Melnikova_I.N._i_dr._Materialy_dlya_studentov_fakulteta_A_i_VT_po_discipline_Matematika

4 СЕМЕСТР

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Часть 11.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

11.1. Введение в теорию вероятностей.

Предмет теории вероятностей. Вероятностное пространство. Случайные события. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Непосредственный подсчет вероятностей. Элементы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

Алгебра случайных событий. Несовместность случайных событий. Теорема сложения вероятностей. Вероятность противоположного события. Условная вероятность. Независимость случайных событий. Теорема умножения вероятностей. Задача Бернулли. Полная группа попарно несовместных случайных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

11.2. Дискретные случайные величины.

Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Распределение Пуассона. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) и их свойства.

21

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева (закон больших

что волки загрызли 5 коров. Какова вероятность того, что Иванов потерял пятую часть своего стада?

4. За промежуток времени t амеба может погибнуть, выжить или разделиться на две с вероятностями 14 , 14 и 12 соответственно. В следующий промежуток t с каждой амебой, независимо от ее происхождения, происходит то же самое. В конце 2-го промежутка времени t проводимого эксперимента были обнаружены две амебы. Какова вероятность того, что к концу первого промежутка t амеба разделилась на две?

5. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Вариант 2

1.Абонент забыл две последние цифры телефона, но помнит, что они различные нечетные. Найти вероятность того, что ему потребуется не более трех попыток, чтобы набрать правильный номер, если забытые цифры он набирает наугад.

2.Четыре человека зашли в лифт на первом этаже 9- тиэтажного дома и с равной вероятностью могут выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что ровно три человека выйдут на одном этаже.

3.В 1-й урне 5 белых и 1 черный шар, во 2-й – 3 белых и 2 черных. Из 1-й урны во 2-ю переложили 2 шара, затем из 2-й урны наудачу извлекли 2 шара, которые оказались разного цвета. Найти вероятность того, что из 1-й урны во вторую были переложены 2 белых шара.

4.Студент выучил 25 вопросов из 30. Найти вероятность успешной сдачи зачета, если для этого необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех предложенных.

23

1

2

5

24

2.Восемь спортсменов, среди которых 3 девушки, случайным образом делятся на две команды. Найти вероятность того, что все девушки попали в одну команду.

3.Куб, грани которого красного цвета, разрезали на 1000 одинаковых кубиков. Наудачу взяли один кубик. Найти вероятность того, что у этого кубика только одна грань красного цвета; 3 грани красного цвета.

4.В партии из 12 изделий с равными вероятностями может оказать от 0 до 2 изделий со скрытым дефектом. Проверили пять изделий, взятых наугад. Среди проверенных не оказалось изделий с дефектами. Какова вероятность того, что в оставшейся части партии нет изделий со скрытым дефектом?

5.Две радиостанции в течение часа независимо друг от друга должны передать сообщения, длительность которых 10 мин и 20 мин соответственно. Какова вероятность того, что сообщения не перекроются?

Примерные варианты контрольной работы

«Числовые характеристики случайных величин»

Вариант 1

1. При изготовлении валов коробки передач автомобиля с номинальным диаметром 50 мм и симметричным полем допуска

±0,1мм, станок настроен на получение диаметра 50 ± 0, 05 мм. Считая, что отклонение от диаметра, на получение которого настроен станок, распределено нормально со средним квадратическим отклонением 0,04 мм, найти процент годных валов.

2. Дискретная случайная величина Х распределена по закону:

Найти: константу а , математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х , Р(3 £< Х 26) .

3. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

Найти: константу а , математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х и

P(-<1 £ X 23) .

4. Вероятность того, что после 5000 часов работы лампа перегорит, равна 0,6. Случайная величина Х ― число перегоревших ламп из 20 после 5000 часов работы. Найти: 1) математическое ожидание случайной величины Х ; 2) вероятность того, что после 5000 часов работы будут гореть не менее 12 ламп.

Вариант 2

1.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Считая, что масса коробки распределена нормально, найти среднее крадратическое отклонение, если известно, что 5% коробок имеют массу меньше 1 кг.

2.Игральная кость бросается 5 раз. Случайная величина Х − число орлов минус число решек. Составить закон распределения случайной величины Х . Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и РХ >- 1( Х >1).

3.Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

Найти: константу с , математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х , P (p4 £< X p ).

4. Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002. Найти среднее число бракованных отливок среди 500. Вычислить вероятность того, что бракованных отливок будет больше трех.

Вариант 3

1. Длина детали – случайная величина, нормально распределенная с параметрами М ( Х ) = 25 мм, s ( X ) = 0,3 мм. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания,

вкоторый с вероятностью 0,9544 попадет длина детали.

2.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Выстрелы производятся до первого попадания, но не более пяти раз. Случайная величина Х − число сделанных выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х . Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и РХ >1( Х £ 4) .

3.Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти: константу a , математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х , P (-<p4 £ X 2p ).

4. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны 10 раз извлекают по одному шару с возвратом. Случайная величина Х – число появлений белого шара. Найти математическое ожидание случайной величины Х , вероятность того, что белый шар появится не более трех раз.

27

Вариант 4

1.Химический завод производит серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см³. В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82;1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0,01 г/см³.

2.В урне 4 шара с номерами 1, 1, 2, 4. Наудачу извлекают 2 шара. Случайная величина Х − модуль разности номеров. Составить закон распределения случайной величины Х . Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и РХ >0 ( Х < 3) .

3.Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

Найти: константу С , математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х , P (0 £< X 4).

4. Вероятность появления опечатки на одной странице равна 0,001. В книге 500 страниц. Найти среднее число опечаток и вероятность того, что в книге более четырех опечаток.

28

Часть 12

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

12.1. Введение в математическую статистику.

Предмет математической статистики. Первичная обработка эмпирических данных. Точечные оценки параметров распределения: выборочная средняя, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение. Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок.

Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. Доверительный интервал для дисперсии.

12.2. Проверка статистических гипотез.

Проверка гипотезы о величине параметра известного распределения. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием и сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормального распределения.

Проверка гипотезы о виде распределения. Критерий c2 (Пирсона). Проверка независимости случайных данных. Критерий Колмогорова.

12.3. Системы случайных величин.

Закон распределения и числовые характеристики системы случайных величин. Независимость случайных величин, коэффициент корреляции. Линейная средняя квадратическая регрессия.

Выборочный коэффициент корреляции двух случайных величин. Выборочная линейная средняя квадратическая регрессия.

29

Примерный вариант домашнего задания

Дана выборка значений случайной величины Х

60,7 61,2 60,8 61,3 61,1 61,0 61,5 61,3 61,9 61,4

61,6 61,0 61,7 61,1 60,9 61,5 61,6 61,4 61,5 61,2

61,6 61,3 61,8 61,1 61,7 60,9 62,2 61,1 62,1 61,0 61,5 61,7 62,3 62,2 61,7 62,3 62,5 62,8 62,6 61,5 62,1 62,6 61,6 62,5 62,4 62,3 62,1 62,3 62,2 62,1

1.Построить график эмпирической функции распределения и гистограмму относительных частот случайной величины Х .

2.Вычислить точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины Х .

3.Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, в предположении, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

4.Сравнить точечные оценки математического ожидания и дисперсии с их гипотетическими значениями, в предположении, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

5.Проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону.

6.Проверить гипотезу о том, что рассматриваемая выборка действительно является набором независимых значений случайной величины Х .

Примерные варианты контрольной работы

«Защита домашнего задания по математической статистике»

Вариант 1

1. Что называется эмпирической функцией распределения? Каковы ее свойства?

30