Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение геометрических и физических задач с помощью определенного ин

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

759.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

=	5	2	−	ln (2 −	3 )
=	8	2	−	3		.
	8			3

6. Найти длину всей кривой ρ = asin						3 ϕ	(рис. 5).
						3
Вся кривая описывается точкой (ρ,ϕ)							при изменении ϕ от 0

до 3π.

Рис. 5

	Решение.
	Имеем:
												ρ′(ϕ) = asin2 ϕcos										ϕ		;
																		3				3
														β
										L = ∫ ρ2 (ϕ) +ρ′2 (ϕ)dϕ=
														α
3π		2		6	ϕ			2		4	ϕ				2 ϕ					3π				4 ϕ					2	ϕ			2 ϕ
= ∫	a	2	sin	6	ϕ	+a		2	sin	4	ϕ		cos		2 ϕ	dϕ= a ∫					sin			4 ϕ					2	ϕ	+cos		2 ϕ
= ∫	a		sin		3	+a			sin		3		cos		3	dϕ= a ∫					sin				3		sin			3	+cos		3	dϕ=
0					3						3				3			0							3					3			3
			3π										3π1−cos						2ϕ											2ϕ
			3π										3π1−cos						3
		= a ∫ sin2					ϕdϕ= a							∫					3	dϕ= a			ϕ−					3 sin				3π =
		= a ∫ sin2					ϕdϕ= a							∫		2				dϕ= a			ϕ−					3 sin		3		3π =
				0			3							0		2					2							2		3		0
										=		a				3					=	3πa				.
										=		2		3π−		2	sin 2π				=		2			.
												2				2							2
																		61

7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, за-

данными уравнениями: z = x2 + y2 и z = 2 . 9

Решение.

Рассмотрим сечение заданной поверхности плоскостями, перпендикулярными к оси Oz и проходящими через произвольную точку z [0;2] .

В сечениях

получим

эллипсы

=1, где

z = const,

z [0;2] , с полуосями: a =

9z =3 z ,

b =

Площади этих сечений

S(z) = π a b = π 3 z

z =3πz.

Отсюда объем тела

V = ∫ S(z)dz = ∫

3πzdz =3π

=3π 2 = 6π.

8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох

фигуры, ограниченной кривой y2 =(x −1)3

и прямой x = 2 (рис. 6).

Рис. 6

Решение. Имеем:

Vx = π∫ y2 ( x)dx

= π∫2 ( x −1)3 dx = π∫2 ( x −1)3 d ( x −1) =		π( x −1)4	2 =	π.
1	1	4	1	4

9. Вычислить площадь

S поверхности шарового пояса,

образованного

вращением

полуокружности

y = R2 − x2 ,

−R < a ≤ x ≤b < R , вокруг оси Ох.

Решение.

Имеем:

y′=

−x

R2 − x2

Получим:

Sx = 2π∫ y 1+ y′2 dx = 2π∫ R2 − x2 1+

dx =

− x

= 2π∫ Rdx = 2πR(b −а).

10а. Найти статический момент относительно осей Ох и Оу

треугольника,

ограниченного

прямыми

=1,

x = 0, y = 0

(рис. 7).

Рис. 7

Решение.

Здесь у =b 1−

. Тогда:

1 b

b2 а

х 2

b2 a

x 2

M x

∫ y

dx =

∫ 1−

dx =

∫ −a

1−

−

(−а)

1−

а = − аb2

(0 −(1−0)3 ) = аb2

;

2 3

M y

= ∫ xydx =b∫ х

1−

dx =b∫

x −

dx =b

−

3а

−2а

−

= а

b .

3а

10б. Найти моменты инерции дуги астроиды, заданной урав-

нениями x = a cos3 t,

y = asin3 t

и лежащей в I четверти (рис. 8).

Рис. 8

Решение.

В силу симметрии астроиды относительно координатных осей Ix = I y . Поэтому достаточно вычислить момент инерции относи-

тельно оси Ох. Для I четверти имеем: 0 ≤t ≤ π2 . Отсюда:

x′(t ) = −3a cos2 t sin t; y′(t ) =3asin2 t cos t;

dl = (x′(t ))2 +( y′(t ))2 dt = 9a2 cos4 t sin2 t +9a2 sin4 t cos2 tdt =
=3a cos2 t sin2 t (cos2 t +sin2 t )dt =3a cost sin tdt.
Получим:
	π
b	2
Ix = ∫ y2dl = ∫ a2 sin		6 t 3a cos t sin tdt	=

а0

π				π
2	3a	3	sin8 t	π	=	3 a3
=3a3 ∫ sin7 td(sin t) =	3a		sin8 t	2	=	3 a3	;
0	8			0		8

Ix = I y = 83 a3.

10в. Найти центр тяжести дуги полуокружности x2 + y2 = a2

( y ≥0) (рис. 9).

Рис. 9
Решение.
Имеем:
y = a2 − x2 ; y′= −	x	;
y = a2 − x2 ; y′= −	a2 − x2	;
	a2 − x2
65

dl = 1+( y′)2 dx =

dx =

a2 − x2 + x2

dx =

adx

;

a2 − x

a2 − x2

adx

a = πa.

l = ∫ 1+( y′)2 dx = ∫

= a arcsin

a2 − x2

−a

Находим координаты центра тяжести:

axdx

x =

∫

xdl =

∫

= 0;

a2 − x2

−a

πa −a

− x

1 x

y =

∫ ydl =

∫

dx =

πa

a2 − x2

−a

= 2πa .

11. Найти работу, совершаемую при растяжении пружины на 6 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на

1 см.

Решение.

Согласно закону Гука, сила, растягивающая пружину на х м,

F ( x) = kx.

Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если

x = 0,01 м, то F =1 Н; следовательно, k =			1	=100 и F ( x) =100x.
x = 0,01 м, то F =1 Н; следовательно, k =			0,01	=100 и F ( x) =100x.
			0,01
Тогда
b	0,06	0,06 =50 (0,06)2 = 0,18 Дж.
b	0,06
А= ∫ F(x)dx =	∫ 100xdx =50x2
а	0	0

Учебное издание

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ИФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

СПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Методические указания

Составители: Макагонова Марина Анатольевна,

Тонкоева Ирина Валерьевна

Редактор и корректор Е.В. Копытина

Подписано в печать 21.07.14. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 4,25. Тираж 100 экз. Заказ № 127/2014.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.09 Mб2Реинжиниринг организации на основе аутсорсинга функций и процессов3..pdf
#
15.11.20227.25 Mб0Рекомендации и ресурсы Elsevier для подготовки высококачественной публик..pdf
#
15.11.2022906.04 Кб2Рекомендации по применению двуконусных свай на пучинистых грунтах..pdf
#
15.11.202213.78 Mб41Реконструкция и восстановление скважин..pdf
#
15.11.20222.1 Mб88Рентгенография металлов..pdf
#
15.11.2022759.07 Кб12Решение геометрических и физических задач с помощью определенного ин..pdf
#
15.11.20223.1 Mб84Решение задач по курсу Прикладная теория надёжности..pdf
#
15.11.20223.24 Mб5Решение задач по курсу Теоретические основы автоматизированного упра.-1.pdf
#
15.11.20222.85 Mб10Решение задач по курсу Теоретические основы автоматизированного упра..pdf
#
15.11.20226.9 Mб7Решение инженерных задач на высокопроизводительном вычислительном к..pdf
#
15.11.2022933.34 Кб8Риторика и ораторское искусство..pdf