Статика и кинематика / Краткий курс теоретич. механики, Тарг
.pdfдению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый,— проекция положитель на, если тупой,— отрицательна, а.если сила перпендикулярна оси,— ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис.
FX= F cos a =ab, Qx=Q cos а х= — Q cos <p=—de, Z5*—0. |
(4) |
Проекцией силы T на плоскость Оху называется вектор |
F *„= |
заключенный между проекциями начала и конца силы F на ату плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями,
но и |
направлением |
в |
|
|
|
||
плоскости |
Оху. |
По |
мо |
|
|
|
|
дулю |
Fxu—Fios 6, |
где |
|
|
|
||
0 — угол |
между направ- |
|
|
|
|||
лением силы F и ее про |
|
|
|
||||
екции ¥ ху. |
|
а гг ь |
й Я, |
« |
pz |
||
В |
некоторых |
случа |
|
|
|
||
ях |
для |
нахождения |
Рис‘ |
18 |
|
||
проекции |
силы |
на |
ось |
|
|
|
удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектиро вать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что
FX= F XV cos <p=F cos 0 cos <p, F V= F XV sin <p=F cos 0 sin <p. |
(5) |
А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б з а д а н и я с и л . |
Для |
аналитического задания силы необходимо выбрать систему коорди натных осей Охуг, по отношению к которой будет определяться на
|
X |
Рис. 19 |
Рис. 20 |
правление силы в пространстве. В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой крат чайшее совмещение оси Ох с осью Оу происходит, если смотреть с положительного конца оси Ог, против хода часовой стрелки (рис. 20).
21
Вектор, изображающий силу F, можно построить, если извест ны модуль F этой силы и углы а , р, у, которые сила образует с ко ординатными осями. Таким образом, величины F, я , р, у и задают
силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами х, у, г.
Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекци ями Fx, F tt, F z на координатные оси. Зная эти проекции, можно опре делить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:
F = V P x+ F l + F l
cos a = Fx/F, cos p = Fy/F, cos y = F jF .
Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Ох и Оу. Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:
F = V H |
+ Fy'y cos а = Fx/F, cos р = Fg/F. |
(7) |
А н а л и т и ч е с |
к и й с п о с о б с л о ж е н и я |
с и л . Пе |
реход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы гео метрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраи ческой сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно
этой теореме, если R есть сумма сил Fu F t, . . ., Fn, т. е. R = 2 F h, то
R x = 2F kx, R v = 'S,Fkv, R z = ^ F kl. |
(8) |
Зная R x, R v и Rz, по формулам (6) находим:
R - V R i + R f + R l
= R x/R, cosp = R y/R, cosy — R z/R.
Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.
Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие
формулы принимают вид: |
|
|
= |
R y ~^F)iy> |
\ |
R » V R \ + |
cos а - R J R , cos p = R y/R. |
) |
Если силы заданы их модулями и углами-с осями, то для приме нения аналитического метода сложения надо предварительно вычис лить проекции этих сил на координатные оси.
Задач* 3. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 21, а),
если дано: |
|
|
Р = |
17,32 Н , Г = 1 0 Н , Р = 2 4 Н , <р=30°,- * = 6 0 °. |
|
Р е ш е н и е . |
Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси] |
|
FX~ F cos <р=15 Н , |
Т х — — Т cos *)>=—5 Н , Р * = 0; |
|
F f = — F sin |
8,66 Н , |
Т в= Т sin iJj= 8,66 Н , Р , = - Р = —24 Н . |
22
Тогда по формулам (10)
R x = 1 5 - 5 = 10 Н, R y= - 8 ,6 6 + 8 ,6 6 - 2 4 = - 2 4 Н.
Следовательно,
R = V 10»+ (-2 4 )» = 26 Н ; cos а = 5/13, cos fl = — 12/13.
Окончательно R = 2 6 Н, а = 6 7 ° 2 0 \ Р=157°20'.
Д ля решения той же задачи геометрическим методом надо, выбрав соответ
ствующий масштаб (например, в 1 см — 10 Н ), построить из сил Р , F и Т сило
вой многоугольник (рис: 21, б). Его замыкающая ad и определяет в данном ма
сштабе модуль н направление R . Если, например, при измерении получим е й » « 2 ,5 см, то, следовательно, /?~25 -Н с ошибкой по отношению к точному решению около 4% .
§ в. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твер дому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил (см. § 4) были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, мож но выразить в геометрической или в аналитической форме.
1. Г е о м е т р и ч е с к о е у с л о в и е р а в н о в е с и я .
Т^к как главный вектор R системы сил определяется как замыкаю щая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил
(см. рис. 15), тоТ? может обратиться в нуль только тогда, когда ко нец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой силы, т. е. когда многоугольник замкнется.
Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необхо димо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из
втих |
сил, был замкнутым. |
2. |
А н а л и т и ч е с к и е у с л о в и я р а в н о в е с и я . Аналити |
чески модуль главного вектора системы сил определяется формулой
R = V R l + R I + R I
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно R x—0, /?„=(), R z—0, т. е., как это следует из формул (8), когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:
2 / ^ = 0, |
= 0, 2 ^ = 0. |
(11) |
23
Равенства (11) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каж дую из трех координатных осей были равны нулю.
Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В слу чае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия:
|
2F*X= |
0, 2 / ^ = 0. |
(12) |
3. |
Т е о р е м а о т р е х |
с и л а х . При решении |
задач статики |
иногда удобно пользоваться следующей теоремой: если твердое те ло находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересека ются в одной точке.
Д ля доказательства теоремы рассмотрим сначала какие-нибудь
две из действующих на тело сил, например и Ft . Так как по усло виям теоремы эти силы лежат в одной плоскости и не параллельны, то их линии действия пересекаются в некоторой точке А (рис. 22). Приложим силы F! и F* в этой точке и заменим их равнодействующей R . Тогда на тело будут действовать две силы: сила R и сила F,, приложенная в какой-то точке В тела. Если тело при этом находит ся в равновесии, то силы R и F , должны быть направлены по одной
прямой, т. е. вдоль А В . Следовательно, линия действия силы Ft тоже проходит через точку А , что и требовалось доказать.
Обратная теорема места не имеет, т. е. если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то тело под действием этих сил может и не находиться в равновесии; следовательно, теорема выра жав!' только необходимое условие равновесия тела под действием
Пример. Рассмотрим брус А В , закрепленный в точке А шарниром и опираю щийся на выступ D (рис. 23). На этот брус действуют три силы: сила тяжести Р~,
реакция W p выступа и реакция R д шарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия
сил Р~и известны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия дей
ствия приложенной в точке А реакции R x тоже должна пройти через точку К , т. е. должна быть направлена вдоль прямой А К. Теорема о трех силах позволила в этом случае определить заранее неизвестное направление реакции шарнира А .
24
f 7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ
Решаемые методами статики задачи могут быть одного из следу ющих двух типов: 1) задачи, в которых известны (полностью или частично) действующие на тело силы и требуется найти, в каком положении или при каких соотношениях между действующими сила ми тело будет находиться в равновесии (задачи 4, 5); 2) задачи, в которых известно, что тело заведомо находится в равновесии и тре буется найти, чему равны при этом все или некоторые из действую щих на тело сил (задачи 6, 7, 8 и др.). Реакции связей являются величинами, наперед неизвестными во всех задачах статики.
Приступая к решению любой задачи, следует прежде всего ус тановить, равновесие какого тела (или каких тел) надо рассмотреть, чтобы найти искомые величины. Процесс решения сводится к сле дующим операциям.
1. В ы б о р т е л а ( и л и т е л ) , р а в н о в е с и е к о т о р о г о д о л ж н о б ы т ь р а с с м о т р е н о . Для решения задачи надо рассмотреть равновесие тела, к которому приложены заданные и искомые силы или силы, равные искомым (например, если надо найти давление на опору, то можно рассмотреть равнове сие тела, к которому приложена численно равная этой силе реакция опоры и т. п.).
Когда заданные силы действуют на одно тело, а искомые на дру гое или когда те и другие силы действуют одновременно на несколь ко тел, может оказаться необходимым рассмотреть равновесие систе мы этих тел или последовательно равновесие каждого тела в от дельности.
2. И з о б р а ж е н и е д е й с т в у ю щ и х с и л . Установив, равновесие какого тела или тел рассматривается (и только после этого), следует на чертеже изобразить все действующие на это тело (или тела) внешние силы, включая как заданные, так и искомые си лы, в том числе реакции всех связей. При изображении реакций
учесть все сказанное о них в § 3. |
|
|
||
3. С о с т а в л е н и е |
у с л о в и й р а в н о в е с и я . Усло |
|||
вия равновесия составляют для сил, действующих на |
тело (или |
|||
тела), равновесие |
которых |
рассматривается-. Об особенностях со |
||
ставления условий |
равновесия для |
различных систем |
сил будет |
|
сказано в соответствующих |
местах |
курса. |
|
4. О п р е д е л е н и е и с к о м ы х в е л и ч и н , п р о в е р к а п р а в и л ь н о с т и р е ш е н и я и и с с л е д о в а н и е п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в . Важное значение в про цессе решения имеет аккуратный чертеж (он помогает быстрее найти правильный путь решения и избежать ошибок при составлении ус ловий равновесия) и последовательное проведение всех выкладок.
Все расчеты при решении задач рекомендуется, как правило, производить в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых ве личин будут получаться формулы, дающие возможность проанали зировать найденные результаты. Кроме того, решение в общем виде позволяет иногда обнаружить сделанные ошибки путем проверки
размерностей (размерности каждого из слагаемых в обеих частях равенства должны быть одинаковыми). Числа, если решение произ водится в общем виде, подставляются только в окончательные ре зультаты.
В этом параграфе рассмотрим задачи на равновесие тела под дей ствием сходящихся сил. Для их решения можно пользоваться гео метрическим или аналитическим методом.
Геометрический метод. Им удобно пользоваться, когда общее число действующих на тело сил (и заданных, и искомых) равно трем. При равновесии треугольник, построенный из этих сил, дол жен быть замкнутым (построение следует начинать с заданной си лы). Решая этот треугольник, найдем искомые величины.
Аналитический метод. Им можно пользоваться при любом числе приложенных сил. Для составления условий равновесия, кото рых в случае плоской системы сходящихся сил будет два [формулы (12)], а в случае пространственной системы три [формулы(11)1, надо сначала выбрать координатные оси. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно какой-либо неизвест ной силе.
Для составления условий равновесия полезно на первых порах предварительно вычислить проекции всех сил на выбранные оси, внося их в отдельную таблицу (см. задачу 4).
Ряд дополнительных указаний дается в ходе решения рассмат риваемых ниже задач.
Задача 4. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом на
клона а (рис. 24, а). Определить значение горизонтальной силы F , которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом рав
на сила давления Q груза на плоскость.
__ Р е ш е н и е . Искомые силы действуют на разные тела: сила Т на груз, сила
Q — на плоскость. Д л я решения задачи вместо силы |
Q будем |
искать |
равную |
|||||
ей по модулю, |
но противоположно |
направ |
||||||
ленную реакцию плоскости N . Тогда задан |
||||||||
ная |
сила Р и искомые силы |
F и N будут |
||||||
действовать на груз, т. е. на одной то же те |
||||||||
ло. Рассмотрим равновесие груза и изобра |
||||||||
зим |
действующие |
на |
этот |
груз |
силы Р |
|||
и F |
и реакцию |
связи N . Д ля |
определения |
|||||
искомых сил можно |
воспользоваться |
или |
||||||
геометрическим, |
или |
аналитическим |
усло |
|||||
виями равновесия. |
Рассмотрим |
оба |
способа |
|||||
решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический |
способ. |
При равновесии |
треугольник, построенный из сил Р , F н N , должен быть замкнутым. Построение треугольника начинаем с заданной
силы. От произвольной точки а в выбранном масштабе откладываем силу Р (рис. 24, б). Черея начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные на
правлениям с и л Т и Ж Точка пересечения этих, прямых дает третью вершину с замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны Ьс и со равны в выбран ном масштабе искомым силам. Направление сил определяется правилом стрелок: так как здесь равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде на должны встречаться в одной точке.
26
Модули искомых сил можно из треугольника abc найти и путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Заме чая, что Z b a c = 90 , a Z a b c = a , получим:
F = P tg a , N — Pfcos а .
Аналитический способ. Так как система действующих сходящихся сил является плоской, для нее надо составить два условия равновесия (12). Сначала проводим координатные оси; при этом для получения более простых уравнений ось х на
правляем перпендикулярно неизвестной силе N . Далее вычисляем проекции сил Р>
F, N на оси х н у , внося их в таблицу *:
Теперь |
составляем уравнения 2 Fj,x = 0 , 2 / ^ = 0 . Получим: |
|
|
Р sin а — F cos а = 0 ; —P c o s a —F s in a + A ,= 0 , |
|
Решая |
эти уравнения, |
найдем: |
|
Р = Р t g a , |
N = P cos a -f-P sin* a/cos a —P/cos a . |
Геометрическое решение в подобных простых задачах (когда действующих |
||
сил три) оказывается более компактным, чем аналитическое. Как видно, пря |
a < 4 5 F < Р , а при a > 4 5 ° .f > Р ; /V > P при любом а > 0 .
Искомая сила давления груза на плоскость численно равна N , но направлена
в противоположную сторону (Q— —N ).
Задача 5. Стержень А В прикреплен к неподвижной опоре ш арниром А (рис. 25, а). К концу В стержня подвешен груз весом Р и прикреплена нить. Нить перекинута через блок С и к ней подвешен груз весом Q. Оси блока С и ш арнира А расположены на одной вертикали, причем А С — А В . Найти, при каком угле a система будет в равновесии и чему при этом равно усилие в стержне А В; весом стер
ж ня и размером |
блока пренебречь. |
Р е ш е н и е . |
Рассмотрим равновесие стержня А В , к которому приложены |
все данные и искомые силы. Изобразим для наглядности стержень отдельно (рис. 25, б) и покажем действующие на него силы: силу 'Р, численно равную весу
груза, натяжение Т нити и реакцию R A , направленную вдоль стержня, так как стержень считается невесомым. Если трением в оси блока пренебречь, то натяж е ние нити, перекинутой через блок, при равновесии всюду одинаково; следователь
но, T= Q . |
____ ___ |
Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р ,Т и R A замкнутый |
силовой треугольник cab (рис. 25, в), начиная с силы Р . Из подобия треугольников abc и ABC находим, что ca= ab и Z c a b = a . Следовательно,
|
R A — P> sin (a/2) = Q/2P, |
®ак как |
Т — Q = 2 P sin (a/2). |
Из |
полученных результатов следует, что при « < 1 8 0 ° равновесие возможно |
только, если Q < 2 P . Стержень при этом будет сжат с силой, равной Р , независи мо от значений груза Q и угла а .
*Таблицу целесообразно заполнять по столбцам, т. е. сначала вычислить
проекции на обе оси силы Р , затем силы F и т. д. Предварительное составление та ких таблиц уменьшает вероятность ошибок в уравнениях и особенно полезно иа первых порах, пока не будет приобретен достаточный навык в проектировании сил, а затем и в вычислении их моментов. Примеры таких таблиц для других систем сил даются далее в задачах 10, 19 (§ 17) и 40 (§ 30).
27
Случай, когда а. = 180°, долж ен быть рассм отрен отдельно. Легко видеть,
что в |
этом |
случае равновесие |
возм ож но при |
лю бы х |
значениях Р и Q. П ри |
это м , |
если |
P > Q , то стержень |
растягивается |
с силой, |
равной P —Q; если же |
Q > P , то стержень сж им ается с силой, равной Q —P- |
|
||||
О бращ аем внимание на то, что сила тяжести 5 непосредственно в условие |
|||||
равновесия |
(в силовой треугольник) не вош ла, так как эта сила приложена |
||||
к грузу, а не к стержню А В , равновесие которого рассм атривалось. |
|||||
Задача 6. К ран, закрепленный подш ипником А и |
подпятником В, несет |
||||
нагрузку ? |
(рис. 26). О пределить реакции ~КА и И в опор, вызванные действием |
данной нагрузки, если вы лет крана равен I и A B = h .
f t
Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесий крана, к которому приложены задан ная и искомые силы. Изображаем действующие на кран силу Р и реакцию подшип
ника Я д, направленную периендикулярно оси А В . Реакция подпятника R g мо ж ет иметь любое направление в плоскости чертежа. Но кран находится в равно весии под действием трек сил; следовательно, их линии действия должны пересе каться в одной точке. Такой точкой является точка £ , где пересекаются линии
действия сил Р"и 7?д. Таким образом, реакция R g будет направлена вдоль BE.
Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р , Яд и R g замкну тый треугольник abc, начиная с заданной силы Р. Из подобия треугольников abc
и А В Е нахо/шм: |
|
R A/P = l/h, |
R BI P = V W + P l h , |
откуда |
_______ |
R A = Pl/h, |
R B = P y /l+ P /h 2. |
И з треугольника abc видно, что направления реакций ~RA n~RB показаны на чертеж е правильно. С илы давления на подшипник А и подпятник В численно
равны R j и R B , но направлены противоположно реакциям. Значения этих давле ний будут тем больше, чем больше отношение llh.
Рассмотренная задача дает пример использования теоремы о трех силах. Задача 7. К шарниру А коленчатого пресса приложена горизонтальная сила
"Р (рис. 27, а). Пренебрегая весом стержней и поршня, определить силу давления поршня на тело М при данных углах а и р.
Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала равновесие шарнира А , к которому при лож ена единственная заданная сила 7Г На ось шарнира кроме силы /^действуют
реакции |
стержней |
и R t , направленные вдоль стержней. Строим силовой тре |
||
угольник |
(рис |
27, 6). |
Углы в нем равны: <f>=90°—a , ij= 9 0 o—Р, у = а + § - Поль |
|
зуясь теоремой |
синусов, |
получим: |
||
|
|
R js in |
<р= Я/sin у и R i— P cos а /sm (oc-j-fl). |
Теперь рассмотримравновесие порцшя. На поршень действуют тоже три силы:
сила давления R i = — R , стержня АВ, реакция Я”стенки и реакция Q прессуемого тела. Так как сил три, то они при равновесии должны быть сходящимися.
28
Строя из этих сил силовой треугольних (рис. 27, в), находим из него
Q = /? i cos p.
Подставляя вместо R i равную ей R i, получаем окончательно
_ Р соз а соэ р ________Р
4 sln(a-)-p) — t g a - f t g p
Сила давления поршня на тело М равна по модулю Q и направлена в противопо ложную сторону. Из последней формулы видно, что при одной и той же силе Р сила Q возрастает с уменьшением углов а и р .
Если длины стержней ОА и А В одинаковы, то а = р и Q = 0 ,5 Р ctg а .
Рис. 27 Рис. 28
Задача 8. На цилиндр весом Р , лежащий на гладкой горизонтальной пло
скости, действует горизонтальная сила Q, прижимающая его к выступу В (рис. 28). Определить реакции в точках А и В , если B D = h — R l2 (R — радиус цилиндра).
Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие цилиндра, на который действуют за
данные силы Я, 5"и реакции связей Жд и 17д (реакция Wg направлена по нормали к поверхности цилиндра, т. е. вдоль радиуса ВС). Все силы лежат в однОй пло скости и сходятся в точке С. Так как сил четыре, то удобнее воспользоваться ана литическими условиями равновесия l F kx= 0, 2 F*i/= 0 . Проведя координатные оси так, как показано на рис. 28, получим:
Q — AfB c o s a = 0, N л — P + N g sin a = 0.
При h = 0,5 R получим s in a = ( i? —h )lR = 0 ,5 и a = 3 0 ° . Тогдй из первого урав нения находим
А’а — Q/ c°s a = 2Q V 3/3. Подставляя это значекие N g во второе уравнение, получим
N A = P — < H g a = P — Q V 3 /3 .
П ри Q = P y / 3 реакция N A обращ ается в нуль, а если Q > P sJ'i, то цилиндр оторвется от плоскости и под действием силы Q начнет поворачиваться вокруг выступа В.
Задача 9. Н а кронш тейне, состоящ ем из стержней А В и ВС, скрепленны х друг с другом и со стеной ш арнирам и, укреплен в точке В блок (рис. 29, а). Через блок перекинута нить, один конец которой привязан к стене, а на другом подвешен груз весом Q. О пределить реакции стержней, пренебрегая их весом и размерами блока. У глы а и Р заданы .
29
Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие блока с прилегающим к нему отрезком D E нити *. Д ля наглядности изобразим блок отдельно (рис. 29, б). На блок с от резком нити действуют четыре внешние силы: натяжение правой ветви нити, рав
ное Q, натяжение левой ветви нити Т , по числовой величине тоже равное Q (T = Q ),
и реакции стержней R t vTRit направленные вдоль стержней. Силы, пренебрегая размерами блока, считаем сходящимися. Так как число их больше трех, восполь
зуемся условиями равновесия |
О, |
||||
1 Ffty= 0. |
Проведя координатные |
оси |
|||
так, |
как |
показано на рис. 29, б, полу |
|||
чим: |
— Т cos P + /? i sin а —R -i=0, |
|
|||
|
|
||||
|
—Q+ Г |
sin |
cos a = 0 . |
|
|
Из второго уравнения, |
учитывая, |
что |
|||
T = Q , находам |
|
|
|||
|
R i= Q (1—sin P)/cos a . |
|
|||
|
Подставляя это значение R 1 в пер |
||||
вое |
уравнение, после |
преобразования |
|||
получаем |
|
sin a — cos (a — р) |
|
||
|
„ |
_ |
|
||
|
«а = v ---------——--------. |
|
Из выражения для /?х следует, что при любых острых углах а и р /?t > 0. Это означает, что реакция направлена всегда так, как показано на чертеже. Сила же давления блока на стержень направлена в противоположную сторону (стержень
ВС сжат). Д ля R 2 получаем другой |
результат. |
Бу |
||||||
дем считать углы а и р |
всегда |
острыми. Так |
как |
|||||
sin a — cos (a —P )= sin a - s m |
(90°—a + P ), |
|
||||||
то эта разность положительна, если a >(90°—a + P ) |
||||||||
или когда 2ct> (90°+P). |
Отсюда |
следует, |
что при |
|||||
а > (4 5 °+ р /2 ) значение Я 2> 0 , т. е. реакция |
име |
|||||||
ет направление, изображенное на чертеже; |
если же |
|||||||
а < (4 5 °+ р /2 ), |
то /?а< 0 , |
т. |
е. |
реакция |
имеет |
|||
противоположное направление (от А |
к В). При этом |
|||||||
стержень А В в первом случае растянут, а во втором |
||||||||
сжат. Когда а = 4 5 ° + р /2 , получаем R t = 0. |
|
|
||||||
Обращаем |
внимание |
на следующие выводы: 1) |
||||||
если в систему входят блоки с перекинутыми через |
||||||||
них нитями, то при составлении условий равнове |
||||||||
сия блок целесообразно рассматривать вместе с |
||||||||
прилегающим к нему отрезком нит и |
как |
одно |
те |
|||||
ло. При этом, |
если трением |
нити о |
блок |
или |
тре |
|||
нием в оси блока пренебречь, то натяжения |
на |
|||||||
обоих концах |
нит и будут |
по |
модулю равны и на |
|||||
правлены от блока (иначе нить скользила |
бы в сто |
|||||||
рону большего |
натяжения или блок |
вращался бы); |
2) если при изображении реакций связей какая-нибудь из них будет направлена ие в ту сторону, куда она фактически действует, то при геометрическом решении это непосредственно обнаружится из силового многоугольника (правило стрелок), а при аналитическом решении числовая величина соответствующей реакции полу чится отрицательной.
Однако во всех случаях, когда это можно наперед сделать, следует реакции связей сразу направлять верно. Например, в задаче 6 направление реакции под-
* В подобных случаях целесообразно рассматривать блок вместе с прилегаю щим к нему отрезком нити как одно тело. Тогда заранее неизвестные силы взаим ного давления нити и блока друг на друга будут силами внутренними и в условия равновесия не войдут.
30