1.5. Предельные распределения экстремальных значений переменных состояния

Сущность метода EVT состоит в анализе наблюденных экстремумов и предсказании тех экстремумов, которые могут иметь место при последующих наблюдениях. Экстремумы не являются фиксированными величинами, а представляют собой случайные величины, зависящие от исходного распределения и от объема выборки. В теории вероятностей экстремальных значений, которая в основном имеет дело с независимыми и одинаково распределенными случайными величинами со свойствами распределения их максимума M_n, выделяют два важных для практических приложений фундаментальных результата [68, 97].

Первый из них утверждает, что не вырожденное асимптотическое распределение M_n (соответствующим образом нормализованного) обязательно должно принадлежать одному из трех (с точностью до преобразований сдвига и масштаба) единственно возможных общих семейств Pr [X ≤ x] (независимо от исходной функции распределения F), обычно называемых тремя распределениями экстремальных значений [97]:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Закон распределения F(х) имеет чрезвычайно важное значение для прикладных задач анализа риска, связанных с прогнозированием поведения переменных состояния.

Второй фундаментальный результат – это необходимые и достаточные условия, определяющие, какое именно из возможных предельных распределений адекватно описываемому процессу. В прикладных задачах статистику угроз представляют в частотном виде, изучая динамические закономерности частот, и меньшее внимание уделяется вероятностным распределениям произошедших событий и анализу закономерностей, им присущих. Но именно такой прикладной статистический анализ вероятностного распределения F(х) реализации чрезвычайных ситуаций позволит точнее смоделировать риск АСУ ТП КВО [98].

Распределения экстремальных значений получаются как предельные распределения наибольшего (наименьшего) из значений независимых одинаково распределенных непрерывных случайных величин при бесконечном увеличении их числа или, что то же самое, наибольшего (наименьшего) выборочного значения при бесконечном увеличении объема выборки из непрерывного распределения [121].

Пусть - -независимые одинаково распределенные случайные величины с общей плотностью

Тогда функция распределения случайной величины имеет вид

, (1.4)

где

Для любого фиксированного x при стремлении n к бесконечности имеем:

Даже если определяется собственное распределение переменной, интерес представляет предельное распределение последовательности преобразованных, в некотором смысле «уменьшенных» значений, таких как

,

где и могут зависеть от n, но не от x.

Различают F(x) и функцию распределения наибольшего значения преобразованной («уменьшенной») случайной величины G(x). Если имеется величин: , то наибольшая из них есть также наибольшая из N величин:

Следовательно, функция G(x) должна удовлетворять уравнению:

, (1.5)

иногда называют постулатом стабильности.

Распределения (1.1) получаются при =1; распределения (1.2) и(1.3) – при . В последнем случае

откуда следует, что должно быть равно 0 или 1. (1.2) соответствует значению 1, а(1.3) — значению 0.

Для случая =1, соответствующего(1.1), имеем:

(1.6)

Так как также должно удовлетворять (1.6), то получаем:

,(1.7)

и

(1.8)

Поэтому

следовательно, , где θ — константа.

Дважды логарифмируя почленно равенство (1.7), учитывая, что , записываем:

(1.9)

Положим

Тогда при увеличении аргумента величина h() убывает на .Следовательно,

(1.10)

Поскольку h(x) убывает по x, то θ > 0.Отсюда получаем:

,

что совпадает с (1.1).

Существует связь между свойствами исходного распределения F(x) и типом предельного распределения. Эти условия относятся к поведению F(x) при больших (малых) x, если речь идет о наибольших (наименьших) значениях случайных величин. При одном и том же исходном распределении наибольшее и наименьшее значения могут иметь предельные распределения, относящиеся к разным типам[99]:

Условие сходимости к распределению (1.1):

.

Условие сходимости к распределению (1.2):

c > 0, k > 0.

Условие сходимости к распределению (1.3):

, c > 0, k > 0,

где F(ω)=1, F(x) < 1 при x<ω.

Приведенные условия являются необходимыми и достаточными и показывают, что не существует иных распределений, удовлетворяющих постулату стабильности.

Среди указанных распределений особое место занимает распределение Гумбеля [97], которое представляется целесообразным использовать в качестве математической основыдля дальнейшего рассмотрения в настоящей работе, поскольку в ТП КВО самые большие неприятности возникают в случае превышения максимумов критических переменных состояния заданных пороговых значений. Такая нештатная ситуация может возникать, в том числе, в результате компьютерных атак, реализуемых путем проникновения в АСУ ТП КВО и принудительного изменения параметров ТП КВО, его критичных переменных состояния. Вероятностная оценка таких событий в сочетании с функцией ущерба открывает перспективу получения аналитических риск-моделей, что, в принципе, и требуют ГОСТы [67, 100-103],.которая также рассматривалась в монографии [104].