Учебное пособие 1253

y n y n 1 .

Производные порядка выше второго называются производными высших порядков, причем порядок производной обозначается числом в скобках, записанным в виде верхнего индекса.

Пример.3.12.1. Найти производную 5-го порядка функции y ln x .

3.14. Производные второго порядка от функций, заданных параметрически

Пусть функция y f x задана параметрическими урав-

Пример 3.13.1. Найти вторую производную функции

2cos2 t sin2 t 2cost sint 2sint cost 2 sin2 t cos2 t2sint cost 3

4sint cost cos2 t sin2 t sin2 t cos2 t 0.

3.15. Понятие дифференциала функции

Пусть функция y f x дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка

величина бесконечно малая более высокого порядка, чем x

лом функции и обозначают символом dy или df x . Диффе-

ренциалом независимой переменной величины xявляется ее приращение x , т.е. условно полагается, что dx x. Таким образом

dy = y dx.

Из рис.13 становится понятным геометрический смысл дифференциала dy , представляющего приращение ординаты касательной при переходе от точки x к точке x x.

Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов. Например:

1.d u x v x du x dv x ;

2.d u x v x u x dv x v x du x ;

u x u x dv x v x du x

3.d v x v2 x .

4. Дифференциал сложной функции обладает инвариантностью формы, то есть, если y f u , u x то dy f u du.

3.16. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y f x дифференцируема, а аргумент x является независимой переменной. Тогда ее дифференциал или первый дифференциал dy y dx также является функцией x. Если дифференциал оказался дифференцируемой функцией x, то дифференциал от дифференциала функции су-

ществует и называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка:

d dy d2 y d y dx y dx dx y dx dx y dx 2 y dx2 .

52

Дифференциал n-го порядка определяется как диффе-

ренциал от дифференциала n 1 -го порядка: dn y d dn 1y .

Данные формулы справедливы, если x является независимой переменной. В том случае, когда переменная x является функцией другой переменной, для дифференциалов второго и более высоких порядков справедливы другие формулы. Воспользуемся формулой d u v v du u dv и получим:

функцией другой переменной. Если же x - независимая переменная, то

d2x d dx d 1 dx dx d 1 0 .

Пример.3.15.2. Найти d2 y, если y x3 , а x t2 1.

d2 y 6x dx 2 3x2d2 x 6 t2 1 2t dt 2 3 t2 1 2 2d 2t

6 t2 1 4t2 t2 1 d2t 6 t2 1 5t2 1 d2t .

3.17. Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя. Пусть функции f x и x непре-

рывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обра-

щаются в нуль в этой точке, т.е. f x0 x0 0 , кроме тогоx0 0, тогда, если существует предел

53

Таким образом, предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Правило Лопиталя может быть использовано для иссле-

дования неопределенностей вида 0 , , 1 , 0 , 00 ,

, для чего указанные виды неопределенностей сводятся к

Пример 3.16.6. Найти предел lim tg3x . x tg5x

2

Решение.

55