- •1. Производная. Правила дифференцирования
- •2. Таблица производных
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные высших порядков
- •5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически
- •6. Уравнения касательной и нормали
- •7. Дифференциал первого порядка
- •8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
- •Задание 1
- •Задание 8
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Задание 15
- •Задание 16
- •Задание 17
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы
по изучению раздела «Производная»
курса «Математический анализ»
для студентов направления подготовки
бакалавров 080100 «Экономика»
очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук Е.И. Максимова
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Производная» курса «Математический анализ» для студентов направления подготовки бакалавров 080100 «Экономика» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, Е.И. Максимова. Воронеж, 2014. 41 с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические положения по дифференциальному исчислению функции одной переменной, изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров и задач, приводятся задачи и упражнения для самостоятельной работы.
Методические указания предназначены для организации самостоятельного изучения студентами первого курса раздела «Производная» по курсу математического анализа.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «DERIV1. doc».
Ил. 1. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Н.А. Борщ
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2014
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Производная. Правила дифференцирования
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Придадим значению переменной x в точке x0 приращение x, при этом f(x) получит приращение f = f(x0 + x) – f(x0).
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается .
Общеприняты и другие обозначения производной функции y = f(x): , ; если же y зависит от значения переменной t (времени), то часто вместо пишут . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала (a, b), то становится функцией, определённой на (a, b).
Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции y = sin (2x + 1).
Решение. Придадим значению переменной x приращение
x , тогда функция y получит приращение
y = f(x + x) – f(x) = sin (2(x + x) + 1) – sin (2 x + 1)) =
= 2 sin x cos(2x + x + 1).
Отсюда находим
Таким образом, .
Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.
2. Таблица производных
(Здесь и ниже C – постоянная величина.)
; ;
; ;
; ;
; ;
; .
3. Правила дифференцирования
Если функции f(x) и g(x) имеют производные и , то функции , , , также имеют производные (последняя – при условии ), и при этом
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции , определённая в окрестности точки x0 , и z = g (y), определённая в окрестности точки y0 = f (x0) , обладают тем свойством, что существуют производные и . Тогда функция u (x) = g (f (x)) имеет производную в точке x0 и при этом
.
Пример 2. Найти производные функций:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим
= ;
в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим
= ;
Пример 3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение. Найдём производную функции
.
Подставив это выражение в уравнение, получим
,
или .Это и доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению.
Для дифференцирования степенно-показательной (вида ) и некоторых других функций удобно пользоваться так называемым логарифмическим дифференцированием.
Пример 4. Найти производные функций:
а) ; б) .
Решение. а) Предварительно прологарифмируем обе части равенства , имеем . Продифференцируем обе части последнего равенства, считая ln y сложной функцией от x : ;
отсюда находим . Подставив , наконец получим
.
б) Действуя так же, находим:
;
4. Производные высших порядков
Производную от производной называют второй производной от функции f(x) и обозначают . Производную от называют третьей производной функции f(x) и обозначают . Таким образом,
, , ... , , . . .
Общепринятыми являются и другие обозначения производной n-го порядка функции y = f(x): или . Если функция f(x) зависит от переменного t (времени), то вторую и третью производные иногда обозначают .
Пример 5. Найти , если y = ln(sinx) .
Решение. ;
.