1.7. Теорема Остроградского - Гаусса

Основной теоремой электростатики, вытекающей из закона Кулона и выражающей тот факт, что электрические заряды являются источниками электрического поля, считается теорема Остроградского - Гаусса.

Данная теорема устанавливает связь потока напряженности Е электрического поля через замкнутую поверхность S с величиной заряда q, находящегося внутри этой поверхности.

Как известно, для графического изображения полей используют силовые линии (линии напряженности) поля. Поток вектора напряженности Е пропорционален числу силовых линий, пронизывающих поверхность. Из теорем Остроградского – Гаусса следует, что силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а в отсутствие зарядов непрерывны. При этом, теорема Остроградского – Гаусса и непрерывность силовых линий является следствием того, что кулоновская сила убывает с расстоянием как 1 / r².

Поток вектора напряженности Е. Слову «поток» сквозь поверхность придается смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. Поверхность может быть замкнутой и незамкнутой.

По определению, поток вектора напряженности Е (который будем обозначать Ф_Е) сквозь, например, замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, есть алгебраическая величина, определяющая число силовых линий, пересекающих данную поверхность. При этом, в месте выхода силовых линий из объема нормальная составляющая вектора Е_n к данному участку поверхности dS считается положительной, то есть Е_n>0, и элементарный поток вектора напряженности через поверхность dS также положительный dФ_Е > 0, а в месте входа силовых линий в объем, соответственно, Е_n < 0 и dФ_Е < 0. Суммарный поток поля Е через поверхность S расчитывается по формуле:

Ф_Е = dФ_Е = E cosα· dS = E_n dS = (E_,dS),

где α – угол между силовой линией, пронизывающей поверхность dS, и нормалью n к поверхности S в данном месте, dS –вектор, длина которого равна площади поверхности dS, а направление совпадает с вектором n.

Если поверхность S не окружает точечный заряд, то суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю (рис. 6).

Рис.6

Однако, если точечный заряд находится внутри поверхности S, поток поля Е наружу не равен нулю. Очевидно, что поток через S равен потоку через поверхность S^’, которая целиком окружена поверхностью S. Пусть поверхность S^’ это малая сфера с радиусом r c положительным точечным зарядом q в центре (рис. 7).

Рис. 7

Поток вектора напряженности электростатического поля Е через сферическую поверхность S^’ = 4r², охватывающую точечный заряд q, равен q / ε₀, так как значение Е повсюду на поверхности сферы радиуса r равно (q / 4 r²) и направлено всегда по нормали к поверхности:

Ф_Е = E_n ∙ dS = ∙ 4r² = .

Получается, что поток Ф_Е равен числу, не зависящему от радиуса сферы. Значит, и поток Ф_Е наружу через произвольную поверхность S тоже равен q / ε₀, и это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри S, и равен нулю если заряд q не охвачен замкнутой поверхностью, то есть находится снаружи S.

Интегральная форма теоремы Остроградского – Гаусса формулируется следующим образом: поток Ф_Е вектора напряженности Е электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов q = , деленной на электрическую постоянную ε₀.

Если заряд непрерывно распределен по объему с плотностью ρ, то величина заряда равна q = ρ∙dV и поток вектора Е равен Ф_Е= ρ∙dV.

Дифференциальная форма теоремы Остроградского Гаусса. Запишем закон Остроградского – Гаусса через производные, то есть в дифференциальной форме, применив его к поверхности бесконечно малого объема с суммарным зарядом внутри:

Ф_Е = E_n dS = =>

E_n dS) = =>

E_n dS = =>

E_n dS) = =>

div E = ,

где = - средняя объемная плотность заряда внутри ограниченного малого объема.

Получается, что поток Е из малого объема равен дивергенции векторного поля div E, умноженной на объем dV. Отсюда следует, что дивергенция вектора Е в данной точке поля – это поток Е («истечение» Е наружу) на единицу объема, взятого в окрестности этой точки поля.

Дивергенция («расхождение» или «схождение») векторного поля Е в данной точке – это величина, численно равная количеству точек на единицу объема (плотности), в которых начинаются силовые линии Е и, в этом случае,

div E > 0, а элемент объема является источником поля и в нем заключен положительный заряд; либо силовые линии оканчиваются в этих точках и тогда div E < 0, а элемент объема является стоком поля и содержит отрицательный заряд. В общем случае выражение для дивергенции Е равно:

div E = .

К основным законам электростатики можно отнести:

- закон Остроградского – Гаусса: поток электрического поля из объема пропорционален заряду внутри него;

- циркуляция электростатического поля равна нулю :

- Е есть градиент потенциала.