Решение геометрических и физических задач с помощью определенного ин
..pdf6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= ϕ; 0 ≤ϕ≤1.
7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 + |
y2 |
+ |
z2 |
=1; |
z = 0, z = 2. |
|
|
||||
9 |
4 |
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = x3; |
y = 2x. |
|
|
|
9. Найти площадь поверхности, образованной вращением во- |
||||
круг оси Ох цепной линии y = ch |
x |
в пределах от x = 0 |
до x = 2. |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
10. Найти статические моменты относительно осей Oх и Oу |
||||
|
|
2 |
2 |
2 |
и координаты центра тяжести дуги астроиды x3 |
+ y 3 |
= 23 , лежа- |
щей в первом квадранте.
11. Найти силу, с которой круглая пластинка радиусом R с постоянной поверхностной плотностью µ0 притягивает материаль-
ную точку массой m, находящуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки на расстоянии a от ее центра. С какой силой притягивает точку в тех же условиях бесконечная плоскость?
11
Вариант 5
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y =sin x cos2 x; y = 0; 0 ≤ x ≤ |
π. |
|
2 |
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями:
x = 2cos t; y = 6sin t; y =3 ( y ≥3).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ = 2cos ϕ; |
ρ = 2 3 sin ϕ; 0 ≤ϕ≤ |
π. |
|
|
2 |
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = |
x − x |
2 |
−arccos |
x; |
|
1 |
|
|
x 0; |
4 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = et cost; y = et sin t; 0 ≤t ≤1.
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ = cos ϕ; 0 ≤ϕ≤ |
π. |
|
2 |
12 |
|
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ y2 + |
z2 |
=1; |
z = 0; z =3. |
16 |
|
|||
9 |
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = cos x; y =sin x; x = 0; |
0 ≤ x ≤ |
π. |
|
|
4 |
9. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Oу астроиды
2 |
2 |
2 |
x3 |
+ y 3 |
= 23. |
10.Найти статический момент окружности r = 2asin ϕ относительно полярной оси.
11.Найти силу, с которой притягивает усеченный конус с радиусами оснований r и R, высотой h, плотностью µ материальную
точку массой m, находящуюся в его вершине.
Вариант 6
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = cos xsin2 x; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 2(t −sin t); y = 2(1−cost); y =3 ( y ≥3).
13
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=sin 3ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = |
x2 |
− ln x |
; |
x [1;2]. |
|
||||
4 |
2 |
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x = et sin t; y = et cost; 0 ≤t ≤ π.
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ = 2sin ϕ; |
π |
≤ ϕ≤ π. |
|
2 |
|
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ y2 −3z2 =1; |
z = 0; z =1. |
|
9 |
|||
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y =sin2 x; x = π2 ; 0 ≤ x ≤ π2 .
9. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ох кри-
вой x = |
1 y2 |
− |
1 ln y в пределах от y =1 до y = e. |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
14 |
10. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии y = a ch ax в пределах от x = −a до x = a.
11. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. При постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса
растет по закону a = Ac −bt, c −bt > 0. Найти высоту, достигнутую ракетой к моменту времени t =T.
Вариант 7
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 4 − x2 ; y = 0; 0 ≤ x ≤ 2.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =16cos3 t; y =sin3 t; x = 6 3 ( x ≥ 6 3 ).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ = 6cos3ϕ; ρ =3 (ρ≥3).
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = ln |
5 |
; 3 ≤ x ≤ 8. |
|
2x |
|||
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x =3cos t; y =3sin t; |
0 ≤t ≤ |
π. |
|
|
6 |
15 |
|
|
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных коор-
динатах уравнением
ρ =1−cos ϕ; 0 ≤ϕ≤ π.
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
|
x2 + |
y2 |
−2z2 =1; |
z = 0; z =1. |
||||
|
|
|||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг |
|||||||
оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций: |
||||||||
|
|
y = ex ; y =1; x =1. |
|
|
|
|||
9. |
Найти площадь поверхности, образованной вращением во- |
|||||||
круг оси Ох эллипса, заданного уравнением |
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
||||
a2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b2 |
10.Найти центр тяжести дуги окружности радиусом a, стягивающей угол 2а.
11.Найти работу, которую надо затратить, чтобы тело массой m поднять с Земли, радиус которой R, на высоту h. Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность? Использо-
вать закон всемирного тяготения F = k m1 2m2 . r
Вариант 8
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = ex −1; y = 0; x = ln 2.
16
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = 6cos t; y = 2sin t; y = 3 ( y ≥ 3 ).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярных координатах:
ρ= 12 +sin ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
|
y =ex +6; ln 8 ≤ x ≤ |
15. |
5. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: |
|
|
x = cost +t sin t; y =sin t −t cos t; |
0 ≤t ≤ π. |
|
|
3 |
6. |
Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных коор- |
динатах уравнением
ρ =1+cos ϕ; 0 ≤ϕ≤ π.
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
− z2 |
=1; |
z = 0; z = 2. |
3 |
|
||||
27 |
|
|
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = ln x; y = 0; x = e.
17
9. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-
круг оси Oу (a > b) эллипса, заданного уравнением x2 + y2 =1. a2 b2
10.Найти координаты центра тяжести дуги одной арки циклоиды, заданной уравнениями: x = a(t −sin t) и y = a(1−cost).
11.Найти работу, которую нужно затратить, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высотой H, радиусом основания R, если
плотность песка равна α.
Вариант 9
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = |
|
1 |
; x =1; y = 0; x = e3. |
|
x |
1+ln x |
|||
|
|
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =3(t −sin t); y =3(1−cost); y =3; 0 ≤ x ≤ 6π ( y ≥3).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ=sin ϕ; ρ = 2sin ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = 1− x2 +arccos x; |
0 ≤ x ≤ |
8 . |
|
|
9 |
18 |
|
|
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x = 4cos3 t; y = 4sin3 t; 0 ≤t ≤ |
π. |
|
6 |
6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=e2ϕ; 0 ≤ϕ≤ 2π.
7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ |
y2 |
− z2 = −1; z = 2. |
9 |
|
||
4 |
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = |
2 |
; y =1; |
x =1. |
|
x |
|
|
9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Oх одной арки циклоиды, заданной уравнениями:
x = 2(t −sin t) и y = 2(1−cost).
10. Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной
эллипсом, заданным уравнением |
x2 |
+ |
y2 |
=1, и осями координат |
|
e2 |
b2 |
||||
|
|
|
(x ≥0, y ≥ 0) .
19
11. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота 140 м, ребро основания (квадрат) 200 м. Удельный вес камня, из которого она сделана, 2,5 г/см3. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.
Вариант 10
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = arccos x; y = 0; x = 0.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =8 2 cos3 t; y = 2 sin3 t; x = 4 (x ≥ 4).
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
ρ = 2cos ϕ; ρ =3cos ϕ.
4. Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y =sh x +3; 0 ≤ x ≤ 2.
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x = 2(t −sin t); y = 2(1−cos t); |
π |
≤t ≤ π. |
|
2 |
|
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
20