Часть 3 методы оптимизации, применяемые при решении конструкторских задач

К задачам на поиск оптимума сводятся многие из проблем математики, системного анализа, техники, экономики, медицины и статистики. В частности, они возникают при построении математических моделей.
Решение оптимизационной задачи - это перебор приемлемого набора значений переменных, которому отвечает оптимальное значение целевой функции.
Исходная формулировка задач оптимизации технических объектов носит, как правило, словесное описание и проблема оптимизации имеет два основных аспекта: 1) нужно поставить задачу, формализовав понятие “оптимальный”; 2) нужно решить задачу, уже имеющую математическую формулировку.
Выбор метода решения зависит от способа постановки задачи оптимизации. Эффективность метода характеризуется многими параметрами: скоростью сходимости, временем выполнения одного шага поиска, объемом занимаемой памяти машины и т.д.
Имеющееся в настоящее время современное программное обеспечение, с которым работает инженер-конструктор, обеспечивает полный набор функций - от выполнения инженерных расчетов до оптимизации проектов.

Лекция №10 Основы теории оптимизации. Проектные параметры. Критерии качества

Теоретические вопросы:

10.1. Постановка задач оптимизации

10.2. Классификация оптимизационных задач

10.3. Подходы к решению обобщенных задач оптимизации. Математическая формулировка задач оптимизации

10.1. Постановка задач оптимизации

В процессе проектирования любого технического объекта возникают задачи, связанные с рационализацией, и где это возможно, с оптимизацией проектируемой конструкции. Поиск рационального технического решения при выбранном в процессе проектирования физическом принципе действия осуществляется методами структурного синтеза. Определение оптимальных значений параметров элементов технической системы известной структуры - задача параметрического синтеза или параметрической оптимизации.

Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных и обычно включает условия, которые характеризуют их приемлемые значения. Постановка задачи оптимизации имеет содержательный смысл только в том случае, когда появляется необходимость выбора одного из конкурирующих вариантов, полученных при ограниченности ресурсов. Эти условия называют ограничениями задачи. Еще одной обязательной компонентой описания является скалярная мера “качества”, именуемая целевой функцией и зависящая каким-то образом от переменных. Решение оптимизационной задачи - это приемлемый набор значений переменных, которому отвечает оптимальное значение целевой функции. Под оптимальностью обычно понимают максимальность или минимальность; например, речь может идти о максимизации прибыли или о минимизации массы. Окончательный же выбор варианта конструкции технического объекта проводится с учетом выработанных правил предпочтения на основании установленных критериев. В основе построения правила предпочтения лежит целевая функция, количественно выражающая качество объекта и называемая также функцией качества или критерием оптимальности.

К задачам на поиск оптимума сводятся многие из проблем математики, системного анализа, техники, экономики, медицины и статистики. В частности, они возникают при построении математических моделей. Когда для изучения какого-нибудь сложного явления конструируется математическая модель, к оптимизации прибегают для того, чтобы определить такую структуру и такие параметры последней, которые обеспечивали бы наилучшее согласование с реальности. Другой традиционной областью применения оптимизации являются процедуры принятия решений, так как большинство из них нацелено именно на то, чтобы сделать “оптимальный” выбор. При описании таких алгоритмов всегда используют стандартные формы представления задач.

Исходная формулировка задач оптимизации технических объектов носит, как правило, словесное описание. Проблема оптимизации имеет два основных аспекта:

1) нужно поставить задачу, формализовав понятие “оптимальный”;

2) нужно решить задачу, уже имеющую математическую формулировку.

Процедура постановки задачи носит неформальный характер и включает следующие этапы:

1) выбор целевой функции и управляемых параметров;

2) назначение ограничений;

3) нормирование управляемых и выходных параметров и т.п.

Качество функционирования любой системы характеризуется множеством выходных параметров Y=(y₁, y₂, ..., y_k). Совокупность технических и экономических показателей представляет собой обобщенную оценку разрабатываемого варианта проекта.