|
|
|
|
a |
с' sin A |
, |
b |
c' sin B |
. |
(13) |
|||||||
|
|
|
|
sin С |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin C |
|
|
|
|||||
8. |
Визначити адитаменти шуканих сторін трикутника |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
a 3 |
|
|
A |
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6R 2 |
|
|
6R 2 . |
|
(14) |
|||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|||||||
9. |
Обчислити остаточні значення сторін трикутника |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a a' Aa |
|
b b' Ab . |
|
(15) |
|||||||||
Приклад розв’язування |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Назва |
|
Вирівняні |
|
Наближені |
|
AS, м |
Довжини |
|
|||||||
|
|
сферичні кути |
|
|
|
||||||||||||
|
|
вершини |
|
сторони, м |
|
сторін. м |
|
||||||||||
|
|
0 |
‘ |
|
|
“ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C |
49 |
59 |
|
50,40 |
|
|
13907,759 |
|
0,011 |
13907,770 |
|
||||
|
|
B |
51 |
33 |
|
01,71 |
|
|
14218,980 |
|
0,012 |
14218,992 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
78 |
27 |
|
08,38 |
|
|
17788,490 |
|
0,023 |
17788,513 |
|
||||
|
|
|
180 |
00 |
|
00,49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
0,49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. Розв’язування великого сфероїдного трикутника за відомими кутами і стороною
1.Обчислення поправок в кути за сфероїдність трикутника Зв’язок між кутами сфероїдного і сферичного трикутника має вигляд
A Aсф |
A |
|
|
B Bсф |
B . |
(16) |
|
C Cсф C |
|
|
|
|
|
||
де Aсф, Bсф, Cсф – сферичні кути трикутника; δА, δВ, δС – поправки за сфероїдність. Згідно (3)
A |
|
|
' |
|
|
|
K A |
K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
||||||||
12 |
|
|
|
|
|
||||||||
B |
|
' |
|
|
|
KB |
K |
, |
(17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
K |
|
|||||||||
12 |
|
|
|
|
|
||||||||
C |
' |
|
|
KC |
K |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||
де КА, КВ, КС, К, – гаусові кривини еліпсоїда у вершинах даного трикутника та на середній широті його розміщення, відповідно. Загальний
вираз для |
К має вигляд |
K |
1 |
де |
R |
|
- середній радіус кривини |
|||||||||
M N |
||||||||||||||||
R2 |
||||||||||||||||
|
|
|
a 1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
еліпсоїда, |
M |
|
|
|
- |
радіус |
кривини меридіана, N |
|
a |
- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 e2 sin 2 |
B 3 |
|
1 e2 sin 2 B |
||||||||||||
радіус кривини першого вертикала, a i e- параметри земного еліпсоїда (велика піввісь і перший ексцентриситет) на поверхні якого розглядається трикутник
ABC.
Вираз для сферичного надлишку ε΄, що входить в (17), з точністю до малих величин другого порядку, має вигляд
|
|
|
' f |
b2 sin A sin C |
, |
(18) |
|
|
|
|
|||||
|
" |
|
|
sin B |
|
||
де f |
|
. Тут величину f, для широтного поясу від 450 |
до 600 куди |
||||
2Rm |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
входить територія України, з достатньою точністю, можна прийняти рівною
2.53·10-9 ”/м2.
2.Перехід від сфероїдних кутів до сферичних Визначивши поправки за сфероїдність, згідно (17), переходять до
сферичних кутів трикутника
Aсф |
A A |
|
|
Bсф |
B B . |
(19) |
|
Cсф |
C C |
|
|
|
|
||
3. Обчислення наближених значень сторін трикутника Наближене значення сторін отримують з розв΄язку плоского трикутника
А1В1С1 (рис.) за теоремою сінусів (2):
|
a |
b sin A1 |
, |
c |
b sin C1 |
, |
(20) |
|
|
|
sin B1 |
|
sin B1 |
|
|
||
де А1,В1,С1- плоскі приведені кути визначені за формулами |
|
|||||||
|
|
A1 |
Aсф ( ) / 3 |
|
|
|||
|
|
B B |
( ) / 3 |
, |
(21) |
|||
|
1 |
|
сф |
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
Cсф |
( ) / 3 |
|
|
||
в яких |
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
( ) (Acф Bсф Cсф ) 1800 |
||||||||
- сума сферичного надлишку ε і нев’язки трикутника ω. |
|
|||||||
4. Обчислення точного значення сферичного надлишку і поправок в кути Точне значення сферичного надлишку обчислюють за відомою із
сферичної тригонометрії формулою
tg 2 4 tg p 2 tg p a 2 tg p b 2 tg p c |
2 , |
(23) |
де p a b c 2 -півпериметр трикутника, a, b, c - |
сторони трикутника, |
|
виражені в градусній мірі. Перевід сторони s з лінійної міри в градусну
здійснюють за формулою so |
s |
o , де ρо- кількість градусів в одному радіані. |
|||||||||||||
Rm |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поправки в кути за розширену теорему Лежандра, згідно (3), мають |
|||||||||||||||
вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
m2 a2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
60 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm |
|
|
|
||||
|
B |
|
|
|
|
m2 b2 |
|
, |
(24) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
60 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm |
|
|
|
||||
|
C |
|
|
|
|
m2 c2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
60 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm |
|
|
|
||||
де: |
m2 |
a2 b2 c2 |
. |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
5. Обчислення точного значення сторін трикутника Уточнені значення плоских приведених кутів, згідно розширеної теореми
Лежандра, обчислюють за виразами:
A1 |
Aсф / 3 / 3 A |
|
|
|
||
B B |
/ 3 / 3 |
B |
|
, |
(25) |
|
1 |
сф |
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
Cсф / 3 / 3 C |
|
|
||||
в яких нев΄язка трикутника (Acф Bсф Cсф ) (1800 ) .
Після цього знаходять за теоремою сінусів точні значення сторін трикутника А1В1С1 .
6. Контрольні обчислення Для контролю обчислюють сферичні кути трикутника за формулами:
tg 2 Aсф |
2 |
sin p b sin p c |
|
|
|
|||
sin p sin p a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
tg 2 Bсф |
2 |
sin p c sin p a |
|
|
(26) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin p sin p b |
|
|||
tg 2 Cсф |
2 |
sin p b sin p a |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin p sin p c |
|
|||
Приклад розв’язування великого сфероїдного трикутника за відомими кутами і стороною
Вихідні дані
|
|
A |
|
34026’35.266” |
|
BA |
|
|
49050’11” |
|
|||||
|
|
B |
|
88011’42231” |
|
BB |
|
|
50033’01” |
|
|||||
|
|
C |
|
57033’13.754” |
|
BC |
|
|
54021’10” |
|
|||||
|
|
b |
|
752 860.142м |
|
Bm |
|
|
51000’25” |
|
|||||
|
|
1.Обчислення поправок в кути за сфероїдність трикутника |
|||||||||||||
a |
|
|
6378245м |
Na |
6390748м |
|
|
Ka |
|
2.45534·10-14 |
|||||
a(1-e2) |
|
|
6335553 |
Nb |
6391011 |
|
|
Kb |
|
2.45494·10-14 |
|||||
e2 |
|
6.69342·10-3 |
Nc |
6392388 |
|
|
Kc |
|
2.45283·10-14 |
||||||
Ma |
|
|
6372884м |
Nm |
6391179 |
|
|
Km |
|
2.45534·10-14 |
|||||
Mb |
|
|
6373671 |
f |
2.53·10-3”/м2 |
|
δA |
|
0.015” |
||||||
Mc |
|
|
6377791 |
ε |
685.210” |
|
|
δB |
|
0.006 |
|||||
Mm |
|
|
6374173 |
ε/12 |
57.065 |
|
|
δC |
|
-0.043 |
|||||
|
|
2.Перехід від сфероїдних кутів до сферичних |
|
||||||||||
|
|
Назва |
Виміряні |
|
δi |
|
|
Виміряні |
|
|
|||
|
|
вершин |
сфероїдні кути |
|
|
Сферичні кути |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A |
34026’35.266” |
|
0.015” |
|
34026’35.251” |
|
|
||||
|
|
B |
88011’42.231” |
|
0.006 |
|
88011’42.225” |
|
|
||||
|
|
C |
57033’13.754” |
|
-0.043 |
|
57033’13.797” |
|
|
||||
|
|
3. Обчислення наближених значень сторін трикутника |
|||||||||||
Назва |
Виміряні |
|
|
|
|
Плоскі |
|
|
Синуси |
Наближені |
|||
верш. |
|
(ε+ω)/3 |
|
приведені |
|
|
кутів |
сторони (м) |
|||||
Сферичні кути |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
кути |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
34026’35.251” |
|
3’50.424” |
34022’44.827” |
|
0.56466625 |
425340.979 |
||||||
B |
88011’42.225” |
|
3’50.425” |
88007’51.800” |
|
0.99946804 |
752860.142 |
||||||
C |
57033’13.797” |
|
3’50.424” |
57029’23.373” |
|
0.84329602 |
635221.876 |
||||||
Σ |
180011’31.273” |
|
11’31.273” |
180000’00.000” |
|
|
|
|
|||||
ε+ω |
11’31.273” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Обчислення точного значення сферичного надлишку
іпоправок в кути
|
Rm |
|
|
|
6382670 |
|
|
|
tg((po-ao)/2) |
|
|
3.7727065·10-2 |
|
|
ε”/60 |
|
11.4073 |
|
|
|||||||||||||
|
ao |
|
|
|
3.8181894 |
|
|
|
tg((po-bo)/2) |
|
|
1.2052858·10-2 |
|
|
m2 |
|
3.8374·1011 |
|
|
|||||||||||||
|
bo |
|
|
|
6.7582544 |
|
|
|
tg((po-co)/2) |
|
|
2.1270923·10-2 |
|
|
Rm2 |
|
4.0738·1013 |
|
|
|||||||||||||
|
co |
|
|
|
5.7022426 |
|
|
|
|
tg(ε/4) |
|
|
6.8817257·10-7 |
|
|
A |
|
0.057” |
|
|||||||||||||
|
po |
|
|
|
8.1393430 |
|
|
|
|
|
|
εo |
|
|
|
|
0.19012151 |
|
|
|
|
B |
|
-0.051” |
|
|||||||
tg(po) |
7.1148864·10-3 |
|
|
|
ε” |
|
|
|
|
|
684.437” |
|
|
|
C |
|
-0.006” |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5. Обчислення точного значення сторін трикутника |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Назва |
Сферичні кути |
|
-ω/3 |
|
|
|
|
Сферичні |
|
|
|
-ε/3 |
|
|
|
і |
|
|
||||||||||||
|
верш. |
|
|
|
|
урівняні кути |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
|
34026’35.251” |
|
-2.278” |
|
|
34026’32.973” |
|
|
-3’48.145” |
|
|
0.057” |
|
|
|||||||||||||||
|
|
B |
|
88011’42.225” |
|
-2.279” |
|
|
88011’39.946” |
|
|
-3’48.146” |
|
-0.051” |
|
|||||||||||||||||
|
|
C |
|
57033’13.797” |
|
-2.279” |
|
|
57033’11.518” |
|
|
-3’48.146” |
|
-0.006” |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Σ |
180011’31.273” |
|
-6.836” |
|
180011’24.437” |
|
-11’24.437” |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ε |
|
11’24.437” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ω |
|
|
+6.836” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Назва |
|
|
|
|
|
Уточнені |
|
|
|
Синуси |
Точні знач. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
верш. |
|
|
плоскі приведені |
|
кутів |
|
сторін (м) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кути |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
34022’44.771” |
|
0.564666030 |
425340.808 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
88007’51.851” |
|
0.999468048 |
752860.142 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
57029’23.378” |
|
0.843296036 |
635221.881 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
180000’00.000” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Контрольні обчислення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ao |
|
3.818187867 |
|
sin(po-ao) |
|
|
0.075346901 |
|
tg2(Aсф/2) |
0.096074028 |
|||||||||||||||||||||
|
bo |
|
6.758254571 |
|
sin(po-bo) |
|
|
0.024102198 |
|
tg2(Bсф/2) |
0.938908976 |
|||||||||||||||||||||
|
co |
|
5.702242609 |
|
sin(po-co) |
|
|
0.042522593 |
|
tg2(Cсф/2) |
0.301645813 |
|||||||||||||||||||||
|
po |
|
8.139342524 |
|
|
sin(po) |
|
|
0.141581005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Елементи |
|
|
|
|
Значення |
|
|
|
Назва |
|
Сферичні урівняні |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
формул |
|
|
|
|
|
|
|
вершини |
|
|
|
|
кути |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Aoсф/2 |
|
|
|
17.22124630 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
34026’32.973” |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Boсф/2 |
|
|
|
44.09721465 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
88011’39.946” |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Coсф/2 |
|
|
|
28.77659937 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
57033’11.515” |
|
|
|
|
|
|||||||