2.6. Механика жидкостей и газов

Кроме движения твердых тел друг относительно друга и вращения вокруг определенной оси, возможно движение, которое сводится к перемещению друг относительно друга различных частей одного и того же непрерывного и бесконечно большого для данных условий тела, называемого сплошной средой. Сплошная среда может представлять собой упругое твердое тело, в котором возникают сдвиги (см. Механику деформируемых тел) и колебания (волны). Сплошная среда может представлять собой жидкость или газ, в которых возможно возникновение как течений, так и колебаний.

Раздел физики, изучающий законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также взаимодействие движущихся жидкостей и газов между собой и с омываемыми ими твердыми телами называется гидроаэромеханикой.

Движение идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называется несжимаемая жидкость (плотность жидкости мало зависит от давления), перемещение одних слоев которой относительно других не связано с возникновением сил трения (отсутствует внутреннее трение или вязкость). При движении газов со скоростями, намного меньшими скорости звука в этой среде, их можно считать несжимаемыми жидкостями. Движение жидкости (газа) называется течением, а совокупность ее движущих частиц – потоком. Совокупность векторов скорости v частиц жидкости образует поле вектора скорости, в котором можно провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости v частицы жидкости в данной точке – линии тока (рис. 26)

Рис. 26

Графически там, где линии тока гуще, модуль скорости будет больше и, наоборот, где линии тока реже, модуль скорости меньше. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным = const, то течение называется стационарным. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 27).

Рис. 27

Если жидкость несжимаема и частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока, то объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S и S , должны быть одинаковыми S  v = S₂  v₂, где v₁ и v₂ соответствующие модули скорости течения жидкости.

Теорема о неразрывности струи гласит, что для несжимаемой жидкости в любом сечении одной и той же трубки тока одинакова величина S  v = const. Получается, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой идеальной жидкости движутся с ускорением.

Уравнение Бернулли. В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Течение идеальной жидкости не сопровождается диссипацией энергии. Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения.

Для стационарно текущей несжимаемой жидкости (плотность жидкости ρ постоянна), ограниченной стенками трубки тока малого переменного сечения, приращение энергии ∆E всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий объемов ∆ V₁ и ∆ V₂ , которые по теореме неразрывности струи имеют одинаковую величину ∆V₁ = ∆V₂ = ∆V (рис. 30):

∆E = E₂ – E₁ = (Eк₂ + Eп₂) - (Eк₁ + Eп₁) =

= ( + m g h ) - ( + m g h ) =

= ( + ρ ∆V g h ) - ( + ρ ∆V g h ).

В идеальной жидкости в силу отсутствия сил трения приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом только силами давления.

Причем, силы давления, перпендикулярные к направлению перемещения частиц, работы не совершают, а силы давления, приложенные к сечениям S₁ и S₂, совершают отличную от нуля работу А, равную:

A = p₁ S₁ ∆ l – p₂ S₂ ∆ l = (p₁ – p₂) ∆V.

Рис. 28

Приравняв выражения для приращения энергии и работы, и проведя математические преобразования, имеем

+ ρ g h₁ + p₁ = + ρ g h₂ + p₂.

Получается, что при стремлении поперечного сечения S к нулю, то есть при стягивании трубки тока в линию тока, в стационарно текущей идеальной жидкости для любой точки вдоль одной и той же произвольной линии тока выполняется условие, называемое уравнением Бернулли

+ ρ g h + p = const,

где называют динамическим давлением, ρ g h – гидростатическим давлением, p – статическим давлением (давление в невозмущенном потоке), p₀ = p + – полным давлением.

Рассмотрим случай горизонтального потока жидкости (отсутствует гидростатическая составляющая давления). Полное давление p₀ измеряется трубкой Пито (рис. 29). В точке 2 скорость жидкости равна нулю, следовательно, равно нулю и динамическое давление:

p₂ = p₁ + = p₀

Рис. 29

Статическое давление p измеряется с помощью зонда – изогнутой трубки с закрытым концом и боковыми отверстиями (рис. 30). В точках 1 и 2 динамические давления равны, следовательно,

p₂ = p₁ = p

.

Рис. 30

С помощью трубки Пито – Прандтля можно измерить

Рис. 31

динамическое давление и скорости течения жидкости (газа) (рис. 31).

Формула Торричелли. Для идеальной жидкости скорость v истечения жидкости из отверстия сечением S₂, расположенного на глубине h под открытой поверхностью сечением S₁>>S₂, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (рис. 32).

Рис. 32.

Для трубки тока переменного сечения уравнение Бернулли можно написать в виде:

+ ρ g h₁ + p₁ = + ρ g h₂ + p₂.

Статические давления в обоих сечениях равны атмосферному и одинаковы p₁ = p₂. Уравнение примет вид:

+ g h₁ = + g h₂.

Из уравнения неразрывности струи следует, что = и с учетом условия S₁ >> S₂ получается, что = 2g (h₁ – h₂) = 2g h, откуда выводится формула Торричелли

v = v =

Вязкость. Всем реальным текучим телам (жидкостям и газам) в различной мере присуще свойство оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой, которое объясняется появлением сил внутреннего трения F , или вязкостью. Основной закон вязкого течения гласит, что

F = η | | S,

где F – тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоев жидкости (газа) друг относительно друга, S – площадь слоя, по которому происходит сдвиг, = grad v – градиент скорости течения (быстрота изменения скорости от слоя к слою в направлении, перпендикулярном движению слоев), иначе – скорость сдвига. Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом динамической вязкости или просто вязкостью. Он характеризует сопротивление жидкости (газа) смещению ее слоев. Величина φ = называется текучестью.

Вязкость – величина, численно равная тангенциальной силе, приходящейся на единицу площади, необходимой для поддержания разности скоростей, равной единице, между двумя параллельными слоями жидкости (газа), расстояние между которыми равно единице. В СИ [η] = Паскаль·секунда (Па·с), в СГС [η] = пуаз (П), причем 1 Па·с = 10 П.

Величина  = называется кинематической вязкостью и численно равна отношению динамической вязкости η к плотности ρ вещества. Измеряется в в СИ, и в СГС - в стоксах.

Вязкость зависит от температуры. У жидкостей вязкость уменьшается с увеличением температуры, а у газов, наоборот, увеличивается. Это указывает на различие механизмов внутреннего трения в жидкостях и газах.