5.2. Неориентированные графы
Говорят, что задан неориентированный граф G (undirected graph), если заданы два множества: непустое множество V={ ,..., } – множество вершин графа (vertices, nodes), множество Q неупорядоченных пар ( , ), где , V. Это множество называется множеством рёбер (edges) графа. Таким образом, ( , ) и ( , ) обозначает одно и то же ребро. Множество Q является множеством двухэлементных подмножеств множества V.
Вершины и называются смежными, если существует соединяющее их ребро. Вершины и называются концами ребра. В этой ситуации каждая из вершин называется инцидентной ребру ( , ), а ребро ( , ) называется инцидентным каждой из вершин и . Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными.
С
Для графа,
изображенного на рис. 8, (
)=1,
(
)=3.
Каждое ребро, не являющееся петлей, вносит вклад в степень ровно двух вершин графа. Следовательно, справедлива теорема (лемма о рукопожатиях): удвоенное число ребер равно сумме степеней его вершин:
,
где n – число вершин графа, m – число его ребер.
Из равенства следует еще одна теорема: число вершин нечетной степени обязательно четно в любом графе.
Вершина графа, не инцидентная никакому ребру, имеющая степень 0, называется изолированной (вершина на рис.8), а вершина со степенью 1 называется висячей (вершина на рис.8).
Ребра, инцидентные одной паре вершин, называются параллельными или кратными. Граф с кратными ребрами называется мультиграфом.
Граф с петлями называется псевдографом. Граф, не содержащий петель и кратных ребер, называется обыкновенным, или простым графом (simple graph).
Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами, соединяющими вершины из этого множества.
Некоторые
классы графов получили особые наименования.
Граф с любым количеством вершин, не
содержащий ребер, называется пустым.
Обыкновенный граф с n вершинами, любая
пара вершин которого соединена ребром,
называется полным
и
обозначается Kn (очевидно, что в полном
графе n(n-1)/2
ребер).
Граф
G называется полным, если любые две его
различные вершины соединены ребром, и
он не содержит параллельных ребер.
Дополнением
графа G
называется граф
с теми же вершинами, что и граф G
и содержащий только те ребра, которые
нужно добавить к графу G, чтобы получился
полный граф.
На рис. 9
изображены следующие графы:
–
полный граф с пятью вершинами,
–
некоторый граф, имеющий пять вершин,
–дополнение
графа
.
5.3. Матричное задание ориентированных графов
О
риентированный
граф
,
где V={
,...,
}
может быть описан квадратной матрицей
смежности
,
где
1,
если из вершины
в вершину
идет дуга, и
0,
если нет дуги из вершины
в вершину
.
Квадратная матрица
размерности
описывает отношение смежности вершин.
Номера строк и столбцов матрицы A
соответствуют номерам вершин графа.
Для того чтобы найти число +(v),
необходимо найти сумму элементов
соответствующей строки матрицы смежности.
Для определения полустепени захода
(v)
необходимо найти сумму элементов
соответствующего столбца матрицы
смежности.
Для орграфа на рис. 10 матрица смежности имеет вид:
.
Граф G(V,
X), где V={
,...,
};
X={
,...,
}
с помощью матрицы B,
может быть описан с помощью матрицы
инцидентности или матрицы инциденций,
отражающей инцидентность вершин и дуг.
Номера строк матрицы B
соответствуют номерам вершин, а номера
столбцов — номерам ребер. Матрица
инциденций графа является
прямоугольной матрицей размерности
,
элемент
которой равен плюс
единице, если i-я
вершина является началом j-ой
дуги, минус единице, если
i-я вершина является
концом j-ой дуги,
и нулю в остальных случаях. Если дуги
графа, изображенного на рис. 10, расположены
в порядке нумерации следующим образом:
<
>,<
>,<
>,
<
>,<
>,<
>,
то матрица инцидентности будет иметь
вид
.
Для того чтобы найти полустепени захода (v) вершины, необходимо в матрице инцидентности подсчитать количество «– 1» в строке этой вершины. Если же мы хотим найти +(v), то необходимо в матрице инцидентности подсчитать количество +1 в строке этой вершины.