Рисунок 6.14 – Последовательность сокращения срока выполнения работ

Как видим, сначала сокращалась работа K на 4 дня, что привело к удорожанию работ на 30 ед., затем работа G на 5 дней с удорожанием работ уже на 80 ед. Затем работа A, J и, наконец, работа D на один день. Суммарное удорожание работ составило 157 ед.

6.4. Составление бюджета сети

Четвёртая процедура программы Project Management предполагает решение задачи составления бюджета сети проекта, если есть информация о стоимости выполнения всех работ, включённых в проект. При этом предполагается, что финансовые ресурсы, необходимые для выполнения каждой работы, расходуются равномерно в течение всего срока выполнения работы, поэтому стоимость выполнения работы в течение одного дна, например, рассчитывается делением общей стоимости выполнения работы на её продолжительность.

Составление бюджета проекта предполагает определение расходов на каждую дату в отдельности и суммарное или накопленное финансирование на дату в течение всего срока реализации проекта. Причём подобное расписание финансирования осуществляется в двух вариантах – по ранним и по поздним срокам начала работ с использованием соответствующих линейных диаграмм проекта.

Проиллюстрируем принцип составления бюджета проекта на уже рассмотренном примере, изменив для удобства стоимость выполнения некоторых работ. Приведём необходимые окна отчётов о решении такой задачи

77

(рисунок 6.15 и рисунок 6.16). Рассмотрим только ранние сроки начала работ (для поздних сроков принцип тот же самый).

Рисунок 6.15 – Окно результатов расчётов по сети

Рисунок 6.16 – Окно с бюджетом сети по ранним срокам начала работ

78

Рисунок 6.17 – График линейной диаграммы проекта по ранним срокам выполнения работ

Принцип составления таблицы на рисунке 6.16 следующий. Как следует из рисунка 6.17, 1-я работа начинается в начальный период реализации проекта и заканчивается в 6-м периоде. Стоимость её выполнения 60 ед. (см. рисунок 6.15), значит, стоимость одного дня этой работы равна 10 ед. (60/6=10). Итак, 1-я работа требует расходов в первые шесть дней по 10 ед., что и отражено в первой строке таблицы на рисунке 6.16. Аналогично 2-я и 3-я работы. Далее, в соответствии с информацией из рисунка 6.15 и рисунка 6.17, видим, что 4-я и 5-я работы начинаются в свои ранние сроки в 6-м периоде и заканчиваются, соответственно в 10-м и 8-м периодах. Их финансирование отражено на рисунке

6.16в 4-й и 5-й строках и т. д.

Впоследних двух строках этой таблицы отражены результаты финансирования на дату (это сумма средств, необходимых для выполнения всех работ в этот период) и накопленная сумма, т. е. сумма средств, необходимых для финансирования всех работ, выполненных до этого периода, включая и сам текущий период.

Аналогичная таблица составляется и для поздних сроков начала работ. Поскольку в этом случае финансирование части работ отодвигается на более поздний период, появляется возможность регулирования финансированием проекта в определённых пределах. Эти пределы отражены в графическом окне, в котором помещены графики зависимости суммарного финансирования в зависимости от времени. Такой график приведён на рисунке 6.18.

79

Рисунок 6.18 – График бюджета проекта по ранним и поздним срокам начала работ

Как видим, уже в начале реализации проекта появляется возможность регулирования финансовыми потоками при оплате работ в зависимости от сроков их начала, не влияя на окончательные сроки реализации проекта. Особенно эта возможность расширяется между 10-м и 18-м периодами. Конечно, в первую очередь необходимо обратить внимание на своевременное финансирование критических работ.

6.5.Задания для выполнения лабораторной работы № 6

1.Решить и проанализировать задачи определения кратчайшего расстояния, наименьшего дерева расстояний и максимального пути.

2.Решить и проанализировать задачи CPM, PERT, сеть с сокращениями и составления бюджета сети.

Для всех вариантов и всех задач сеть будет одна и та же (рисунок 6.19).

Рисунок 6.19 – Сеть для выполнения лабораторной работы

80

Для своего варианта характеристики дуг возьмите из таблицы, подставив вместо n номер своего варианта, и полученные числа округлите до целого в сторону увеличения.

Для первого задания эти цифры – расстояния между пунктами или пропускная способность пути, а для сетей CPM – время выполнения работ.

Для сетей PERT это время считать, как наиболее вероятное. Оптимистическое и пессимистическое время рассчитайте самостоятельно, отняв и прибавив к нему три дня.

Для задания Crashing стоимость выполнения работ и время их сокращения рассчитайте самостоятельно из соображений, что стоимость работы без сокращения равна 2t + 9, а при сокращении – 3t + 10, где t – время выполнения работы. Работы можно сокращать на четверть срока их выполнения в нормальных условиях (округлять с увеличением).

Например, у Вас 9-й вариант и вы определяете стоимость работы 7–9. Время её выполнения 6+9=15 дней. Тогда стоимость выполнения этой работы равна 2*15+9=39 ед., а стоимость после сокращения – 3*15+10=55 ед. Сокращать эту работу можно на [15/4]+1=4 дня, т.е. с 15 до 11 дней.

Для задания Cost Budgeting стоимость и время выполнения работ возьмите из предыдущей задачи до сокращения.

7. Лабораторная работа № 7

Управление запасами

При решении задачи управления запасами в основном необходимо ответить на два вопроса – когда запасы подлежат пополнению и чему равен объём пополнения запасов. А это, в свою очередь, необходимо для решения следующих двух задач – удовлетворить спрос на определённую продукцию и минимизировать суммарные издержки по обеспечению спроса на определённом уровне.

81

Разработано большое количество моделей оптимального управления запасами. Из всего этого множества рассмотрим те из них, которые внесены в модуль Inventory программы QM (рисунок 7.1):

Рисунок 7.1 – Перечень задач в модуле Inventory модель определения оптимального уровня запаса; модель определения оптимальной партии изделий; модель запасов с дефицитом;

модель определения оптимальной партии изделий с учётом возможного дефицита;

ABC анализ;

7-я и 8-я модели определяют точку возобновления запаса и страховой запас в случае, когда спрос имеет нормальный и дискретный законы распределения.

В зависимости от того или иного типа модели каждый раз оптимальный уровень запаса определяется из условия минимизации суммарных издержек, в которые включаются разные составляющие. При этом действуют разные предпосылки относительно времени реализации поставки.

Рассмотрим последовательно реализацию первых пяти моделей из приведённого списка.

7.1 Модель определения оптимального уровня запаса

Первая модель является базовой и определяется в предположении, что известны спрос на продукцию, издержки хранения единицы запаса и издержки оформления одного заказа, а также предполагается, что интенсивность расходования запаса постоянна, а поставка осуществляется мгновенно. Оптимальный уровень заказа в этом случае определяется из условия

82

минимизации издержек хранения и заказывания. Обозначим их соответственно через THC и TOC. Тогда общие издержки составят: TIC = THC + TOC.

Введём обозначения:

Q – величина одного заказа;

Cо – издержки оформления одного заказа; D – величина спроса на продукцию;

Ch – издержки хранения ед. товара.

Тогда, THC = Ch Q/2, a TOC = Co D/Q, следовательно,

TIC = Ch Q/2 + Co D/Q. Минимизируя эту величину, получим известную формулу Уилсона:

Q* = 2co Dch .

Приведём решение задачи по этой модели.

Пусть D = 5 000, Co = 15, Ch = 5.

Определим другие характеристики системы.

THC = ch Q*/2 = 10.173,2/2 = 433, TOC = co D/Q* = 15.5000/173,2 = 433.

Совпадение этих величин не случайно. В точке минимума суммарных издержек кривые издержек заказывания и хранения пересекаются, как это видно из рисунка 7.1.

\

Рисунок 7.1 – Графическое решение задачи.

83

Прямая линия здесь характеризует издержки хранения (Holding Cost), равные (Q/2)Ch, гипербола – издержки заказывания (Setup Cost), равные (D/Q)Co. Верхняя линия – суммарные издержки (Total Cost). Как видим, точка минимума этих издержек совпадает с точкой, в которой издержки хранения и заказывания совпадают (нижние две линии пересекаются), решение задачи показано на рисунке 7.2.

Рисунок 7.2 – Решение задачи в модуле Inventory

Поскольку в предположении этой модели поставка осуществляется мгновенно, а интенсивность расходования запаса постоянна, то максимальный уровень запаса совпадает с оптимальным и равен 173,21, а его средний уровень составляет половину оптимального и равен 86,6. При этом суммарные издержки запаса равны 866, а число заказов равно D/Q* = 29 (с округлением).

7.2. Модель определения оптимальной партии изделий

При определении оптимальной партии изделий предполагается, что заказ поступает не мгновенно, а постепенно, с постоянной интенсивностью p, а запас расходуется с интенсивностью d, при чем, p > d, и, следовательно, пополнение запаса происходит с интенсивностью (p – d). За счёт того, что запас одновременно пополняется и расходуется, хранить приходится меньше и, следовательно, уменьшаются суммарные издержки.

Оптимальный уровень заказа (оптимальная партия изделий) в этом случае определяется из соотношения:

84

Максимальный уровень запаса в этой модели определяется из соотношения: Q*(1 – d/p), что, в отличие от предыдущей модели, меньше оптимального уровня заказа Q*.

Пусть интенсивность пополнения заказа составляет p = 30 ед. в день, а интенсивность расходования заказа составляет d = 20 ед. в день. Определить оптимальный уровень заказа и другие характеристики системы в условиях

уровень запаса составит: Q*(1 – d/p ) = 300(1-1/3) = 100, а средний уровень – его половину, т.е. 50. Число периодов производства будет равно D/Q* = 5000/300 = 17 (с округлением). Издержки организации производства в этом случае составят 15 16,7 = 250, а издержки хранения – 50 5 = 250 (как видим, они вновь совпали). Тогда суммарные минимальные издержки будут равны 250 + 250 = 500, что существенно меньше, чем в предположениях предыдущей модели, в модуле Inventory решение этой задачи на рисунке 7.3.

Рисунок 7.3 – Решение задачи в модуле Inventory

7.3. Модель запасов с дефицитом

Эта модель реализует предпосылку, что иногда выгоднее иметь некоторое время неудовлетворённый спрос и за счёт этого уменьшить издержки хранения. Кроме того, в данной модели предполагается, что накопленный спрос удовлетворяется в первую очередь, и потому максимальный уровень запаса уменьшается по сравнению с оптимальным уровнем заказа на величину максимального уровня дефицита.

85

Пусть эта модель имеет те же предпосылки, что и модель Уилсона. Обозначим через cs удельные издержки дефицита. Тогда оптимальный уровень заказа Q* и оптимальный уровень запаса I* определятся из соотношений

Здесь суммарные издержки складываются из издержек заказывания, хранения и дефицита, а оптимальный уровень определяется из их минимизации. И потому издержки заказывания и хранения в оптимальной точке для этой модели не совпадают, как это было в предыдущих моделях.

Продолжим решение предыдущего примера с учётом издержек дефицита. Для этого дополнительно необходимо указать издержки дефицита, которые примем равными 20.

В модуле Inventory решение этой задачи показано на рисунке 7.4.

Рисунок 7.4 – Решение задачи в модуле Inventory

86

7.4. Модель производства с дефицитом

Эта модель является аналогом модели производства (оптимальной партии изделий) в предположении допущения дефицита, одно из решений задачи по этой модели приведено на рисунке 7.45.

Рисунок 7.4 – Решение задачи в модуле Inventory

Это окно аналогично ранее рассмотренным. Невысокие издержки запаса здесь достигаются за счёт того, что в период пополнения запаса идёт довольно интенсивное его расходование, а потому издержки хранения малы.

7.5. Модель со скидкой за количество

Эта модель предполагает, что при приобретении товара в определённых условиях цены на него снижаются. В этом случае устанавливаются границы для объёмов закупки, в пределах которых цены неизменны, а при их превышении действуют скидки.

Рисунок 7.6 – Окно решения задачи управления запасами со скидкой В примере на рисунке 7.6 установлены четыре категории (интервала) для

скидки с соответствующими границами и ценами. Алгоритм вычисления

87

оптимального уровня запаса здесь усложняется. Сначала по формуле Уилсона определяется первоначальный уровень запаса Q*. Затем для каждой категории вычисляются суммарные издержки запаса, включая стоимость товара. Если Q* больше верхней границы соответствующего интервала, то за уровень запаса принимается верхняя граница соответствующего интервала, если Q* оказалось внутри соответствующего интервала, то в расчётах участвует Q*, а если Q* меньше нижней границы, то в расчётах участвует нижняя граница интервала. Оптимальным является тот уровень запаса, при котором суммарные издержки минимальны. В нашем примере оптимальное решение находится внутри интервала цен (21;50) и оптимальный уровень запаса равен 25,35, т. е. необходимо приобретать товар партиями объёмом в 25,35 по цене 17,25 денежных единиц.

Остальные характеристики этой модели указаны на рисунке 8.6.

На рисунке78.7 приведено исследование решения задачи в случае, когда объём заказа не менее 51 по цене в 17 у.е. При заказе в объёме, равном 51 общие издержки составят 2 145,24 у.е.

Рисунок 7.7 – Дополнительная информация о решении задачи

7.6. Задания для выполнения лабораторной работы №7

При решении задач по этой теме необходимо вычислить (с комментариями) все рассмотренные в примерах характеристики. При этом необходимо решить задачи по всем рассмотренным моделям.

Исходные данные для вариантов следующие:

D = 1000+10n, Co = 10+2n, Ch = 5+3n, Cs = 20+2n,

где n – номер варианта.

Остальную информацию (интенсивность производства, интенсивность расходования, цены, скидки и т.д.) возьмите из аналогичных решённых задач.

88

Библиографический список

1.Barri, Render I., Ralph V., Stair, Yr. Quantitative analysis for management. Allyn and Bacon. 4 th td. 1991. USA.

2.Бушин П. Я. Математические методы в управлении : учеб. пособие / П. Я. Бушин. – Хабаровск : РИЦ ХГАП, 1999.

3.Бушин П. Я. Математические методы и модели в экономике : учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / П. Я. Бушин, В. Н. Захарова. – Хабаровск : РИЦ ХГАП, 2010.

4.Вагнер Г. Основы исследования операций. Т.1 / Г. Вагнер. – М. :

Мир, 1972.

5.Таха Х. Введение в исследование операций / Х. Таха. – М. : Вильямс, 2001.

6.Косоруков О. А. Исследование операций : учебник / О. А. Косоруков, А. В. Мищенко / под общ. ред. д.э.н., проф. Н. П. Тихомирова. – М. : Экзамен, 2003.

7.Эддоус М. Методы принятия решений / М. Эддоус, Р. Стенфилд. –

М. : Аудит, 1997.

8.Экономико-математическое моделирование : учебник / под общ. ред. И. Н. Драгобыцкого. – М. : Экзамен, 2006.

89

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………3 1. Лабораторная работа № 1 (Анализ межотраслевых связей)

Краткие теоретические сведения……………………………..…………………..4

1.1.Схема и модель межотраслевого баланса производства и распределения продукции…………..………………………….……………………………………...4

1.2.Расчёт равновесного выпуска и равновесных цен………….…....................7

1.3.Балансы трудовых ресурсов и основных производственных фондов…….9

1.4.Постановка задачи…………………………………………….…………….10

1.5.Задания для выполнения лабораторной работы №1………….…………...11

1.6.Ход выполнения работы……………………………………….....................11

1.7.Информация для выполнения работы……………………………………...18 2. Лабораторная работа № 2 (Анализ оптимального решения задачи

2.1.Краткие сведения из линейного программирования……………………...19

2.2.Экономическая интерпретация и свойства двойственных оценок………21

2.3.Ход выполнения работы……………………………………….....................24

2.4.Задания к выполнению лабораторной работы №2………………………...33 3.Лабораторная работа №3 (Классическая транспортная задача и её

модификации)……………………………………………………………..................34

3.1.Классическая транспортная задача…………………………………………37

3.2.Транспортная задача с ограничениями………………….............................39

3.3.Двухэтапная транспортная задача……………………………………….....39

3.4Задания к выполнению лабораторной работы №3…………………………41 4. Лабораторная работа №4 (Элементы теории игр)…………………………..42

4.1.Нахождение смешанных стратегий игроков………………………………46

4.2.Сведение игры к задаче линейного программирования…………….........47

4.3.Графическое решение игры…………………………………………………48

4.4.Выбор оптимальной стратегии в условиях неопределённости (игры с природой)……………..…………………………………………………49

4.5.Задания к выполнению лабораторной работы №4………………………..51 5. Лабораторная работа №5 (Системы массового обслуживания)………......51

5.1.Общие сведения……………………………………………………………..51

5.2.Основные характеристики систем массового обслуживания……………52

5.3.Модели массового обслуживания………………………………………...54

90