5.9. Принцип включений и исключений

Рассмотрим важный комбинаторный метод – принцип включений и исключений, он же символический метод, он же принцип перекрестной классификации.

Пусть имеем:

N – объектов, из которых

N(a) – обладают свойством a

символом обозначим отсутствие у объекта свойства а.

Далее:

Объекты могут обладать двумя свойствами (а и b)

N(a) обладает свойством а

N(b) обладает свойством b

число элементов,

не обладающих

ни свойством a,

ни свойством b

число элементов,

обладающих

свойствами a и b

одновременно

Почему появился ?

Т.к. при вычитании N(a) и N(b) из общего запаса элементов величина вычитается дважды она должна быть один раз восстановлена!

Задачи и упражнения

1. Сколькими различными способами можно рассадить за круглым столом 10 гостей?

2. Сколькими способами можно расставить 20 книг на полке?

3. Сколькими способами можно поставить на полке пять томов “Математической энциклопедии” ?

4. Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

5. Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

6. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5 так, чтобы ни одна из цифр не повторялась более одного раза ?

7. Сколькими способами можно из 15 человек выбрать 6 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?

8. Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?

9. Сколькими способами можно выбрать из 30 учеников класса 4 дежурных ?

6. Алгебра высказываний

Исходным понятием математической логики является «высказывание». Под высказыванием понимают повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно (обозначается символами 1 или И) или ложно (символы 0 или Л). Значения И и Л (или 1 и 0) называются истинностными значениями высказывания, множество {И, Л} (или {0,1}) называется множеством истинностных значений. Заметим, что значение высказывания ситуативно, при этом в каждой ситуации высказывание принимает одно и только одно из двух значений – И или Л.

Например, повествовательное предложение «3 есть простое число» является истинным, а «3.14… – рациональное число» – ложным, «Колумб открыл Америку» – истинным, а «Киев – столица Узбекистана» – ложным, «Число 6 делится на 3» – истинным, а «Сумма чисел 2 и 3 равна 6» – ложным и т. п.

Такие высказывания называют простыми или элементарными. При формальном исследовании сложных текстов вместо понятия «простые высказывания» используют понятие «пропозициональные переменные» (от лат. propositio – предложение), которые обозначают прописными буквами латин­ского алфавита A, B, C,… Истинность или ложность высказывания будем отмечать символами 1 – истина или 0 – ложь.

Пример:

1. если A₁=«3 – простое число», то A₁ = 1;

2. если A₂=«3 – вещественное число», то A₂ = 1;

3. если B₁=«3, 14…– рациональное число», то B₁ = 0;

4. если D=«Киев – столица Узбекистана», то D = 0.

Замечание. Символ «=» означает, что пропозициональной переменной, стоящей слева, присвоить значение высказывания, стоящего справа от символа.

Правила построения сложных высказываний в виде последователь­ности пропозициональных переменных, логических связок и вспомогательных символов определяют возможность формального описания любого текста. При формальной записи сложного высказывания всегда нужно исходить из его содержания. До тех пор пока не определена логическая структура сложного высказывания, его нельзя формально описывать.

Правила выполнения логических операций над сложными высказываниями на основе заданных логических связок и пропозициональных переменных формирует алгебру высказываний.

Правила вывода новых высказываний, основанные на известных отноше­ниях между заданными пропозициональным переменными, формируют исчисление высказываний. Высказывания, из которых делают вывод новых высказываний, называют посылками, а получаемое высказывание – заключением.