ления чрезвычайно низка и в формуле (1.2) k<0. В этом случае равновесная цена P0 неустойчива в том смысле, что процесс

торга «раскручивает» спираль цен и уводит от P0 : покупателю

не удается сдерживать цену и производитель одерживает верх в этой гонке (рис. 3, б). Такое возможно, если, скажем, производитель является монополистом. Тогда равновесную цену можно удержать лишь внерыночными мерами (например, государственным вмешательством).

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

2.Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.

3.Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

4.Какая функция называется сложной? Приведите

примеры.

2.ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

2.1. Предел функции

Пусть функция y f x определена в некоторой окрестности точки а.

Определение 1. Функция y f x стремится к пределу

b ( y b ) при х стремящемся к а ( x a ), если для любого

y f x это иллюстрируется следующим образом (рис.4). Для

всех точек х, отстоящих от а меньше чем на δ, точки М графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = b + ε, у = b – ε.

x 0 0 , обычно пишут x 0 или x 0 .

Можно доказать, что если предел слева и предел справа равны, т.е. b1 = b2 = b, то b и будет пределом в смысле данного выше определения предела функции в точке а. И обратно, если существует предел функции b при x a , то существует предел справа и предел слева и они равны.

Пример 2.1. Покажем, что lim (5x 7) 12 . x 1

Решение. Зададим ε > 0, составим разность ( 5x 7) 12 .

ше чем на ε. А это значит, что 12 будет пределом функции при x 1.

Замечание 2. Для существования предела функции при x a не требуется, чтобы функция была определена в точке

х = а.

Определение 2. Функция f (x) стремится к пределу b

при x , если для каждого произвольно малого 0 можно указать такое число N > 0, что для всех х, удовлетворяющих

y

y=1+

y=1

1

y=1-

Рис. 5

2.2. Бесконечно большая и ограниченная функции

Рассмотрим случай, когда функция y f (x) при некотором способе изменения аргумента.

Определение 1. Функция f (x) при x a ,т.е. явля-

ется бесконечно большой величиной, если для каждого сколь угодно большого М >0, можно указать такое δ > 0, что для всех значений х отличных от а, удовлетворяющих условию

lim f (x) x a

Если f (x) и при этом принимает только положительные значения, то пишут, что f (x) , если только отрицательные значения, то - f (x) .

y cos 1x определена для всех х кроме х = 0, не имеет предела

при x 0 .

Определение 2. Функция f (x) называется ограниченной в данной области изменения аргумента, если существует такое число M 0 , что для всех значений х, принадлежащих рас-

Определение 3. Функция f (x) называется ограниченной при x a , если существует окрестность с центром в точке а, в

которой функция ограничена.

Определение 4. Функция f (x) называется ограниченной при x , если существует такое число N 0 , что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству | x | N , функция f (x) ограничена.

Вопрос об ограниченности функции, стремящейся к пре-