7

1.2. Довільна система сил

Плоскою довільною називається система сил, лінії дії яких належать одній площині і не перетинаються в одній точці (рис.1.12).

Рис. 1.12 Рис. 1.13

Еквівалентними перетвореннями така система сил може бути заміненою рівнодійною силою або парою сил – двома силами, які мають однакові модулі і діють в протилежних напрямках вздовж паралельних прямих. У практичних задачах довільну систему сил зводять до вибраного центра, визначивши головний вектор – геометричну суму всіх сил системи, лінія дії якого проходить через центр приведення, та головний момент – суму моментів усіх сил відносно центра приведення. Моментом сили P відносно точки (центра) О називається вектор, отриманий векторним

Згідно правил векторного добутку модуль M моменту сили відносно точки дорівнює добутку абсолютної величини сили P на відстань від точки О до лінії дії сили P .

(величину h називають плечем сили P відносно точки О).

Вектор моменту перпендикулярний до площини, якій належать лінія дії сили P і точка О. Він направлений в той бік, звідки найкоротшим поворотом r до P здійснюється назустріч рухові стрілки годинника. Тому в плоских задачах момент M0 Pi вважатимемо додатнім, якщо тверде ті-

ло, уявно шарнірно закріплене в точці О, під дією сили P обертатиметься назустріч годинниковій стрілці.

Момент рівнодійної сили, згідно теореми Варіньона, відносно будь-якої точки дорівнює сумі моментів всіх сил системи відносно цієї точки.

Якщо, R n Pi , то

i 1

Приведення плоскої довільної системи сил до вибраного центра О можна виконати графічно або аналітично.

Графічне розв’язування полягає у визначенні вектора рівнодійної сили заданій системі сил та паралельного перенесення його до центра приведення. При цьому до тіла D потрібно прикласти момент, який рівнодійна утворювала відносно центра приведення до її перенесення. Рівнодійний вектор у загальному випадку можна побудувати послідовним геометричним додаванням усіх сил системи за правилом паралелограма. В часткових випадках, коли лінії дії сил паралельні, правило паралелограма не дозволяє визначити лінію дії сумарного вектора. Універсальним способом знаходження рівнодійної довільної системи сил на площині є побудова силового і мотузкового багатокутників. Силовий багатокутник (рис.1.14,б) – ланцюжок послідовно вишикуваних сил системи Fi (в прийнятому масштабі сил), замкнений рівнодійним вектором R , що поєднує першу точку цієї послідовності е з останньою – d. В околі силового багатокутника вибирається довільна точка

Рис. 1.14

– полюс s – яка поєднується відрізками (променями) з вершинами багатокутника. Мотузковий багатокутник створюють на кресленні диска, виконаному в певному масштабі (рис.1.14,а). Розпочинається побудова з вибору на лінії дії сили F3 , яка є першою ланкою силового багатокутника, до-

вільної точки 1. Через цю точку проводиться промінь, паралельний відрізку sа, що поєднує полюс s з кінцевою точкою першого вектора силового ланцюжка (рис.1.14,б). Точка 2 на перетині променя sa з лінією дії F1 – наступної (другої) сили у ланцюжку, є початком чергового променя, побу-

дованого паралельно прямій sb, що проходить через полюс і закінчення другої за раніше установленою послідовністю сили. Ці дії повторюються до визначення точки 4. Завершується побудова мотузкового багатокутника знаходженням точки 5 на перетині двох променів, проведених з першої (точки 1) та останньої (точки 4) точок паралельно відповідно se та sd у силовому багатокутнику. Ці промені спираються на вектор рівнодійної сили. Через відшукану точку 5 проходить лінія дії вектора рівнодійної сили (рис.1.14,а), напрямок якої і величина визначені в силовому багатоку-

10

Приклад 2.

Дано: абсолютно тверде тіло D,

плоска довільна система сил F1 , F2 , F3 , F4 (рис.1.16).

F1 =10 кН, F2 =15 кН,

F3 =10 кН, F4 =20 кН.

Необхідно: привести задану систему сил до центра А.

Аналітичне розв’язування:

Вибираємо систему координат Oxy (рис.1.16). Проекції головного вектора на осі системи координат:

4

Rx Fix F1x F2x F3x F4x

i1

F1 cos45 F2 cos0 F3 cos90 F4 cos150

10 0,7071 15 1 10 0 15 0,8660 9,08 кН;

4

Ry Fiy F1y F2 y F3y F4 y i 1

F1 cos45 F2 cos90 F3 cos0 F4 cos3010 0,7071 15 0 10 1 15 0,5 24,57 кН.

Модуль головного вектора:

R Rx2 Ry2 9,082 24,572 26,19кН.кН.

Напрямні кути:

arccos RRx arccos 26,199,08 arccos 0,3466 69,72 ;

arccos RRy arccos 24,5726,19 arccos 0,9380 20,28 .

Головний момент системи сил, приведеної до центру А

M A R 4 M A Fi

i1

F1 cos45 4 F1 cos45 0 F3 2 F2 0 F4 cos60 0 F4 cos30 2

10 0,7071 4 10 0,7071 0 10 2 15 0 20 0,8660 2 20 0,5 0

82,93кН.

11

Графічне розв’язування

Рис. 1.17

Порівняння результатів розв’язування двома способами виконується в таблиці 1.2: