1.7. Постановка задачи синтеза ких-фильтров с булевыми переменными

На практике, при синтезе частотных характеристик НЦФ, наряду с другими конструкциями применяется конструкция НЦФ с коэффициентами передаточной функции, содержащими всего один ненулевой бит. Это приводит к структурам ЦФ без умножителей и с минимальным числом сумматоров.

В общем случае подходы к проектированию НЦФ основаны на аппроксимации заданных амплитудно-частотных характеристик с помощью аппарата Фурье, метода наименьших квадратов, различных способов интерполяции. Однако получаемые коэффициенты будущего фильтра, как правило, не являются целочисленными.

В нашем случае проектируемый ЦФ определяют N варьируемых параметров Х₁, Х₂,…, Х_N, которые будем считать точкой в пространстве размерностью 2^N. Примем в качестве вектора варьируемых параметров коэффициенты передаточной функции проектируемого ЦФ, где N - число пар коэффициентов в НЦФ. Параметры можно принять целочисленными булевыми переменными, принимающими значения 0 или 1. Таким образом, учитывается возможное улучшение требуемых характеристик АЧХ, вызываемое выставлением какого-либо коэффициента фильтра в 0. Частота представляется осью частот, изменяющихся в диапазоне , где - центральная частота фильтра (для фильтров нижних и верхних частот =0), - частота дискретизации фильтра.

Частотная характеристика НЦФ с единичными коэффициентами имеет вид:

,(1.66)

где k - номер коэффициента; - коэффициенты фильтра; N - число пар коэффициентов в НЦФ.

Оптимальность АЧХ проектируемого ЦФ будем оценивать следующими локальными критериями: максимальное значение относительного уровня боковых лепестков АЧХ найденное в диапазоне частот , значения, найденные соответственно на частоте среза полосы пропускания и на граничной частоте полосы задерживания основного лепестка АЧХ.

Подавление боковых лепестков АЧХ в полосе задерживания вычисляется по формуле:

,

где изменяется от до .

Значения АЧХ на заданных уровнях вычисляются следующим образом:

,

,

где - частота среза полосы пропускания, - граничная частота полосы задерживания.

Таким образом, критериальными условиями будут:

,

, (1.67)

.

АЧХ НЦФ с основными критериальными показателями показана на рис. 1.17.

Рис. 1.17. АЧХ НЦФ с основными критериальными показателями

Рассмотрим задачу поиска условного экстремума. В качестве целевой функции выбирается обобщенное в пространстве D_x относительное значение бокового лепестка . В качестве варьируемых параметров в рассматриваемом случае возьмем вектор коэффициентов нерекурсивного цифрового фильтра , компоненты которого принимают значения 0 или 1. Тогда задача синтеза может быть сформулирована в следующем виде: вариацией параметров , найти вектор , обеспечивающий

, (1.68)

при

, (1.69) . (1.70)

Таким образом, задача синтеза нерекурсивного цифрового фильтра, сводится в рассматриваемом случае к задаче условной оптимизации (1.68) – (1.70) с целью нахождения такого вектора коэффициентов фильтра , который приводит к оптимальной или допустимой (по выбранным критериям) АЧХ. Характерной особенностью этой задачи является то, что она является задачей булева программирования и синтез осуществляется не во временной, а непосредственно в частотной области.

Для уменьшения размерности вектора варьируемых параметров учитывалась симметрия коэффициентов фильтра, относительно его центра, благодаря этому число переменных уменьшается вдвое. Кроме того, возле центра симметрии НЦФ обычно обязательно присутствует группа коэффициентов, которую нецелесообразно включать в число варьируемых переменных. Полученное после этого множество компонент вектора варьируемых переменных разбивается на подмножеств (групп):

.

Заметим, что в общем случае , а это означает, что некоторые переменные могут войти в различные подмножества . Такая ситуация соответствует случаю, когда целевая функция обладает высокой чувствительностью к переменным из разных групп.