- •Введение
- •1.2. Функция Кирхгофа. Абсолютно черное тело
- •1.3. Закон Стефана-Больцмана. Формула Рэлея-Джинса. Закон смещения Вина
- •1.4. Теория Планка
- •2. Квантовые свойства излучения
- •2.1. Фотоэффект
- •Энергия, масса и импульс фотона. Давление света
- •Эффект Комптона
- •II. Основы атомной и молекулярной физики
- •3. Закономерности в атомных спектрах Теория атома Бора
- •4. Элементы квантовой механики
- •4.1. Волновые свойства вещества. Гипотеза де Бройля
- •4.2. Принцип неопределенности Гейзенберга
- •4.3. Волновая функция
- •5. Квантовые уравнения движения
- •5.1. Уравнение Шредингера
- •5.2. Уравнение Шредингера для свободной частицы
- •5.3. Уравнение Шредингера для частицы в силовом поле
- •5.4. Стационарное уравнение Шредингера
- •5.5. Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме
- •6. Дополнительные приложения квантовой механики
- •6.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •6.2. Гармонический осциллятор. Фононы
- •7. Квантово-механическое описание атома водорода
- •7.1. Уравнение Шредингера для атома водорода. Главное квантовое число
- •7.2. Момент импульса атома. Орбитальное и магнитное квантовые числа
- •7.3. Правила отбора. Спектры атомов
- •7.4. Собственный момент электрона
- •8. Физика многоэлектронных систем
- •8.1. Спектры многоэлектронных атомов. Принцип Паули
- •8.2. Эффект Зеемана
- •8.3. Природа химической связи. Виды молекул
- •9. Физические основы лазеров
- •9.1. Спонтанное и вынужденное излучение
- •9.2. Принцип работы и устройство лазеров
- •III. Основы квантовой статистики
- •10. Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака
- •IV. Зонная теория твердых тел
- •11. Металлы, полупроводники, диэлектрики Образование энергетических зон
- •12. Собственная и примесная проводимость полупроводников
- •12.1. Собственная проводимость
- •12.2. Примесная проводимость
- •12.3. Квантовая теория проводимости металлов
- •12.4. Сверхпроводимость
- •V. Основы ядерной физики
- •13. Характеристики атомного ядра
- •13.1. Состав и характеристики атомных ядер
- •13.2. Модели ядра: капельная и оболочечная
- •13.3. Зависимость удельной энергии связи атомного ядра от числа нуклонов
- •13.3. Ядерные силы
- •13.4. Образование ядер. Дефект масс
- •14. Радиоактивность и ее виды
- •14.1. Закон радиоактивного превращения
- •14.2. Альфа-распад
- •14.3. Бета-распад
- •14.4. Спонтанное деление тяжелых ядер. Гамма-излучение
- •15. Ядерные реакции
- •15.1. Вынужденные ядерные процессы
- •15.2. Реакция деления ядра
- •15.3. Реакция синтеза атомных ядер
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Квантовые уравнения движения
5.1. Уравнение Шредингера
Итак, состояние системы описывается волновой функцией Ψ, которая определяется конфигурацией системы и конкретным видом силового поля, в котором она находится. Найти волновую функцию частицы, движущейся в каком либо силовом поле, можно с помощью уравнения относительно этой функции:
(5.1)
где – оператор Лапласа, U – потенциальная энергия частицы в конкретном силовом поле (например, энергия электрона в поле притяжения ядра), мнимая единица, m – масса частицы.
Это уравнение (5.1) в 1926 г. получил Шредингер исходя из аналогии между уравнениями, описывающими ход световых лучей с уравнениями, определяющими траектории частиц в классической механике. Уравнение Шредингера постулируется.
5.2. Уравнение Шредингера для свободной частицы
Рассмотрим свободно движущуюся частицу. И если волновой функцией фотона является плоская световая волна, для частиц волновая функция является плоской волной де Бройля, (см. раздел 4).
Для простоты ограничимся одномерным случаем:
(5.2)
Запишем волну де Бройля в комплексной форме:
(5.3)
где частота , волновое число .
Продифференцировав Ψ по времени t, а также дважды по координате x, получим: , (5.4)
Отсюда получаем:
, (5.5)
В нерелятивистской классической механике кинетическая энергия E и импульс p связаны соотношением: (5.6)
Подставив в (5.6) выражения (5.5) и сократив на Ψ, получим уравнение
(5.7)
которое совпадает с (5.1), если в нем U = 0. Отсутствие внешнего силового поля означает, что частица является свободной. Частицу можно считать свободной, если U(x)=const или в общем случае U(r)=const. В этом случае потенциальную энергию можно принять равной нулю.
5.3. Уравнение Шредингера для частицы в силовом поле
Если частица находится в каком-либо силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то: (5.8)
где Е – полная энергия частицы
В этом случае уравнение Шредингера будет иметь вид:
(5.9)
Уравнение (5.9) является частным случаем уравнения (5.1) для частицы, совершающей одномерное движение. Уравнение (5.1) называется общим уравнением Шредингера.
5.4. Стационарное уравнение Шредингера
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:
(5.10)
Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного внешнего поля остается постоянной. Подставим (5.10) в (5.1):
(5.11)
Сократив на общий множитель , придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию ψ(x, y, z):
(5.12)
Уравнение (5.12) относительно координатной части волновой функции называется стационарным уравнением Шредингера. Далее мы будем иметь дело только с ним.
Это уравнение имеет бесчисленное множество решений, однако при наложении граничных условий, а также упомянутых выше требований (ограниченность, однозначность и непрерывность волновых функций, а также непрерывность частных производных) остается ряд решений, который имеет физический смысл. Эти решения имеют место только при определенных значениях параметра E, которые называются собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений Е называется энергетическим спектром. Решения, соответствующие собственным значениям энергии Е, называются собственными функциями задачи.
Простейшей задачей на собственные функции и собственные значения является движение свободной частицы, упомянутой выше. Оно задается уравнением: (5.13)
Его частным решением является функция , где A=const, ψ(x) является координатной частью волновой функции Ψ(x,t).
Функции ψ(x) соответствуют собственные значения энергии
(5.14)
где . Это выражение верно для нерелятивистской частицы. А поскольку волновое число k может принимать любые положительные значения, то энергетический спектр свободной частицы является непрерывным. Таким образом, свободная частица имеет непрерывный спектр. Для пояснения следует вспомнить спектр излучения электрона в атоме. В этом случае электрон находится в связанном состоянии, и спектр имеет дискретный характер. При отрыве электрона от атома он перестает чувствовать поле ядра, то есть для U → 0, а излучение электрона становится непрерывным, как это предсказывает уравнение Шредингера (5.13).