1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал

Пусть функция двух переменных f(x,у) определена и непрерывна в точке М₀(х₀ ,у₀) и ее окрестности. Если переменные и изменились, приняв значения и у=у₀+у, то функция f(x,у) испытала полное приращение z=f(М) - f(М₀) =

у₀+у

=f(x₀+ x, у₀+у) - f(x₀, у₀), соответствующее перемещению из точки М₀(х₀ ,у₀) в точку М(х ,у).

Полное приращение для широкого класса функций, называемых дифференцируемыми, можно приближенно выразить линейно через приращения аргументов.

Функция z=f(x,у) называется дифференцируемой в точке М₀ (х₀,у₀), если полное приращение функции представимо в виде: z=Аx+Вy+ , где А и В не зависят от и , а выражение является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с и .

Линейная по и часть полного приращения функции f (x, у) называется полным дифференциалом функции f(x,у) в точке М₀ (х₀,у₀) и обозначается dz:

dz=Аx+Вy.

Следует отметить, что полное приращение функции f(x,у) можно записать z=dz+ .

Необходимое условие дифференцируемости сформулировано в виде теоремы.

Теорема: Если функция z=f(x,у) дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀), то эта функция имеет в точке М₀ частные производные, причем

=А, =В.

Доказательство. Так как функция f(x,у) дифференцируема в точке М₀ (х₀,у₀), то ее полное приращение представимо в виде: z=Аx+Вy+x+. Положим х 0, а у=0. Тогда полное приращение функции переходит в частное приращение _хz по х:

z=_хz =Аx+x ,

где  0 при х 0.

Рассматривая предел отношения , имеем

= =А= .

По аналогии, полагая х=0, у 0, получим =В. Следовательно, полный дифференциал можно записать в виде:

dz= x+ y.

Поскольку x=dх и y=dу, то

dz= dx+ d.y

Слагаемые dx= и dy= называются частными дифференциалами соответственно по и .

Для функции нескольких переменных наличие частных производных не является достаточным условием дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных сформулированы в виде теоремы.

Теорема: Если функция z=f(x,у) имеет частные производные в точке М₀ (х₀,у₀) и некоторой ее окрестности, и эти частные производные являются непрерывными функциями, то функция дифференцируема в точке М₀ , причем

dz= х+ у.

Доказательство: Запишем полное приращение функции

f(x, у) при переходе от точки М₀(х₀,у₀) в точку :

z=f(М)-f(М₀)=f(x₀+x, у₀+у)-f(x₀,у₀)=

=(f(x₀+x, у₀+у)-f(x₀,у₀+у))+(f(x₀, у₀+у)-f(x₀,у₀)).

Выражение f(x₀+x, у₀+у)-f(x₀,у₀+у) представляет приращение функции f(x,у) только по переменной х при фиксированном значении у=у₀+у второй переменной, следовательно, приращение можно рассматривать как приращение функции одного аргумента. Функция f(x,у) непрерывна по х на отрезке [x₀,x₀+x]. Применяя к частному приращению теорему Лагранжа, получим:

= х,

где с(x₀,x₀+x).

По аналогии, выражение (f(x₀, у₀+у)-f(x₀,у₀)) является частным приращением функции по у (х=х₀). Функция одной переменной f(x₀,у) непрерывна по у на отрезке [у₀,у₀+у]. Применим теорему Лагранжа: = y, где d(y₀,y₀+y).

Поскольку по условию теоремы частные производные и являются непрерывными функциями в точке М₀ и ее окрестности, то:

= , = .

Так как при х0 и у0 c х₀ , а dу₀, то

= + и = +,

где  и  - бесконечно малые величины более высокого порядка малости по сравнению с х и у.

Подставляя полученное в выражение для полного приращения функции, имеем:

z=[ +]х+[ +]y=

= х+ y+х+y.

Последнее равенство и означает, что функция z=f(x,у) дифференцируема в точке М₀.

Приведем без доказательства еще одну теорему.

Теорема. Если функция f(x,у) дифференцируема в точке М₀, то она непрерывна в этой точке.

Следует отметить, что дифференциал для функции большего числа переменных u= f (x, у, z) равен

du= dx+ dy+ dz.