Учебное пособие 1253

Если функция u=f(x,у,z) дифференцируема, то приращение функции вдоль прямой L записывается в виде

u fx x, y,z x fy x, y,z y fz x, y,z z 1 x 1 y 1 z,

где 1 x 1 y 1 z - бесконечно малая величина более вы-

fx x,y,z x fy x,y,z y fz x,y,z 1 x 1 y 1 z .

l

fx x,y,z cos fy x, y,z cos fz x,y,z cos +1 cos 1 cos 1 cos .

Переходя к пределу при l 0, и учитывая, что 1 , 1

и 1 - бесконечно малые величины, получаем формулу для производной функции u=f(x,у,z) по направлению

u u cos u cos u cos .

Пример 5.4.1. Вычислить производную функции u xy2 z3 в точке M 3,2,1 в направлении вектора l 3,4, 1 .

Решение. Найдем направляющие косинусы вектора l :

90

fy 1,2 1 4 5. Производная по направлению вектора l в

точке M равна

z z cos z sin =2 3 5 4 26.

Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет

вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.

Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M0(x0,y0,z0) непрерывные частные производные. Тогда в точке М0 можно построить вектор с координатами:

91

Началом этого вектора служит точка М0, в которой вычислены частные производные. Вектор называется градиентом скалярной функции u=f(x,y,z) в данной точке и обознача-

вектора l вдоль указанного направления. Поскольку скаляр- l

ное произведение принимает наибольшую величину, когда направления векторов grad z и l совпадают, то вектор grad z

указывает направление максимальной скорости возрастания функции z f x, y , модуль этого вектора характеризует

скорость возрастания функции в точке.

5.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z= f (x,y). Частные производные

92

и т.д.

Рассмотрим дифференциалы второго и более высоких порядков для функции z=f(х,у), имеющей непрерывные частные производные высоких порядков. Полный дифференциал первого порядка

dz fx(x, y)dx + fy (x, y)dy

содержит dx = x и dy= y. Эти величины не зависят от х и у, поэтому при дифференцировании по х или у их можно считать постоянными.

Полный дифференциал от полного дифференциала пер-

вого порядка называется полным дифференциалом второго

порядка и обозначается d2z d dz :

По аналогии можно получить полные дифференциалы третьего и т.д. порядков. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.

5.6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть неявно заданная функция z= f(x,y) определяется тождеством: F(x,y, f(x,y))=0.

Продифференцируем тождество по х, считая у постоянной величиной:

ex y 1

yx . В точках у = -х производная не существует.

ex y 1

5.7. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности. Точка М0(x0,y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)<f(М0) или z=f(М) - f(М0)<0. Точка М0(x0,y0) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)

f(М0) или z=f(М) - f(М0) 0.

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Следует отметить, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.

Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в

Доказательство. Рассмотрим случай наличия в точке М0(x0,y0) максимума функции z= f(x,y). Неравенство

f(х,у) <f(х0 ,у0)

выполняется для всех точек некоторой окрестности точки М0. В частности, это неравенство выполнено для точек, ординаты которых равны у=у0 : f(х,у0) <f(х0 ,у0). На прямой у=у0 функция z= f(x,y) становится функцией одной переменной z= f(x,y0). Из неравенства f(х,у0) <f(х0 ,у0) следует, что функция одной пе-

на основании необходимого признака экстремума функции одной переменной заключаем, что fx(x0, y0) 0.

Полагая, что х = х0, точно так же докажем, что

fy (x0, y0) 0.

Вточках, где существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Экстремум следует искать либо в стационарных точках,

вкоторых все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных не существует. Такие точки называются критическими. В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. О наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточного признака экстремума.

5.8. Достаточный признак экстремума

Теорема. Пусть функция z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в не-

Тогда:

1.Если число =AC B2 >0, то точке М0 (х0 ,у0) функция f(х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число =AC B2 <0, то точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число =AC B2 =0, то признак не применим, поскольку использовавшегося при его доказательстве дифференциала второго порядка оказалось недостаточно для того,

чтобы сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. Пример 5.8.1. Исследовать на экстремум функцию

5.9. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области

D . В области D найдётся хотя бы одна точка, в которой функция принимает своё наибольшее значение M, и найдется

97