Добавил:

Justeeeek100500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

Вища геодезія

Файл:

mtg_theme 4.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

539.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

4 4

... cos msin (M ) ...

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Наведені формули забезпечують точність обчислень 1 10-4 м в віддалі s і 1 10-4 секунди в при будь-

яких віддалях на земному еліпсоїді.

Перейдемо до обчислення інтегралу (4.85). Перед інтегруванням необхідно так перетворити підінтегральний вираз, щоб аргумент підінтегральної функції і змінна інтегрування були би одною і тією величиною.

Попередньо розкладемо підінтегральну функцію в ряд за формулою бінома Ньютона і проінтегруємо перший член отриманого ряду

Q2 2

l (1 e2 cos2 u)1/ 2 d

cos2 u

cos4 u

... cos2 u d

(4.98)

Q1 2

В підінтегральному виразі перейдемо від змінних u і до змінної . Згідно першого з рівнянь (4.76)

d cosu d sin A,

а згідно (4.86), для поточної точки дуги великого кола Q 'Q '

cosu

sin m

sin A

Перемноживши останні вирази, отримуємо

cos2 ud sin md .

(4.99)

З врахуванням (3.89) і (3.99) рівність (3.98) представимо в вигляді

l sin m

e2				e4		e6		e4
							...
	2		8		16		...		8
	2		8		16				8


		2	m sin		2	(M )
cos			m sin			(M )

e6



	16
	16

	e6
		...
		...
8
8

Як і в попередньому, степеневі функції змінної замінимо функціями кратних аргументів на основі співвідношень (3.92) і згрупуємо сталі коефіцієнти при кожній функції з однаковими аргументами. Отримаємо

						e2						e4			e6		e			4	e6				2
																...						... cos				m
								2								...			8		8	... cos				m
								2			8			16					8		8

l sin m									3e6
					0				3e6
													... cos4 m ...
									128				... cos4 m ...
									128

e4				e6						2								e6					4
					... cos						m cos 2(M )										... cos			m cos 2(M )
					... cos						m cos 2(M )										... cos			m cos 2(M )
	16	16																		32
	16	16																		32
	e6						4
			... cos					m cos 4(M ) ...											d
			... cos					m cos 4(M ) ...											d
	128
	128

Введемо позначення

sin m cosu1 sin A1 k;

A' 1 e2 1e4 1 e6 1 e4 1 e6 (1 k2 ) 3 e6 (1 k2 )2 ,


	2				8		16		16		16					128
	1			4	1		6		2	1		2		2
B'			e			e		(1 k		)	(1 k		)		,	(4.100)
B'			e			e		(1 k		)	(1 k		)		,	(4.100)
	16				16					32
C'		1	e6 (1 k2 )2 ,
C'			e6 (1 k2 )2 ,
	256

після чого

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач


l k A' B'cos2(M ) 2C'cos4(M ) ... d .	(4.101)
0
В результаті інтегрування (4.101) з врахуванням зауважень (4.95), отримуємо
l k A'` B'sin cos(2M ) C'sin2 cos(4M 2 ) ... ,	(4.102)

Формулою (4.102) забезпечується точність обчислення різниці довгот в 0.0001" при будь-яких віддалях.

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі для обчислення , коли задана різниця довгот

l L2 L1 , виникає необхідність застосування методу наближень, оскільки інші величини у формулі (4.102)

залежать від шуканої величини .

Отже, нами отримані всі співвідношення, які необхідні для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу при роз’язуванні головних геодезичних задач. Вкажемо також, що при розв’язуванні цих задач використовуються також формули сферичної тригонометрії для розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері (див.

п. 4.4.2.а).

4.6.4. Числові методи розв'язування головних геодезичних задач

Аналітичні методи обчислень не згубили свого значення і в теперішній час, проте область їх застосування змінилась в зв'язку з широким використанням ЕОМ в різних галузях, в тому числі і в геодезичній практиці. Якщо майже єдиною базою для наближених представлень складних функцій, з котрою виходила геодезія, особливо сфероїдна її частина, був розклад функцій в ряди Тейлора, то тепер на перший план вийшли різноманітні числові способи розв'язування диференційних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Відомо,

що еліптичні інтеграли і походжені від них еліптичні функції в диференційних рівняннях, котрі мають квадратні корені із многочленів вищих степенів, є основним математичним апаратом поверхні еліпсоїда.

Числові методи, що використовуються при розв’язуванні головних геодезичних задач, можна розділити на дві групи:

а) обчислення еліптичних інтегралів (4.29) методами чисельного інтегрування;

б) числове інтегрування диференційних рівнянь (4.27) і (4.28).

Відзначимо, що обчислення еліптичних інтегралів методами числового інтегрування (формули трапецій,

Сімпсона, Чебишева, Гаусса, Грегорі тощо) не є оптимальним розв'язком головних геодезичних задач. Справа в тому, що квадратурні формули, наприклад, Гаусса хоча і вимагають досить мало машинної пам’яті, проте у практичному застосуванні приводять до ускладнення програм. В період малопотужних ЕОМ дані методи мали певне практичне застосування.

В даний час оптимальним методом в розумінні точності і ефективності розв'язування головних геодезичних задач, як вже було підкреслено в п.4.4.2.б є метод числового інтегрування диференційних рівнянь,

названий на честь авторів методом Рунге-Кутта. Відомі також його модифікації: Рунге-Кутта- Інгланда,

Рунге-Кутта - Мерсона.

Характерні риси даного методу:

простота програмування (декілька десятків операторів для будь-якої мови програмування);

висока точність розв'язування на відстані до 20 тис.км;

універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях;

можливість оцінки точності інтегрувння на одному кроці.

Практично єдиний недолік даного методу - наявність порівняно потужної ЕОМ - на даний час не є принциповим.

У першому розділі розглянуто в загальних рисах метод Рунге-Кутта 4-го порядку для розв'язування диференційних рівнянь. Тут ми зупинимось на застосуванні цього методу для розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Розв'язування прямої геодезичної задачі методом Рунге-Кутта 4-го порядку

Запишемо вихідну систему диференційних рівнянь (4.27) і (4.28) у вигляді

f1 (B, A),

	dL	f2 (B, A),	(4.103)

	ds
	dA	f3 (B, A).

	ds
При розв'язуванні прямої геодезичної задачі виникає задача Коші з початковими умовами:

S 0 B1 ;

S 0 L1 ;

S 0 A1 ,

а формули Рунге-Кутта 4-го порядку для даної задачі, враховуючи (1.14) та (1.13), будуть мати вигляд:

(1)

(1) 2k

(1)

(1) ),

i 1

(2)

(2) ),

i 1

(3)

(3) ),

i 1

( j)

h f

(B , A );

(4.104)

( j)

h f

(1)

, A

(3)

);

( j)

h f

(1)

, A

(3)

);

( j)

h f

(1)

, A

(3) ).

де

h - крок інтегрування ;

i - 0,1,3, . . ., m-1 ;

j - 1,2,3;

m - кількість частин,

на які ділиться весь відрізок

інтегрування [0, s].

Якщо величина кроку інтегрування, що дає результати

необхідної точності наперед невідома,

то

інтегрування виконується декілька раз,

зменшуючи кожен раз

крок вдвоє.

Дана процедура повторюється до

тих пір, поки результати повторного інтегрування відрізняються від попереднього на недопустиму величину.

Точність чисельного розв'язування прямої геодезичної задачі характеризується похибками кінцевих

результатів інтегрування. Ці похибки одержуються в результаті накопичення похибок окремих кроків

ін-

тегрування.

Для визначення похибок B", L", A" і-го

кроку

звернемось до формул

(4.104). Ці формули тотожні

розкладам широти, довготи і азимута в ряди Тейлора до членів, що мають похідні четвертого порядку.

Так, для широти, це буде

d 2 B

d 3B

d 4 B

i 1

dh3

dh4

Тому похибка інтегрування на і-му кроці рівна членам п'ятого порядку:

h 5

d5B

i 1

h 5

d 5L

(4.105)

i 1

h 5

d 5 A

i 1

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Підставивши значення похідних пятого порядку (4.34), (4.35), (4.36) отримаємо:

h 5

sin4 Ai

cos Ai (1 30ti

2 45ti

4 )

120R5

A cos3

A (8 60t

60t

sin2

4 )

cos4

A sin A (2 15t

15t

4 )

8hi

sin3 A cos2

A (1 20t

30t

4 ) ,

120R5 cos B

sin5 A (t 2

3t 4 )

i i

cos4 A sin A (61t

180t

120t

5 )

sin3 A cos2

A (58t

280t

3 240t

5 ) ,

120R5

sin5

A (t

20t 3

24t 5 )

i i

ti tgBi .

Для різних відстаней (кроків інтегрування) отримаємо похибки на одному кроці інтегрування, які наведені у табл. 4.2.

Таблиця 4.2. Оцінка точності методу Рунге-Кутта

а) при R=6380 км, B=450 , A=450

Значення	h=50 км	h=100 км
величин

B"	-8 10-8	-2 10-6

L"	-2 10-7	-8 10-6

A"	-3 10-7	-8 10-6

б) при R=6380 км, B=750 , A=450
Значення	h=50 км	h=100 км
величин

B"	-5 10-6	-2 10-4
L"	-1 10-4	-4 10-3

A"	-2 10-4	-7 10-3

Отже, числовий метод розв'язування прямої геодезичної задачі можна застосовувати практично на будь-

яку відстань, за винятком тих випадків, коли геодезична лінія розташовується біля полюса, оскільки tgB

прямує до нескінченності. В цьому випадку ефективним може виявитись процедура зменшення кроку інтегрування. Так, із зменшенням кроку інтегрування вдвоє, точність інтегрування збільшується в 25. Проте в результаті заокруглень на кожному кроці може проходити поступове накопичення похибок із збільшенням числа кроків. Практичні розрахунки на комп’ютері показують, що при подвійній точності обчислень (16

значущих цифр) цей фактор суттєво не впливає на точність визначення координат і азимута напряму.

Розв'язування оберненої геодезичної задачі із застосуванням методу Рунге-Кутта 4-го порядку

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі практично в будь-яких відомих способах за основу приймається алгоритм розв'язування прямої геодезичної задачі.

У випадку розв’язування оберненої геодезичної задачі виникає краєва задача з граничними умовами:

s 0 B1 ;

s 0 L1;

s S B2 ;

s S L2 .

Розв'язування краєвої задачі для системи диференційних рівнянь (4.103) можна виконати за методом проб. Суть цього методу, в нашому випадку, полягає в тому, що багато раз приходиться розв’язувати пряму геодезичну задачу за наближеними значеннями відстані s' та азимута A1' , котрі кожен раз деяким чином уточнюються.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Для визначення початкових значень s' та A1' необхідно розв'язати обернену геодезичну задачу

наближеним способом. Краще всього це можна зробити, застосувавши алгоритм розв'язування оберненої геодезичної задачі на сфері (див. п. 4.4.2.а).

Уточнення значень відстані s' та азимута A1' проводять на основі диференційних формул для

геодезичної лінії (див. п. 4.5), аргументами яких служать відхилення отриманих із розв'язування прямої

геодезичної задачі координат B2’,L2’ від заданих B2,L2, тобто B B2					' B2 ; L L2	' L2 :
s (M 2 cos A2 ' B N2 cos B2 sin A2 ' L),						(4.106)
A	M 2	sin A ' B	N2	cos B cos A ' L.

1	m	2	m	2	2

де m - приведена довжина геодезичної лінії.
Після уточнення відстані s' та азимута A1'
s'i 1 s'i S;				A1i 1 A1 'i A,

знову переходять до розв'язування прямої геодезичної задачі. Процес повторюють до тих пір, поки розходження координат B і L не будуть меншими за задані наперед величини.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете Вища геодезія

#
28.06.2022829.03 Кб4journal-lab-p1.pdf
#
28.06.2022459.29 Кб2mtg_theme 1.pdf
#
28.06.2022325.88 Кб1mtg_theme 2.pdf
#
28.06.2022251.9 Кб3mtg_theme 3.pdf
#
28.06.2022539.81 Кб6mtg_theme 4.pdf
#
28.06.2022420.31 Кб1mtg_theme 5.pdf
#
28.06.2022372.82 Кб2mtg_theme 6.pdf
#
28.06.2022240.33 Кб1mtg_theme 7.pdf
#
28.06.2022164.8 Кб1mtg_theme 8.pdf
#
28.06.2022206.31 Кб3mtg_theme 9.pdf