Рис.1.4. Изокванты линейной производственной функции

одновременным функционированием огромного множества разнообразных технологических процессов.

Перейдём к рассмотрению основных свойств и характеристик степенной производственной функции (1.21). Эта функция 1 предложена П. Дугласом и Ч. Коббом в 1928 г. Степенная производственная функция применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. Степенная производственная функция относится к классу мультипликативных производственных функций.

Логарифмируя производственную функцию (1.21), получаем линейное соотношение

Преимущество этой формы записи состоит в том, что для оценки неизвестных параметров A, , по эмпирическим данным можно применять классические методы линейной множественной регрессии и использовать широко распространенные программные продукты для реализации методов наименьших квадратов.

При использовании классической степенной производственной функции предполагается выполнение следующих условий:

1)допускается возможность замещения одним фактором производства другого;

2)неизменность эффективности единиц труда и капитала;

3)неизменность эффективности использования факторов производства (условие отсутствия научно-технического прогресса).

Для степенной производственной функции (1.21) все свойства 1 – 4 выполняются.

Определим основные характеристики степенной производственной функции по формулам (1.5) – (1.11), (1.18) и (1.19):

1 Cobb, Charles W. and Paul H. Douglas (1928) A theory of production. American Economic Review 18: p. 139 – 165.

30

степенной производственной функции монотонно уменьшается при фиксированном значении дополнительного фактора производства. Кроме того, выполнение неравенств (1.37) и (1.38) указывает на то, что и для степенной производственной функции предельный продукт фактора меньше среднего продукта при фиксированных величинах затрат факторов.

Для степенных производственных функций эластичности выпуска продукции по факторам K и L являются соответственно постоянные параметры и . Это следует из соотношений (1.39) и (1.40).

Из соотношений (1.39) и (1.40) следует, что постоянные параметрыи степенной производственной функции совпадают с соответствующими

коэффициентами эластичности выпуска продукции по факторам K и L:

EK = ;

EL = .

Для степенной производственной функции (1.21) линии постоянного уровня выпуска Y=Y0 образуют семейство изоквант, уравнение которых можно получить из (1.21), принимая, например, K как функцию L:

Из этого уравнения видно, что изокванты имеют асимптотами оси координат. Величина K(L), определяемая изоквантой (1.43), характеризует объём основного капитала, необходимый для получения заданного выпуска продукции Y0 в зависимости от численности занятых в производстве. Функция K(L) является монотонно убывающей функцией. Необходимо отметить, что это свойство не определяется конкретным видом производственной функции (1.21),

32

факторов. При пропорциональном росте объёмов производственных факторов предельная норма замещения не изменяется.

Из (1.41) получаем уравнения изоклиналей для степенной производственной функции

Следовательно, изоклинали степенной производственной функции представляют собой лучи, исходящие из начала координат.

Графики изоквант и изоклиналей степенной производственной функции в общем случае совпадают с видом изоквант и изоклиналей, представленных на рис. 1.1 – 1.3.

Величина эластичности замещения труда капиталом для степенной производственной функции, как следует из (1.42), всегда равна единице

= 1.

Это означает, что в случае степенной производственной функции при увеличении капиталовооруженности труда на 1%, предельная норма замещения труда капиталом также увеличится на 1%.

Для степенной производственной функции эластичность замещения факторов имеет особенно простую геометрическую интерпретацию: поскольку изоклинали этой производственной функции — прямые линии, то отношение

(K, L) производная берётся вдоль изокванты, проходящей через точку (K, L). Постоянство эластичности замещения производственных факторов

многих производственных функций позволяет охарактеризовать с её помощью возможность замещения факторов в целом (а не при каком-то конкретном соотношении факторов, как это удаётся на основе предельной нормы замещения h). Чем больше величина , тем в более широких пределах производственные ресурсы могут замещать друг друга.

33

Равенство единице эластичности замещения факторов в степенных производственных функциях вне зависимости от коэффициентов A, , является одним из важнейших свойств производственных функций этого вида. Оно показывает, что характеристика замещения одного фактора другим при выборе степенной производственной функции задана заранее вне зависимости от желания исследователя. Это является одним из недостатков степенной производственной функции.

Возможность замещения одного производственного фактора другим (равенство единице эластичности замещения производственных факторов и неограниченная компенсация недостатка одних факторов другими) часто вступает в противоречие со свойствами моделируемого объекта исследования. В связи с этим в моделировании используется обобщённая производственная функция с постоянной эластичностью замещения производственных факторов, которая получила название производственной функции с постоянной эластичностью замещения факторов (функция ПЭЗ), или производственная функция CES (от англ. Constant Elasticity of Substitution). Такая производственная функция характеризуется показателем эластичности замещения производственных факторов, не равным единице. Впервые производственная функция CES была введена К. Эрроу и Р. Соллоу в 1961 г.1

Производственная функция CES имеет следующий вид:

Вкратце отметим, что A есть параметр масштаба, обозначающий эффективность технологии; β1 – означает степень капиталоёмкости технологии и определяется в интервале 0< β1<1; > 0 – представляет степень однородности производственной функции или отдачу на масштаб производства; -1.

Производственная функция CES удовлетворяет всем четырём свойствам

(1.1) – (1.4).

Рассмотрим вопрос о замещении факторов. Предельная норма замещения согласно (1.17) имеет вид

1Экономико-математическое моделирование : учебник для студентов вузов / под общ. ред. И. Н. Дрогобыцкого. М. : Экзамен, 2004. С. 618 – 667

34

Таким образом, предельная норма замещения производственных факторов зависит от отношения факторов, причём так же, как и в случае степенных производственных функций, изоклинали являются прямыми, а при пропорциональном увеличении количеств обоих факторов предельная норма замещения не изменяется.

Можно показать, что для производственной функции CES эластичность замещения труда капиталом имеет вид

Таким образом, хотя производственная функция CES по-прежнему имеет постоянную эластичность замещения производственных факторов, эта эластичность замещения, в отличие от степенных производственных функций, не равна единице и меняется при изменении параметра от единицы (при = 0) до нуля (при → +∞).

Эластичность замещения труда капиталом LK – это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) производственной функции. Точнее, «кривизну»

измеряет величина 1 .

Y=A*+a·K+b·L.

35

Линейная производственная функция 1 имеет нулевую «кривизну» и, соответственно, бесконечную эластичность замещения LK.

Заканчивая рассмотрение производственных функций, отметим, что степенные производственной функции используются чаще производственных функций CES, поскольку параметры степенных производственный функций оценить значительно легче и работать со степенными функциями проще. А неправдоподобность поведения степенных производственный функций в области малых количеств факторов не так уж важна, поскольку в исследованиях представляют интерес значения факторов, достаточно близкие к уже использующимся в производстве в данный момент2.

1.1.4. Методы соизмерения характеристик статических производственных функций

Несовершенство традиционных методов выбора и оценивания производственных функций сдерживает их широкое применение в

характеристики одного и того же экономического процесса. Так, у линейной производственной функции, как показано ранее, предельная эффективность постоянная, эластичность выпуска переменная, а эластичность замещения производственных факторов равна бесконечности. В случае же степенной производственной функции эти характеристики соответственно являются переменной, постоянной и равной единице. Что касается средних эффективностей факторов, то они совпадают для всех видов производственных функций. Всё сказанное справедливо для производственных функций с постоянными параметрами.

В действительности все перечисленные числовые характеристики в результате влияния технического прогресса и неучтённых факторов являются переменными. Поэтому переменными будут и все оцениваемые параметры в производственных функциях. Поскольку производственные функции

1Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике : учебник. М. : МГУ им. М.В.Ломоносова; ДИС, 1997. С. 157 – 173.

2 Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М. : Наука, 1984. С. 67 –

96.

36