где p1 = pат + ρgz; p2 = pат, то есть p1 − p2 = ρgz.

Подставляя (22.185) в (22.184), получим

(22.186)

Откуда

(22.187)

После интегрирования получаем

. (22.188)

Как видно из формулы (22.188), измерив, время t и уровни жидкости H1 и H2, можно вычислить коэффициент проницаемости k

(22.189)

Описание экспериментальной установки

В напорной ёмкости (рис. 22.1) установлены датчики уровня на отметках H1 и H2. При достижении жидкостью уровня H1 автоматически включается электронный секундомер и выключается, когда жидкость доходит до уровня H2. Зная параметры пласта и время, за которое уровень жидкости опустился с отметки H1 до H2, можно определить коэффициент проницаемости по формуле (22.189).

Порядок проведения работы

С помощью насоса напорная ёмкость заполняется до отметки несколько выше уровня H1. Выключается насос и за счет фильтрации жидкости через пористую среду уровень падает от отметки H1 до H2. Электронный секундомер фиксирует время изменения уровня. Параметры пласта берутся из лабораторной работы №21. Результаты измерений заносятся в таблицу 22.1.

96

Определив время t, за которое уровень жидкости упадет от отметки H1 до H2, по формуле (22.189) находят коэффициент проницаемости k. Сравнивают полученное значение k со значением k21 из работы № 21 по формуле

εС = ((k – k21)/ k21)·100% .

(22.190)

Результаты расчетов также заносятся в таблицу 22.1.

5Температура воды, t °C

6Динамический коэффициент вязкости, µ

7Показание электронного секундомера, t

8Коэффициент проницаемости, k

9Коэффициент проницаемости k21 из работы 21,

97

РАБОТА № 23

УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Цель работы

1.Найти распределение давления по длине пласта при разных давлениях на входе в пласт. Построить графики зависимости p = p(x) и p2 = p2(x).

2.Построить индикаторную кривую Qат = f(∆p2). Причём под ∆p2 имеют в виду не разность начального и конечного давлений в квадрате, а обозначение разности квадратов начального и конечного давлений.

3.Определить коэффициент проницаемости k.

Краткая теория Рассмотрим одномерное установившееся движение газа в трубе посто-

янного сечения S, заполненной пористой средой. В начальном сечении поддерживается постоянное давление p1, а в конечном сечении, расположенном на расстоянии L от начального – постоянное давление pN.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме через объемный рас-

ход

(23.191)

где x – координата, отсчитываемая вдоль линии тока (оси трубы).

При установившейся фильтрации газа массовый расход Qm через поперечное сечение S образца пористой среды остается постоянным по длине потока

Qm = ρQ = const,

(23.192)

а объемный расход Q будет меняться, т.к. будет меняться плотность газа ρ по длине потока.

98

Умножив правую и левую части уравнения (15.105) на плотность газа ρ, получим

(23.193)

Для того чтобы получить при фильтрации газа однотипное дифференциальное уравнение с дифференциальным уравнением (15.105), введем функцию P − (функцию Лейбензона) так, чтобы её дифференциал был равен

dP = ρ dp.

(23.194)

Тогда

(23.195)

Подставив выражение (23.194) в уравнение (23.193), получим

Qm = - k(dP/dx)S/µ.

(23.196)

Выражения (15.105) и (23.196) являются однотипными дифференциальными уравнениями. Сопоставляя уравнения (15.105) и (23.196) видим, что объемному расходу Q соответствует массовый расход Qm, а давлению p соответствует функция − P. Следовательно, все формулы, справедливые для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать в случае установившейся фильтрации газа, заменяя в них объемный расход Q на массовый расход Qm и давление p на функцию P.

Интегрируя уравнение (23.196) при заданных граничных условиях, получим

Qm = - k(P1- Pn)/L)S/µ.

(23.197)

Рассмотрим фильтрацию идеального газа. Уравнение состояния идеального газа имеет вид

99

(23.198)

где p – абсолютное давление, ρ - плотность газа, R – газовая постоянная, T – абсолютная температура.

При постоянной температуре уравнение состояния идеального газа можно записать

(23.199)

откуда

(23.200)

где ρатм – плотность газа при атмосферном давлении pатм.

Подставляя (23.200) в выражение (23.195), получим

(23.201)

Учитывая, что

(23.202)

и, используя формулу (23.197), получим выражение для массового расхода Qm

(23.203)

Найдем объемный расход, приведенный к атмосферному давлению Qатм исходя из соотношения

Qm = ρQ = ρатмQатм = const,

(23.204)

откуда, используя выражение (23.203), получим

100