2.6.4 Следствие операции нормирования y- матрицы.

Нормированную матрицу проводимости многополюсника Y^H, определяют норми­рованные матрицы коэффициентов переда­чи K^H₀ и K^H. Из формул (2.100) и (2.101) следует, что нормирование каждого из коэффициен­тов матриц K^H₀ и K^H производится путем деления расчетного выражения на (R_iR_j)^½ , т.е. норми­рующий множитель определен компонентами R_i вектора нагру­зочных сопротивлений R. В этой связи компоненты матриц Y^H также за­висят от компонент вектора R. Так как матрицы K^H₀ и K^H определены с точностью до постоянных множителей, определяемых вектором R, то нормированная Y матрица проводимостей также определена с точностью до постоянных множи­телей.

При обращении матриц K^H₀ и K^H, которое производится при вычис­лении матрицы Y^H по формуле (2.88), происходит преобразование нор­мирующих множителей. Рассмотрим как происходит это преобразование.

Обозначим символами ^н_oji и ^н_ji нормированные элементы матриц (K^H₀)^-1 и (K^H)^-1, обратных к матрицам K^H₀ и K^H. Согласно правил об­ращения матриц эти элементы можно рас­считать по формулам:

нoji =(det KH0)ji /det KH0 , (2.102)

нji = (det KH)ji /det KH , (2.103)

где det K^H₀ и det K^H определители матриц K^H₀ и K^H соответственно; (det K^H₀)_ji и (det K^H)_ji - их алгебраические дополнения для j-ой строки и i-ого столбца.

Определитель detK^H матрицы K^H можно рассчитать по формуле [2.20]

detKH =(-1)t(p) KH1j1KH2j2 …KHnjn ; (2.104) P

где p пробегает все возможные n! перестановок чисел 1, 2, …, n; j_1, j₂, …, j_n – перестановка P чисел 1, 2, … ,n; t(p) – число транспозиций в каждой перестановке.

Из формулы (2.104) находим, что каждое из n! произведений содержит в качестве сомножителей один элемент из каждой строки и один элемент из каждого столбца матрицы K^H. Так как каждый элемент матрицы K^H содержит множитель 1/(R_iR_j)^½ при i=1,n и j=1,n, то определитель detK^H будет иметь общий множитель вида:

n M =1/ (  Ri). (2.105) i=1

Определитель (detK)_ji будет отличаться от определителя detK тем, что его порядок будет на единицу меньше, так как в его основе должны отсутствовать j –ая строка и i –ый столбец матрицы К. Можно показать, что при расчете по формуле, аналогичной формуле (2.103), этот определитель также будет содержать общий множитель, определяемый компонентами вектора R. Так как в исходной для расчета K матрице j–ая строка и i–ый столбец, отсутствуют, то этот множитель будет содержать n–1 компонент из сомножителей 1/ R_K при ki и kj и одну компоненту вида 1/(R_iR_j)^½, т.е.

n Mji =1/ ((  Ri ) (RiRj)½). (2.106) ki;kj

Определим ненормированный составляющую коэффициент матрицы передачи K^H_ji. Так как нормирующий множитель каждого из коэффициентов этой матрицы равен 1/(R_iR_j)^½, то ненормированная его составляющая согласно выражения (2.101) может быть выражена в виде:

Kji =2ÚjiKiZ0i/Ú0ii при i=1,n; j = 1,n. (2.107)

Тогда справедливо:

KHji =Kji/(RiRj)½ при i=1,n; j =1,n. (2.108)

Оформив кортеж ненорминованных коэффициентов передачи в виде матрицы K^н, обладающей определителем detK с учетом нормирующего множителя М из выражения (2.105) получим:

DetKH =MdetK. (2.109)

Рассуждая таким образом и принимая во внимание нормирующий множитель М_ji из выражения (2.106), получаем подобное выражение для алгебраических дополнений матрицы K^H

(detKH)ji =Mji(detK)ji, (2.110)

где (detK)_ji – алгебраическое дополнение ненормированной матрицы К для ее j –ой строка и i –ого столбца.

Подставляя выражений (2.109) и (2.110) в формулу (2.103) с учетом соотношений (2.105) и (2.106) получаем:

нji =ji(RiRj)½, (2.111)

где _ji – коэффициент ненормированной матрицы К^-1 для ее j –ой строка и i –ого столбца.

Выполнив подобный анализ для матрицы К^Н_0, приходим к аналогичному выражению для матрицы (К^Н₀)^-1

н0ji =0ji(RiRj)½, (2.112)

где _0ji – коэффициент ненормированной матрицы К_О

Коэффициенты ненормированной матрицы К₀, как это следует из выражений (2.100) должны вычисляться по формуле:

K0ji =2Ú0jiKiZ0i/Ú0ii при i=1,n; j =1,n. (2.113)

Таким образом, коэффициенты нормированных матриц К и К₀ имеют одинаковые нормирующие множители равные (R_iR_j)^½.

Поэтому каждый из коэффициентов нормированной матрицы Y^H, вычисляемый по формуле (2.84), может быть выражен в виде:

YHji =2(ji - 0ji)(RiRj)½ при i=1,n; j =1,n. (2.114)

Денормируя матрицу Y^H согласно правилу (2.56), находим основное расчетное выражение для определения коэффициентов ненормированной матрицы Y

Yji =2(ji - 0ji) при i=1,n; j = 1,n, (2.115)

из которого непосредственно вытекает, что ненормированная матрица проводимости может быть рассчитана по формуле

Y= 2(K-1-K0-1). (2.116)

В результате анализа приходим к следующим основным выводам.

1. Для идентификации матрицы проводимости Y измеряемого многополюсника достаточно экспери­ментально определить матрицу U_o полюсных напряже­ний холостого хода измерительной схемы, матрицу U полюсных напряже­ний измерительной схемы, нагруженной многополюсни­ком и вектор ка­либровочных напряжений U_k, компоненты которого Ú_oi при i=1,n должны регистрироваться на полюсах измерительной схемы при подключении к ним калиброван­ных двухполюсников - образцовых мер.

2. Замечательным свойством измерительных схем, калиброванных внешними образцо­выми мерами, является инвариантность определяемой Y-матрицы к номиналам нагрузочных резисторов, так как при определении коэффициентов измеряемой Y – матрицы элементы R отсутствуют, поэтому нагрузочные резисторы можно выбирать только исходя из чувствитель­ности измери­тельной схемы, удобства регистрации полюсных напряжений и точности. В ка­либровке этих резисторов нет необходимости. Вообще вместо этих резисторов можно приме­нять комплексные или реактивные нагруз­ки. В этой связи вектор R, активных полюсных нагрузок с элементами можно выражать в виде вектора комплексных полюсных нагрузок с элементами.

3. Необходимы дополнительные исследования для определения оп­тимального режима измерительной схемы, который зависит от выбора номиналов компонент вектора нагрузочных резисторов R или иных наг­рузок.

4. Разработанная методика измерения открывает возможность экспериментального опре­деления Y- матриц многополюсников в диапазоне высоких частот, на которых существенным образом сказывается влияние паразитных параметров измерительных цепей.

5. Существенное влияние на погрешность измерения должна оказы­вать точность калиб­ровки образцовых мер. Поэтому необходимо решение проблемы их калибровки, в процессе которой должны также быть учте­ны паразитные параметры цепей монтажа этих мер.

6. Разработанная методика измерения отличается простыми изме­рительными опера­циями, отсутствием регулировок в процессе измерения. Процесс измерения может быть комп­лексно автоматизирован. Это машинно-ориентированная методика.

7. Применение ПК в качестве ядра измерительного комплекса снимает проблему, свя­занную с организацией достаточно сложного вы­числительного процесса.

8. Методика измерения отвечает требованиям, предъявляемым к гибким информацион­но-измерительным комплексам, так как при измере­нии различных многополюсников, отли­чающихся количеством полюсов ха­рактер измерительного процесса остается одинаковым.

2.6.5 Оценка влияния входной цепи измерителя комплексных напряжений.

Входная цепь измерительного канала векторного вольтметра имеет конечное значение полного входного сопротивления Z_п. При подключе­нии прибора к объекту измерения из-за шунтирования схемы сопротив­лением Z_п будет происходить искажение результатов измере­ния, причем регистрируемые переменные напряжения будут отличатся от истиных как по моду­лю, так и по фазе.

Векторный вольтметр - сложный дорогой прибор. Поэтому целесо­образно в измеритель­ном комплексе использование одного регистрирую­щего прибора, измерительный вход которо­го поочередно подключается к входам измеряемого многополюсника. Поэтому регистрируе­мые элементы матриц U₀, U и вектора U_k будут искажены из-за шунтирующего действия сопротивления .Таким образом, чтобы воспользоваться основными расчетными фор­мулами для опреде­ления матриц передачи K₀ и K , приведенными в п.2.5.2 необходимо скорректировать мат­рицы полюсных напряжений U₀, U и вектор U_k. Пусть матрицы U₀', U' и вектор U_k' являются коррек­тированными с учетом влияния измерительного прибора и имеют компо­ненты Ú'_0ji, Ú'_ji и Ú'_0i при i =1,n; j =1,n, где n - число полюсов. Элементы матриц U'₀, U' и вектора U'_k должны использоваться вместо элементов матриц U₀, U и вектора U_k при определении истинных зна­че­ний матриц передачи K₀ и K, коэффициенты которых определяются по формулам (2.92), (2.100), (2.101), (2.107), (2.113). Тогда формулу (2.92) можно представить в виде

K'i = Ú'0ii/Ú'0i –1; (2.117)

формулу (2.100) в виде:

KH0ji =2Ú'0jiK'iZ0i/Ú'0ii(RiRj)½ ; (2.118)

формулу (2.101) в виде:

KHji =2Ú'0jiK'iZ0i/Ú'0ii(RiRj)½ ; (2.119)

формулу (2.113) в виде:

KH0ji =(2Ú'0ji/Ú'0ii­­)(K'iZ0ij) ; (2.120)

формулу (2.107) в виде:

KHji =(2Ú'ji/Ú'0ii­­)(K'iZ0i) ; (2.121)

Для определения диагональных элементов матриц U₀', U' и компо­нент вектора U_k' про­изведем анализ эквивалентных схем измерительных цепей, представленных на рис.2.27-2.29, посредством которых модели­руются измерительные цепи относительно произвольного полю­са i. Эле­менты схем имеют следующее назначение: Е_i - источник э.д.с.; R_i - нормирующее сопротивление; Z_oii – полное сопротивление измерительной цепи со стороны входа в режиме холостого хода; Z_oi - полное сопротивление образцовой меры; Z_i - полное входное сопротив­ление измерительной схемы со сто­роны входа i в нагруженном режиме (при подключении к схеме аттесту­емого многополюсника); Z_п - полное сопротивление входной цепи изме­ритель­ного прибора.

Схемы рис.2.28,б-2.30,б получены путем преобразования схем рис.2.28,а - 2.30,а, по теоре­ме об эквивалентном генераторе. В этих схемах внутренние сопротивления генераторов должны вычисляться по формулам:

Z'r =Ri Z0ii/Ri +Z0ii; (2.122)

Z''r =Ri Z0iiZ0i /(Ri Z0ii +Ri Z0i +Z0iiZ0i); (2.123)

Z'''r =Ri Zi/(Ri +Zi), (2.124)

а э.д.с. соответствующих генераторов будут равны искомым напряжени­ям, т.е.

Ú'0ii=Ė'i; (2.125)

Ú'0i=E''i; (2.126)

Ú'ii=E'''i. (2.127)

Рис. 2.30 Измерение напряжения Úii: а - полная схема; б - эквивалентная схема

Рис. 2.31 Реальная схема измерения напряжения Úoji

Выполнив анализ схем рис.2.28-2.30 с учетом выражений (2.122)-(2.127), находим:

Ú'0ii= Ú'0ii(1+Z'r/Zп); (2.128)

Ú'0i= Ú'0ii(1+Z''r/Zп); (2.129)

Ú'ii= Ú'ii(1+Z'''r/Zп). (2.130)

Рис. 2.32 Реальная схема измерения напряжения Úji

В данных условиях сопротивление Z_oii может быть определено по формуле (2.117) с уче­том коэффициента K'_i, т.е.

Z0ii =K'iZ0iRi /(Ri – K'iZ0i), (2.131)

где Ki' - коэффициент, вычисляемый по формуле (2.117).

Подставляя значение Z_oii из формулы (2.131) в формулы (2.122) и (2.123) находим:

Z'r =K'iZ0i; (2.132)

Z''r =K'iZ0i / (K'i+1). (2.133)

Тогда с учетом полученных формул (2.132) и (2.133) формулы (2.128) и (2.129) можно выразить в виде:

Ú'0ii= Ú0ii(1+K'iZ0i/Zп); (2.134)

Ú'0i= Ú0i [1+K'iZ0i/[Zп(K'i+1)]]. (2.135)

Подставляя значения напряжений U'_oii и U'_oi из формул (2.134) и (2.135) в формулу (2.117), находим

K'_i=(Ú'_0ii /Ú'_0i – 1)/ (1–Z_0i/Z_п(Ú'_0ii /Ú'_0i – 1)) (2.136)

или с учетом выражения (2.92)

K'_i=K_i/ (1–(Z_0i/Z_п)K_i) . (2.137)

Тогда

Ú'_0ii= Ú_0ii /(1+(Z_0i/Zп)Ki). (2.138)

Подставив значение коэффициента K'_i из формулы (2.137) в формулы (2.118) и (2.120), находим основные расчетные соотношения для определения диагональных коэффициентов матриц K^н_o и K_o

K^H_0ji =2K_iZ_0i/[R_i(1–(Z_0i/Z_п)K_i)]. (2.139)

Тогда

K_0ji =2K_iZ_0i/(1–(Z_0i/Z_п)K_i). (2.140)

Для определения диагональных коэффициентов матриц K^H и K вос­пользуемся выраже­нием для полного сопротивления Z_i, которое можно получить для схем рис.2.30 из выражения, аналогичного выражению (2.97), т.е.

K^H_ii =2Z_i/(R_i +Z_i). (2.141)

Тогда

Z_i=K^H_ii R_i/(2– K^H_ii ). (2.142)

Подставляя значения Z_ii из формулы (2.142) в формулу (2.124), находим

Z'''_r =K^H_ii R_i/2. (2.143)

Тогда из выражения (2.130) с учетом формулы (2.143) получаем

Ú'_ii= Ú_ii[1+K^H_ii R_i/(2Z_п)]. (2.144)

Выражая параметры формулы (2.122) через выражения (2.134), (2.135) и (2.144), находим расчетное соотношение для определения диагональных коэффициентов матрицы K^H

K^H_ii =2Ú_iiK_iZ_0i /{Ú_0iiR_i[1–Ú_iiZ_0i/(Ú_0iiZ_п)K_i)]}, (2.145)

и с учетом формулы (2.113) диагональные коэффициенты для матрицы K

K^H_ii =2Ú_iiK_iZ_0i /{Ú_0ii[1–Ú_iiZ_0i/(Ú_0iiZ_п)K_i)]}. (2.146)

Для определения корректированных недиагональных коэффициентов матриц передачи воспользуемся теорией матриц рассеяния.

Измерительная схема в режиме холостого хода представлена на рис.2.30. В этом случае измерительный прибор подключен к полюсу j, а сигнал подается на вход i. Сопротивление Z_п пробника измеритель­ного прибора представлено в виде четырехполюсника, включенного меж­ду полюсом j измерительной схемы и сопротивлением R_j.

Представим участок измерительной схемы между полюсами i и j в виде матрицы So(ji),коэффициенты которой можно выразить в виде

S_0ii S_0ij

S₀ = . (2.147)

S_0ji S_0jj

Матрица Sn (рис.2.30) определяется сопротивлением Zn и нормируется по полюсной наг­рузке Rj. Эту матрицу можно представить в виде

S_п11 S_п12

S_п= . (2.148)

S_п21 S_п22

Так как матрица S_п описывает взаимный четырехполюсник, то справедливы условия

S_п11 = S_п12 ; (2.149)

S_п21 = S_п22 . (2.150)

Нормированные коэффициенты матрицы Sп выражаются формулами

S_п11 = - 2R_j/(2Z_п +R_j ); (2.151)

S_п21 = 2Z_п/(2Z_п +R_j ) . (2.152)

Для решения задачи о прохождении сигнала через каскадно-соединенные многополюс­ники целесообразно применять волновые матрицы пе­редачи (Т-матрицы). Для четырехполюс­ников связь между S- и Т-матрицами определяет уравнение [2,3]

T₁₁ T₁₂ -det S S₁₁

T = = 1/ S _{21 .,} (2.153)

T₂₁ T₂₂ -S₂₂ 1

где det S = S₁₁S₂₂ - S₂₁S₁₂ - определитель S - матрицы.

Пусть матрице S₀^(ji) соответствует матрица T₀, а матрице S_п - матрица T_п. Тогда резуль­тирующая матрица T_p, которой соответствует матрица S_p и которая описывает передачу сиг­нала между полюсом i и нагрузкой R_i, может быть рассчитана по формуле [2.3]

T_p =T₀ T_п . (2.154)

Развернутая форма уравнения (2.154) имеет вид

T_pii T_pij T_oii T_oij T_п11 T_п12

_. (2.155)

T_pji T_pjj T_oji T_ojj T_п11 T_п12

По правилам перемножения матриц [5] определяем связь элемента T_pjj матрицы T_p с элементами матриц Т_o и Т_п

T_pjj = T_ojiT_п12 + T_ojjT_{п12 .} (2.156)

Выразив элементы T-матриц в формуле (2.156), через элементы соответствующих S-мат­риц согласно правил, приведенных в формуле (2.151), приходим к уравнению

1/ S_pji=1/ S_0jiS_п21(1– S_0jiS_п11), (2.157)

решая которое относительно коэффициента S_oji, получим

S_0ji=S_pji/ S_п21(1– S_0jiS_п11). (2.158)

Учитывая связь между коэффициентами матриц передачи K^H₀ и рас­сеяния S₀ и расчет­ные выражения для определения коэффициентов сог­ласно формул (2.63), (2.64), (2.139), (2.151) и (2.152) из формулы (2.158) получаем

. (2.159)

Коэффициент S_pji в формуле (2.159) с учетом выражений (2.100), (2.101), (2.131), (2.136) можно представить в виде

S_pji =2Ú_0jiZ_0iK_i/[Ú_0ii(R_iR_j)^½]. (2.160)

Подставив в формулу (2.159) выражение для коэффициента S_pji из формулы (2.160), после несложных преобразований получим основное расчетное соотношение для недиагональных коэффициентов матрицы передачи холостого хода К^Н₀

K^H_0ji =2Ú_0jiZ_0iK_i/[Ú_0ii[1–(Z_0i/Z_п ­)K_j](R_iR_j)^½] . (2.161)

Соответствующие элементы ненормированной матрицы К₀ будут равны

K_0ji =2Ú_0jiZ_0iK_i/[Ú_0ii(1–(Z_0i/Z_п ­K_j)]. (2.162)

И з формул (2.161) и (2.162) непосрдственно видо, что при i=j эти формулы тождественно превращаются в формулы (2.145) и (1.146). Таким образом, фомулы (2.161) и (2.162) являются основными расчетными формулами для определения матриц К^Н_О и К_О при любых сочетанияз индексов i и j , т.е. i=1,n; j=1,n.

Недиагональные коэффициенты матриц предачи К^Н и К можно получить в результате анализа схемы рис.2.31, структура которой тождественна структуре схемы рис.2.30. Отличие состоит только в том, что согласно семы рис.2.31 регистрируются напряжения Ú_ii и Ú_ji вместо напряжений Ú_0ii и Ú_0ji, так как к контактам измерительного устройства подключен аттестуемый многополюсник.В результате анализа полностью повторяющего анализ, использованный при выводе формул (2.161) и (2.162) с учетом определения напряжения Ú'_ii по формуле (2.130), находим основные расчетные выражения для матриц К^Н и К, которые справедливы при i=1,n; j=1,n.

(2.163)

(2.164)

Из формул (2.161) – (2.164) непосредственно следует, что эффект шунтирования и, следовательно, вызываемое этим эффектом искажение информации, определяет отношение Z_0i/Z_п. Естественно, если выполняется условие

| Z_0i/Z_п| « 1, (2.165)

то этим эффектом можно пренебречь. В противном случае необходимо аттестовать сопротивление Z_п и при расчетах пользоваться формулами (2.161) – (2.164). Из условия (2.165) также следует, что искажения информации уменьшаются с уменьшением полного сопротивления образцовой меры Z_0i (Z_0i). Например, для случая измерения параметров транзисторов, так как входное сопротивление со стороны базы существенно меньше входного сопротивления со стороны коллектора, то сопротивление образцовой меры Z_об со стороны базы можно выбрать соответственно меньшим. Поэтому условие (2.165) для базовой цепи может выполняться, а для коллекторной нет.