 ; следовательно,
ea=cJi*.
Но по условиям задачи ш„р=50 C_1*H е„=10 с~*. Тогда должно быть cjt= 50, а cj? = 10, откуда *=0,2 и с,=250. При этих значениях £ и с, равенство, (б) дает оконча тельно следующий закон вращения маховика:
<р = 250 (0,2/ -1-е-о.М— 1). |
(Г) |
|
Тогда, что видно и из равенств (в), бу |
||
дет * |
|
|
ел = 50(1 —е - 0'*'), е = |
10е-«-*‘. |
(д) |
Для момента времени |
tt= 1 с, |
учиты |
вая, что е“#>*»0,82, получим ®i«9,0 с-1, |
||
е1» 8 ,2 с- *. Следовательно, в этот момент времени ат=А е1»3;3 |
м/с1, ая=/?со, ж |
*»32,4 м/с* и а=ь|^о^+а^»!32,6 м/с*.
Задача 57. Груз В (рис. 140) приводит во вращение вал радиусом г и сидя щую !■' одной оси с валом шестерню 1 радиусом ^ . Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением а. Определить, по ка кому закону будет при этом вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней / шестерня 2 радиусом rt.
Р е ш е н и е . Так как груз |
В начинает двигаться без начальной скорости, |
то его скорость в любой момент |
времени / равна at (ад=а/). Эту скорость будут |
иметь и точки обода вала. Но, с другой стороны, скорости этих точек равны где (Oj— общая для вала и шестерни / угловая скорость. Следовательно,
щг=а1, <ol=at/r.
Теперь найдем сог. Так как |
скорость точки сцепления С должна быть одной |
и той же для обеих шестерен, |
то 1;(;=ш 1г1=ш 1г1, откуда |
0) ,= (г,/гj)о»!= (г,а!г^г)1.
Итак, угловая скорость шестерни 2 растет пропорционально времени. Учиты вая, что coJ=d<f),/d/, где ср, — угол поворота шестерни 2, получим
йщ=.{гга!г^)Ш.
Отсюда, беря от обеих частей интегралы и считая, что при /= 0 угол <р1= 0 ( найдем окончательно закон равноускоренного вращения шестерни 2 в виде
Ф,=(г1а/2г>-)Л
* Значение ш может изменяться по закону (д), когда на маховик действу постоянный вращающий момент и момент сил сопротивления, пропорциональный ш (задача 150 в § 128).
126
Глава X!
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
9 52. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
(ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ).
РАЗЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение
твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 141). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипноползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рис. 141 Рис. 142
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оху, парал лельной плоскости П (рис. 141). При плоскопараллельном движе нии все точки тела, лежащие на прямой А Ш ', перпендикулярной сечению 5, т. е. плоскости П, движутся тождественно.
Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура 5. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т. е. в плоскости Оху. При этом все ре зультаты, которые будут получены в § 53—59 для точек плоской фигуры, справедливы, конечно, и для точек сечения S твердого тела, движущегося плоскопараллельно.
Положение фигуры 5 в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 142). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная коор динаты хЛ, ул точки А и угол ф, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А , выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.
При движении фигуры величины хл , уА и <р будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости
127
Оху в любой момент времени, надо знать зависимости
* a = / i ( 0 . Уа Ч А * ) , ф =/»<*)• |
(50) |
Уравнения (50), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твер
дого тела.
Первые два из уравнений (50) определяют то движение, которое фигура совершала бы при ф = const; это, очевидно, будет поступа
|
тельное движение, при,котором все точ |
||
|
ки фигуры движутся так же, как полюс |
||
|
А. Третье уравнение |
определяет движе |
|
|
ние, которое фигура |
совершала бы при |
|
|
Хл —const и yA=const, т. е. когда полюс |
||
|
А неподвижен; это будет вращение фи |
||
|
гуры вокруг полюса А. Отсюда можно |
||
|
заключить, что в общем случае движение |
||
|
плоской |
фигуры в ее плоскости может |
|
|
рассматриваться как слагающееся из по |
||
|
ступательного движения, при котором |
||
Рис. 143 |
все точки фигуры движутся так же, как |
||
полюс А, и из вращательного движения |
|||
|
вокруг этого полюса *. |
||
Основными кинематическими характеристиками рассматривае |
|||
мого движения |
являются • скорость |
и ускорение поступательного |
движения, равные скорости и ускорению полюса (t»n0CT=uA,a„0CT=
= ал ), а также угловая скорость со и угловое ускорение е враща тельного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик в любой момент времени t можно найти, воспользовавшись уравне ниями (50).
При изучении движения можно в качестве полюса выбирать лю бую точку фигуры. Рассмотрим, что получится, если вместо А вы брать в качестве полюса какую-нибудь другую точку С и опреде лять положение фигуры отрезком CD,xобразующим с осью Ох угол ф! (рис. 143). Характеристики поступательной части движения при
этом изменятся, так как в общем случае Vc=fcvA и асф аА (иначе дви жение фигуры было бы поступательным). Характеристики же вращательной части движения, т. е. (о и е, остаются неизменными. В самом деле, проведя из С прямую CBit параллельную АВ, мы видим, что Ь любой момент времени угол <pi=<p—а, где a=const.
Отсюда ф!=ф, ф!=ф или (о1=(о, е,=е.
Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса
не зависит.
* Соответственно плоскопараллельное движение твердого теламожно рас сматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с полюсом А и вращательного вокруг оси, перпендикулярной плоскости П (см. рис. 141) и прохо дящей через полюс А .
128
§53*. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Перейдем теперь к изучению движения отдельных точек плоской фигуры, т. е. к отысканию траекторий, скоростей и ускорений этих точек. Начнем с определения траекторий.
Рассмотрим точку М плоской фигуры, положение которой определяется расстоянием Ь=АМ от полюса А и углом В А М —а (рис. 144). Если движение задано уравнениями (50), то координаты jc и у точки М в осях Оху будут:
х = х А+Ьсо& (ф+а), у = у л + bsin (<р+а), |
(51) |
где хл , ул , ф — известные по уравнениям (50) функции времени t. Равенства (51), определяющие закон движения точки М в плос кости Оху, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрическом виде. Обычное уравнение траектории получим,
исключив из системы (51) время t.
Если рассматривается движение звена какого-нибудь механизма, то для определения траектории любой точки этого звена достаточно выразить ее координаты через какой-нибудь параметр, определяю щий положение механизма, а затем исключить этот параметр. Уравнения движения (50) при этом знать не обязательно.
Задача 58. Ползуны А и В, к которым прикрепляется линейка эллипсографа, перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим (рис. 145). Расстоя
ние АВ=1. Определить траекторию точки М линейки.
Р е ш е н и е . Взяв за полюс точку А, будем определять положение точки М на линейке отрезком АМ=Ь. Положение самой линейки задается углом <р. Тогда для координат х и у точки М получим: х=(Ь—0 cos ф, y—b sin ф. Исключая пара метр ф, находим, что траекторией точки (независимо от закона движения линейки) будет эллипс
*»/(&—/)4-yW =l
с полуосями а = ] 6—/| и б и с центром в точке О.
Меняя с помощью соответствующих винтов расстояния tu b , можно вычертить карандашом М эллипс с любыми заданными полуосями, не превосходящими раз меров линейки. Отсюда и название механизма — эллипсограф.
g 1870 |
129 |
f 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
В § 52 было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при
котором все точки фигуры движутся со скоростью vA полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что ско рость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором г = г А+ г' (рис. 146),
где гА — радиус-вектор полюса А, г’= А М — вектор, определяю щий положение точки М относительно осей Ах'у', перемещающих ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше нию к этим осям представляет собой вращение вокруг лолюса А). Тогда
—dг drA , dr'
Vm~ W |
dt r - g r - |
В полученном равенстве |
величина 6rAl i t —vA есть скорость |
полюса А; величина же dr'/dt равна скорости vMA, которую точка М
получает при rA=const, т. е. относительно осей Ах'у', или, иначе говоря, при вращении-фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что
|
VM - VA + VMA- |
( 5 2 ) |
При этом скорость vMA, которую точка М получает при вращении |
||
фигуры вокруг йолюса А, будет (см. §51): |
|
|
|
умл = а-М А (VMA _L Ш ), |
(53) |
где © — угловая |
скорость фигуры. |
|
Таким образом, |
скорость любой точки М плоской фигуры гео |
метрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А,
принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении^ фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление
скорости vM находятся построением соответствующего параллело грамма (рис. 147).
130