18.3. Принцип расчета монолитных конструкций мкэ

Совершенствование электронно-вычислительной техники позволило быстро решать сложные системы уравнений, которые возникают при переходе от стержневых элементов к сплошным (континуальным) системам в виде пластин, оболочек, объемных конструкций.

При решении объемной задачи монолитное тело рассчитываемой детали может быть разбито на конечные элементы в виде пирамид, призм, параллелепипедов и т.д.

Рассмотрим элемент в виде пирамиды (рис. 87).

Результатом расчета должно явиться определение силового воздействия в узлах элемента, т.е. определение матрицы реакций или матрицы жесткости – R.

Для построения матрицы жесткости необходимо задаться полем перемещений и выразить его через перемещения узловых точек треугольника.

Обычно поля перемещений задают в виде полиномов, число коэффициентов которых равно степеней свободы – i.

Рис. 87. Пирамидальный конечный элемент

В данном случае для пирамиды i = 4 , тогда

(140)

или в матричной форме



или

, (141)

где ;

.

Считая выбранный элементарный объем бесконечно малым, зависимости между компонентами перемещений (U,V,W) и компонентами линейных деформаций определяются уравнениями Коши:

(142)

Дифференцируя соотношение (141) с использованием уравнений Коши, получим

, (143)

где В - матрица, получаемая из матрицы L(x,y,z) путем дифференцирования.

Для континуальных сред в виде пластин, объемных тел закон Гука имеет вид:

(144)

Решая систему (18) относительно σ_x, σ_y, σ_z, σ_xy, σ_yz, σ_zx и записывая результат в матричной форме, получим:

, (145)

где D - блочная матрица

.

Выше отмечалось, что на основании закона сохранения энергии выполняется равенство (134) , т.е.

. (146)

В данном случае работа внешних сил описывается соотношением

(147)

где - силы, действующие на элемент.

(148)

где R - матрица жесткости, симметричная, ленточного вида.

Таким образом

. (149)

Выражение для потенциальной энергии

(150)

Подставляя в (150) зависимости (142), (144) и учитывая, что выражение (140) от координат (x, y, z) не зависит, получим

(151)

На основании (147) , приравнивая зависимости (146) и (149) имеем

. (152)

Тогда

(153)

Решение интеграла (153) с учетом граничных условий может быть выполнено на ЭВМ итерационным методом, в результате чего определяется напряженное состояние объемного элемента.

Проходя поэлементно всю структуру монолитной конструкции, получают объемную картину напряженного состояния детали в любой ее области.