Конспек лекцій ВНС

Карти півкуль прийнято будувати в азимутальних проекціях. Нині широке

використання знайшли довільні азимутальні проекції, проміжні за величиною

спотворень.

Проекції для карт півкуль:

а– поперечна азимутальна ортографічна проекція для східної півкулі,

б– нормальна рівнопроміжна проекція Постеля для північної півкулі

Для карт окремих материків (Європи, Азії, Північної і Південної Америки,

Австралії з Океанією) застосовують переважно рівновеликі косі азимутальні проекції з точкою нульових спотворень у центрі зображеного материка. Для Африки коса проекція замінюється екваторіальною.

Карти України складають головним чином у нормальних конічних проекціях.

Карти окремих країн, адміністративних областей, провінцій, штатів виконують в косих рівнокутних і рівновеликих конічних або азимутальних проекціях, але багато залежить від конфігурації території і її розташування на земній кулі.

Топографічні карти створюють в поперечно-циліндричній проекції Гаусса-

Крюгера, а в США і багатьох інших західних країнах – в універсальній поперечно-циліндричній проекції Меркатора. Обидві проекції близькі за своїми властивостями.

Морські і аеронавігаційні карти завжди створюються в циліндричній проекції Меркатора, а тематичні карти морів і океанів в самих різних, іноді досить складних проекціях.

Математичний момент – величина спотворень – грає велику роль у виборі проекції. Але ця ознака не завжди буває вирішальною. Яскравий приклад – використання для морських навігаційних карт нормальної рівнокутної циліндричної проекції Меркатора, якій властиві досить великі спотворення довжин і площ. При збережені головного масштабу на екваторі площі перебільшені на паралелі 60º у 4 рази, а на паралелі 80º - більш ніж у 30 раз.

Але у цій проекції лінія, яка перетинає меридіани на кулі під одним і тим же кутом (локсодромія), зображається прямою, що цінно для навігації. Судно, що держить постійний курс(азимут), рухається по локсодромії.

Математичний фактор особливо важливий для карт великого і середнього масштабів, вимірювання за ними повинні відрізнятись простотою і давати результати великої точності. Це можливо при практично невідчутних спотвореннях. Однак при зображені великих територій будь – яка проекція дає відчутні спотворення. Вихід із протиріччя було знайдено у першій половині ХІХ ст., коли стали застосовувати так звані «багатогранні проекції» ,у яких поверхню земного еліпсоїда можна замінити багатогранником , вписаним чи описаним у еліпсоїд. Для вітчизняних топографічних карт із 30 – х років цього століття використовують поперечну циліндричну проекцію Гаусса, у яких

«багатогранність» «багатосмужністю».

Необхідно знати, що є зведення з детальними довідковими даними про проекції та інші елементи математичної основи вітчизняних карт. У ньому для кожної проекції вказані характер спотворень, її параметри, малюнки проекцій з околами спотворень площ p і кутів .Для полегшення вибору картографічних проекцій опубліковані спеціальні атласи

Розпізнати проекцію, в якій складена карта, означає встановити її назву, визначити приналежність до того або іншого виду, класу. Це потрібно для того, щоб мати уявлення про властивості проекції, характер,

розподіл і величину спотворень, тобто для того щоб знати як

користуватися картою і що від неї можна очікувати.

Деякі нормальні проекції відразу розпізнаються по виду меридіанів і паралелей. Наприклад, легко впізнати нормальні циліндричні,

псевдоциліндричні, конічні, азимутальні проекції. Але навіть досвідчений картограф не відразу розпізнає багато похідних проекцій, потрібно виконати спеціальні виміри по карті. Для цього існують спеціальні прийоми: спершу встановлюють форму рамки (прямокутник, коло, еліпс),

визначають, як зображені полюси, потім вимірюють відстань між сусідніми паралелями вздовж меридіана, площі сусідніх клітинок сітки, кути перетину меридіанів і паралелей і т.п.

Існують спеціальні таблиці-визначники проекцій для карт світу, півкуль,

материків і океанів. Виконавши необхідні виміри по сітці, можна знайти в такій таблиці назву проекції. Це дасть уявлення про її властивості, дозволить оцінити можливості кількісних визначень за даною картою, вибрати відповідну карту з ізоколами для внесення поправок.

СИСТЕМИ КООРДИНАТ, ЯКІ ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ В ГЕОДЕЗІЇ, КАРТОГРАФІЇ ТА ГІС

Система координат є набором координат в n-вимірному просторі, що дозволяє нам задати місцеположення об'єкта. Трансформація фігури планети Земля з її неправильною формою та перехід до математично визначеної широти і довготи в проекційній системі координат може бути представлена, як це показано на рисунку 1.

Рисунок 1. Перехід від реальної форми Землі до геодезичних та проекційних систем координат через форму геоїда, еліпсоїда, горизонтальних і вертикальних датумів і проекцію.

У сферах геодезії, картографії і різноманітних знімань, основні системи координат, які використовуються для визначення положення точок, існують в двоабо тривимірному просторі. Вони можуть бути у Декартовій метричній системі координат (прямокутній системі координат, в якій кожна вісь ортогональна (з поворотом на 90 градусів) до інших), або полярній системі координат (радіальній системі координат), в якій використовуються кути і радіальні відстані.

Двовимірні прямокутні координати (X,Y)

Розглянемо системи координат, які найширше вживаються для опису локалізації об’єктів на поверхні Землі:

1. Географічна система координат (φ, λ)

В географічній системі координат, поверхня Землі апроксимується до форми сфери, і розташування об’єктів на її поверхні визначається значеннями широти

(φ) і довготи (λ) (рисунок 2).

Рисунок 2. Елементи географічної системи координат Широта точки на поверхні сфери є кутом між екваторіальною площиною і

прямовисною лінією, що проходить через задану точку і геометричний центр сфери. Широта вимірюється в градусній мірі на північ (північна широта) або південь (південна широта) від екватора. Лінії, що з'єднують точки з однаковою широтою на поверхні Землі називаються паралелями, які паралельні екватору і одна до одної.

Довготою точки на поверхні сфери є кут, що вимірюється на схід чи на захід від площини початкового меридіану до площини меридіану, який проходить через задану точку. Площини меридіанів є колами великого діаметру, які проходять через північний і південний полюси і задані точки на поверхні Землі. Нульовий (початковий) меридіан за міжнародною угодою

проходить через Королівську обсерваторію в Грінвічі, Великобританія. Він є всесвітньо прийнятим.

Географічна система координат може бути представлена у вигляді множини уявних ліній (координатна сітка - меридіани і паралелі), які перетинаються одна з одною і покривають земну поверхню. Визначення місцеположення точки в цій системі – координат здійснюється відносно нульового меридіана (зокрема Грінвічського меридіана) і екватора (рисунок

3).

Рисунок 3. Меридіани та паралелі в географічній системі координат

Концепція широти і довготи (φ, λ) та вертикальна відстань (висота) над поверхнею геоїда (H) є основою для будь-якого визначення географічних координат на поверхні Землі. Висота (Н) визначається відносно поверхні геоїда (поверхні постійного гравітаційного потенціалу).

Термін “географічні координати” об’єднує поняття геодезичних і астрономічних координат, координат на еліпсоїді і координат на сфері.

Астрономічні координати визначають із спостережень небесних світил, а їх значення обчислюються відносно вискової лінії в точці визначення координат, а саме:. астрономічна довгота (λ) – це двогранний кут між площиною початкового меридіана і площиною меридіана, що проходить через вискову лінію; астрономічна широта (φ) – кут, утворений висковою лінією з площиною екватора. Астрономічну довготу визначають порівнянням місцевого часу із всесвітнім часом. Довгота подається в градусному або часовому вимірі (1 година часу довготи відповідає 15 градусам довготи).

2. Геодезична система координат (B, L)

В геодезичній системі координат, поверхня Землі апроксимується еліпсоїдом, і розташування об’єкта на поверхні еліпсоїда визначається значеннями геодезичної широти (B) і довготи (L). Геодезична широта точки на поверхні еліпсоїда є кутом між екваторіальною площиною і нормаллю до еліпсоїда в заданій точці. Довгота точки на поверхні еліпсоїда є кутом, що вимірюється на схід чи захід від площини початкового (нульового) меридіану до площини меридіану, який проходить через задану точку.

Геодезична широта (B) відрізняється від геоцентричної широти (В').

Геодезична широта визначається кутом між нормаллю до еліпсоїда в заданій точці і площиною екватора, в той час як геоцентрична широта визначається навколо центру (рисунок 4).

Рисунок 4: Зображення, яке ілюструє те, що положення точки Р на сфероїді визначається різною величиною кута (широти) залежно від того, кут вимірюється від нормалі (відрізок IP) до еліпсоїда (кут В') або від центра (відрізок АР - кут B). Звертає на себе увагу те, що "сплющеність" сфероїда (помаранчевий колір) в зображенні більше, ніж у Землі (чорний колір) через що, різниця між "геодезичними" і "геоцентричними" широтами також перебільшена.

3. Глобальна геоцентрична прямокутна система координат (X, Y, Z)

Геоцентрична прямокутна система координат (X, Y, Z) є глобальної системою координат для всієї Землі. Початком відліку в цій системі координат є центр маси Землі.

Z-вісь орієнтована вздовж осі еліпсоїда, та має додатні значення на північ від центру еліпсоїда, , X- і Y-осі орієнтовані в площині екватора, значення по осі Х додатні в напрямку 0 градусів довготи, і значення по осі Y додатні в напрямку 90 градусів східної довготи.

4. Проекційні координати (x, y) та (r, θ)

3-вимірна поверхня (сфери або еліпсоїду) може проектуватися на 2- вимірній плоскій поверхні (на карті). Двовимірні прямокутні або радіальні координатні системи можуть бути використані для визначення положення точки в координатах х і у або радіусом r і кутом θ в проекційних (полярних) координатах на картах (рисунок 6).

Всі перераховані вище геодезичні системи координат використовуються для визначення або відображення просторових даних.

ЕЛІПСОЇДИ ТА ГЕОЇДИ

Форма Землі може бути визначена за допомогою сфери, сфероїда (або еліпсоїда) та представлена за допомогою більш точної форми геоїда (рисунок

7).

Рисунок 7: Модель трансформації уявлення про фігуру Землі

Сфера як апроксимована поверхня може бути використана тільки у моделі Землі для дрібномасштабних карт і не застосовується для відображення кадастрової інформації через неможливість точно відображати форму Землі.

Еліпсоїди

У геодезії, обчислення геодезичних координат точок проводяться на земному сфероїді, який максимально наближений до розміру і форми Землі в межах території проведення знімання. Земний сфероїд є одним з класу тривимірних об'єктів, що мають узагальнену назву еліпсоїди. Еліпсоїд можна розглядати в загальних рисах, як певною мірою сплюснуту на полюсах сферу. З виробничої точки зору, геодезисти часто вважають, що сфероїди є особливим випадком еліпсоїдів і використовують обидва типи математичних фігур користуючись терміном «еліпсоїд».

Еліпсоїд / Сфероїд математично визначаються неперервною поверхнею з конкретними розмірами. Сплюснуті сфероїди мають X і Y-осі однакової довжини, і Z-вісь різної довжини. Наявність такої поверхні дозволяє нам зробити математичне перетворення з геодезичної системи координат в проекційну систему координат. Еліпсоїд є математично визначеною поверхнею, де значення координат будь-якої точки може бути одержано через значення широти і довготи у формулі, що використовується для опису поверхні еліпсоїда.

Референц-еліпсоїд є окремим випадком геодезичної системи координат, яка визначає форму поверхні Землі. Основні параметри еліпсоїда (рисунок 8):

Рисунок 8. Параметри еліпсоїда

a – велика вісь

b – мала вісь f – стиснення еліпса

e – 1-й ексцентриситет еліпса

Оскільки Земля не має ідеальної геометричної форми, то різні еліпсоїди описують її поверхню відносно точно в різних місцях. Отже, існує велика кількість еліпсоїдів, що використовуються, які відрізняються a та f:

Еверест 1830 Бессель 1841 Кларк 1866 Міжнародний 1924 Красовський1940

GRS 1980

WGS 1984

IERS 1989

ITRF 2008

Геоїд

Ще однією важливою поверхнею, що застосовується в геодезичних вимірюваннях є геоїд (Рисунок 10). Геоїд ще більш наближений до форми Землі, ніж еліпсоїд. Геоїд збігається з тією поверхнею, яку океани можуть утворити на Землі, якщо не будуть відчувати комбінованого ефекту дії її сили

тяжіння та відцентрової сили обертання. Ця поверхня має постійний гравітаційний потенціал, до якого напрямок сили тяжіння є завжди перпендикулярним.

Геоїд є еквіпотенційною поверхнею, що буде збігатися з середнім рівнем моря, якщо океани і атмосфера були б у рівновазі, в стані спокою відносно обертання Землі, і простягнулися би через континенти (наприклад, з дуже вузькими каналами). Середній рівень моря (так само, як геоїд) є середній рівень поверхні океану між найвищим і найнижчим з відмічених рівнів.

Вимірювання фактичного геоїда виконані на поверхні Землі або із космосу (супутникова геодезія), використовуючи певні засоби визначення параметрів геоїда.

Слід зазначити, що досі Геоїд залишається достатньо генералізованою моделлю. Він не відображає локальні форми рельєфу, такі як пагорби і долини, але показує тільки об’єкти середнього масштабу, такі як гірські хребти або басейни, протяжністю кілька сотень кілометрів (рисунок 12).

Рисунок 12: Поверхня Землі, Еліпсоїд та Геоїд

ДАТУМИ (ГЕОДЕЗИЧНІ ДАТИ)

Еліпсоїд, як зазначалося раніше, може бути використаний як математична модель форми Землі. Фіксація цієї моделі еліпсоїду відносно Землі (або, точніше геоїда) створює датум, який визначає початкову точку, прив'язану до поверхні або центру Землі (горизонтальний датум) та визначає базову поверхню, від якої відраховуються висоти (вертикальний датум). Поєднання горизонтальних і вертикальних датумів може бути використане для визначення тривимірної системи координат; сам по собі горизонтальний датум потрібен для створення двовимірної системи координат. Загалом, датуми забезпечують прив’язку еліпсоїду для визначення місця розташування об’єктів на поверхні Землі.

Горизонтальні і вертикальні датуми є елементами загальних референцних систем, які використовуються для однозначного визначення положення об’єктів

вбудь-якому місці на Землі:

-Горизонтальний датум є конкретним випадком застосування еліпсоїду - його розміру, положення і орієнтації. Він визначає початкову точку і напрямок проведення ліній широти і довготи.