Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть задан закон распределения случайной величины . Математическое ожидание М[] случайной величины  определяется формулой

.

Таким образом, математическое ожидание есть среднее значение случайной величины. Усреднение производится по большому числу испытаний.

Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю.

Говорят, что математическое ожидание – характеристика положения или центральных тенденций.

Свойства математического ожидания

1. Если случайная величина  принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то её математическое ожидание равно ей самой.

2. Константу можно выносить за знак математического ожидания

М[k] = kM[].

3. Математическое ожидание суммы (разности) любых случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий

М[ + ] = M[] + M[].

4. Для любой случайной величины справедливо равенство

М[ – M[]] = 0.

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М[] = M[]  M[].

Дисперсия дискретной случайной величины

Зная характеристику среднего поведения случайной величины – математическое ожидание, хорошо было бы оценить, насколько случайная величина отклоняется от среднего, насколько велик ее разброс. С этой целью вводится понятие дисперсии.

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

D[] = D= M[( – )²].

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

.

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Если =const (т.е.  не случайна), то D[]=0.

Чтобы привести характеристику разброса к единицам измерения , нужно извлечь из нее квадратный корень. Полученное неотрицательное число называется среднеквадратичным или стандартным отклонением случайной величины

Свойства дисперсии

1. Если k – число, то D[k] = k² D[], т.е. константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом.

Докажем это.

D[k] = M[(k – M[k])²] = M[(k – k M[])²] = M[k² ( – m_)²] =

= k²M[ – m_]² = k² D[].

2. Сдвиг на константу не меняет дисперсии

D[k+]= D[].

Свойства (1) и (2) объединяются в одно

D[c+k]= k²D[].

3. Для попарно независимых случайных величин ₁, ₂,, _n справедливо равенство

Пример 16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X	–5	2	3	4
P	0,4	0,3	0,1	0,2

Решение. Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой D[X]=M[X²]–(M[X])², которая быстрее ведет к цели. Найдем математическое ожидание Х:

М[Х]=–5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=–0,3.

Напишем закон распределения Х²:

X2	25	4	9	16
P	0,4	0,3	0,1	0,2

Найдем математическое ожидание Х²:

М[Х²]=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.

Вычислим искомую дисперсию:

.

и, наконец, искомое среднее квадратическое отклонение:

_X= .