Тема 8. |
ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ НОРМАЛЬНЫМ |
Основные понятия
В математической статистике важную роль играют некоторые законы распределения случайных величин, являющихся функциями независимых нормальных случайных величин. К ним относятся распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.
Распределение хи-квадрат ( -распределение).
Пусть независимые нормально распределенные стандартные случайные величины:
Тогда распределение случайной величины
называется распределением хи-квадрат с степенями свободы .
Распределение Стьюдента ( распределение).
Пусть независимые нормально распределенные стандартные случайные величины: Тогда случайная величина
имеет по определению распределение Стьюдента (или распределение) с степенями свободы .
Распределение Фишера ( -распределение).
Пусть независимые нормальные случайные величины, причем
Тогда по определению случайная величина
имеет распределение Фишера (или распределение) со степенями свободы .
На рис. 8.18.3 изображены графики плотностей вероятности рассматриваемых распределений.
Рис. 8.1. Кривая распределения при
n = 6 (1), n = 12 (2), n = 22 (3) и n = 32 (4).
Рис. 8.2. Кривая распределения Стьюдента при
n = 1 (1) и n = 30 (2).
Рис. 8.3. Кривая распределения Фишера при
(1); (2); (3).
З а м е ч а н и я.
Можно показать, что каждое из рассмотренных выше распределений при неограниченном увеличении числа степеней свободы стремится к нормальному. Это достаточно хорошо прослеживается на рис. 7.17.3.
Критические точки рассматриваемых распределений можно найти в таблицах приложений 35.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 8
Задача 8.1. Исходя из того, что
являются независимыми случайными величинами, привести примеры случайных величин
Вариант |
k |
m |
p |
q |
130 |
Значения параметров назначьте сами |
Примеры решения индивидуальных заданий
Пример 8.1. Заданы независимые случайные величины
Составить случайную величину, имеющую распределение .
Решение. Рассмотрим случайные величины , Эти величины независимы, имеют нормальные распределения. Найдем параметры этих распределений:
Отсюда и, следовательно, случайная величина
,
т.е. имеет распределение хи-квадрат с тремя степенями свободы.
Пример 8.2. Заданы независимые случайные величины
Составить случайную величину, имеющую распределение
Решение. Случайные величины
имеют стандартные нормальные распределения ( ). Тогда, например, случайная величина
т.е. имеет распределение Стьюдента с тремя степенями свободы.
Пример 8.3. Заданы независимые случайные величины ; ; ; ; .
Составить случайную величину, которая распределена по закону Фишера со степенями свободы
Решение. Рассмотрим случайные величины
Поскольку они имеют стандартные нормальные распределения, то случайная величина
,
т.е. имеет распределение Фишера со степенями свободы
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 8
Дайте определение закона распределения хи-квадрат.
Дайте определение распределения Стьюдента.
Распределение какой случайной величины называют распределением Фишера?
Как ведут себя законы распределений случайных величин , при
Как ведет себя закон распределения случайной величины при
Заданы независимые случайные величины Составить случайную величину, которая распределена по закону хи-квадрат с четырьмя степенями свободы.
Заданы независимые случайные величины Составить случайную величину, имеющую распределение Стьюдента с двумя степенями свободы.
Заданы независимые случайные величины Составить случайную величину, которая распределена по закону Фишера со степенями свободы
Случайная величина X имеет распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы. Используя таблицы критических точек распределения хи-квадрат, найти значения , если заданы вероятности событий:
а) где ;
б) где
Пусть независимые случайные величины, причем Показать, что случайная величина имеет распределение
Случайная величина X имеет распределение Стьюдента с 10 степенями свободы. Используя таблицы критических точек распределения Стьюдента, найти значения если заданы вероятности событий:
а) где
б) где
в) где
Случайная величина X имеет распределение Фишера со степенями свободы и Используя таблицы критических точек распределения Фишера, найти значения если заданы вероятности событий:
а) где
б) где
Тема 9. |
СИСТЕМЫ ДВУХ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН: ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, БЕЗУСЛОВНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ, ЛИНИИ РЕГРЕССИИ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ. |