Учебное пособие 2212

Стационарные вероятности пребывания в физических состояниях 1 и 2 имеют вид [1]:

то есть, получили (16) при k = 2. Так же, как в [1], запишем элементы ПМ ядра Q(t) ПМВ

0n , 0n ; n 0 , описывающего систему из

двух приборов в стационарном режиме. Из

(5) и (6) получим:

t

Q12 t 2 G1 x G2 x dx,

0

1 2

Рис. 2. Граф-схема переходов стационарного ПМВ

Вычислим функции распределения Ui0 t , i 1, 2 времен пребывания в состоя-

ниях 1 и 2 принимая во вниманию (1), (4),

(21):

то есть, (17) выполняется при k = 2. Допустим, что соотношения (15) – (17)

выполняются для (k – 1)-го прибора:

Докажем, что соотношения (15) – (17) выполняются для k приборов.

В этой ситуации мы снова имеем дело с суперпозицией двух независимых процессов восстановления с временами восстановленияk 1 и k , которые имеют функции распре-

деления U k 1 t вида (25) и Gk t соответственно. Фазовое пространство Е физических состояний системы состоит из двух состояний: E k 1 , k . По аналогии с вы-

шезаписанными формулами (18) – (24), с учетом (25) – (27), будем иметь:

1) Стационарные вероятности пребывания в состояниях (k – 1) и k:

3) Времена пребывания в состояниях:

а принимая во внимание (33), будем иметь

U k 1 t k 1 U k 1

t

то есть (15), (16) выполняются.

Доказательство. Выражение (36) для

U k t получается из формул (15), (37) с

k

учетом равенства i 1 [1]. Формула (36)

i 1

для m k получается из (17) и (1), т.к.

k k .

Таким образом, получили, что k различных приборов можно заменить одним полумарковским прибором с временем восстановления k , который имеет функцию

Библиографический список

1.Королюк, В. С. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем [Текст] / В. С. Королюк, А. Ф. Турбин – К. : Наук. мысль, 1982. - 235 с.

2.Королюк, В. С. Математические основы фазового укрупнения [Текст] / В. С. Королюк, А. Ф. Турбин – К. : Наук. мысль,

1978. - 248 с.

УДК 303.732

Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил “Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина” Канд. техн. наук, доцент С.В. Глущенко

Россия, г. Воронеж, E-mail: serjvladimir@rambler.ru

Military Training and Research Center of the Air Force

"Air Force Academy named after NE Zhukovsky and Gagarin" Kand. tehn. Sciences, Associate Professor S.V. Gluschenko Russia, Voronezh, E-mail: serjvladimir@rambler.ru

Для оптимизации2 целеполагаемой системы X = (x1,x2,…,xn), где xi – параметр системы (i = 1,2,…,n), необходим анализ внутрисистемных связей и процессов, протекающих в системе, а также факторов ее функционирования. Корреляционный анализ параметров системы позволяет оценить степень и характер их взаимодействия и затем структурировать группу параметров. Корреляционные плеяды, включающие параметры с отрицательной корреляционной зависимостью выявляют конфликт в системе, корреляционные плеяды с положительной корреляционной зависимостью – согласие, подгруппа независимых параметров – безразличие [1]. Таким образом можно построить ядра конфликта, согласия и безразличия в системе по корреляционной матрице R = {rij}, (i, j = 1,2,…,n). Здесь rij – парный коэффициент корреляции между i - м и j – м параметрами. В основе взаимодействия параметров лежат некие факторы (их можно обозначить в виде латентных переменных fi (i = 1,2,…,k), где k существенно меньше n.

© Глущенко С.В., 2019

Следующий этап анализа системы - определение факторов функционирования системы и степень их воздействия на поведение системы. Существующий математический аппарат включает ряд методов факторного анализа, среди которых наиболее популярен метод главных компонент. Выделенные главные компоненты (направления главного изменения данных) и представляют собой факторы fi (i = 1,2,…,k). Они характеризуют основную дисперсию параметров системы. При этом оставшиеся n – k факторов принимаются несущественными. Суммарная дисперсия, определяемая этими факторами близка к нулю.

Модель факторного анализа представляется в виде системы уравнений:

гут быть выражены взвешенной суммой латентных переменных (простых факторов) fi, количество которых меньше числа

исходных параметров, и остаточным

членом ei с дисперсией σ2(ei), действующей

определяются скорректированные fi и λi для последующего формирования функции полезности. Требуют также внимания и те специфические факторы, которые оказывают существенное воздействие на отдельные параметры системы. В связи с этим проводится окончательная коррекция спектра λ1,

λ2,…,λk.

Оптимизация функционирования системы определяется формированием функции полезности. Наряду с предложенным ее видом (5) целесообразно рассмотреть квадратичную функцию полезности, известную как функцию полезности НейманаМоргенштерна. Популярность данной функции основана на теореме НейманаМоргенштерна, доказывающей, что в некоторых конкретных случаях с допустимой степенью риска можно максимизировать ожидаемое значение полезности. В нашем случае такую функцию полезности можно представить следующим образом:

На очередном этапе оптимизации системы встает вопрос формализации факторов fi (i = 1,2,…,k), соответствующих собственным векторам корреляционной матрицы R. В предположении соответствия корреляционной матрицы R некоторому гипотетическому оператору Ř, а собственных векторов Vi – собственным вещественным функциям fi(t) возникает задача построения этих функций. При этом и Vi и fi(t) соответствует один и тот спектр собственных значений λi (i

= 1,2,…,k).

Результаты факторного анализа (уравнение (2)) позволяют определить наборы значений fi и на их основе аппроксимировать собственные функции fi(t). В силу ортого-

нальности этих функций должны выполниться соотношения (условия, накладываемые на fi(t)):

Здесь 0 ≤ t ≤ T – временной интервал оптимизации системы. Соотношения (7) накладывают условия на процесс аппроксимации функций fi(t) и вносят корректировку в этот процесс.

Построение функций fi(t) подводит нас к основному шагу оптимизации системы – окончательной формализации функции полезности. Любая саморазвивающаяся система в процессе своего функционирования затрачивает энергию (совершает работу), поэтому здесь применимы понятия потенциала системы и действия системы. Затрачиваемая системой энергия не должна превысить ее потенциала (ресурса), в противном случае система прекращает свое существование (дезинтегрируется). Энергия затрачивается на внутрисистемную деятельность (в частности на поддерживание связей между элементами системы) и на внешнесистемную (взаимодействие с другими системами, борьба за ресурсы, конфликт, противодействие и т.д.).

Библиографический список

1.Глущенко С.В. Синтез моделей и алгоритмов анализа функционирования стохастических технологических систем в условиях конфликта взаимодействующих параметров. Дис…канд. техн. наук. / С.В. Глущенко.

–Воронеж: ВГТА, 1997. – 159 с.

2.Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М: Радио и связь, 1981. - 560 с.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка:

где функции f(x), φ(t, x, y, z) непрерывны по совокупности переменных (– ∞ < t, x, y, z < ∞), а функция φ(t, x, y, z) = φ(t, X) ω-

периодична по t:

Всюду ниже мы будем предполагать,

что

Наряду 3 с системой (5) рассмотрим "укороченную" систему

С помощью достаточного признака существования правильной направляющей функции [2] подобно тому, как это сделано в работе [3] (для аналогичной системы пятого порядка) можно показать, что справедливы

Лемма 1. Пусть выполнены условия (3)

вид квадратичная форма плюс "интеграл от нелинейности", и ее производная в силу системы (6) удовлетворяет условию:

Тогда функция V(X) является правильной направляющей функцией для системы (5).

Лемма 2. В условиях предыдущей леммы индекс правильной направляющей функции V(X) вычисляется по формуле

дифференциальных уравнений с периодической правой частью правильной направляющей функции ненулевого индекса гарантирует существование периодических реше-

ний [1].

Теорема 1. Пусть выполнены условия

(2)-(4) и, кроме того,

Тогда у уравнения (1) есть хотя бы одно ω-периодическое решение.

Доказательство. 1. Рассмотрим подслучай k1>0. Положим