Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции комплексного переменного и операционное исчисление

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

754.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

f (t)

2 p 3

2 p

lim

( p

)

( p

p 1

2! p 0

2 p 3

lim

4 p

3 p

p 1

2 p 0

lim

( p

( p 1)

p 1

2 p 0

et 32 t2 t 1 .

2.3.Решение линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами и их систем операционным методом

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами решаются по следующей схеме:

1. Пользуясь свойствами линейности и дифференцирования оригинала, переходим от данного дифференциального уравнения относительно искомой функции x(t) к операторному

уравнению относительно функции X ( p) .

2.Решая полученноеоператорноеуравнение, находим X ( p) .

3.Понайденномуизображению X ( p) находиморигинал x(t) .

При решении систем линейных дифференциальных уравнений каждое уравнение сводим к операторному и приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно изображений искомых функций. По найденным изображениям находим оригиналы.

Пример 2.17. Решить дифференциальное уравнение x x 2x e t при условиях x(0) 0 , x (0) 1.

Решение. Переходим к изображеням:

x(t) X ( p) ,

pX ( p) ,

x (t) pX ( p) x(0)

X ( p) px(0)

X ( p) 1 ,

x (t) p

x (0) p

e t

p 1

Операторное уравнение имеет вид:

p2 X ( p) pX ( p) 2X ( p) 1

p 1

X ( p)( p2 p 2)

p 2

p 1

X ( p)

p 2

( p 1)( p 1)( p 2)

X ( p)

p2 1

По таблице оригиналов и изображений находим оригинал: x(t) sh t .

Пример 2.18. Решить систему уравнений

dx x y z,

dy x y z,dt

dz x y z

при начальных условиях: x(0) 0,

y(0) 1,

z(0) 0 .

Решение.

Пусть x(t)

X ( p) ,	y(t) Y ( p) ,	z(t) Z ( p) , тогда

x (t) pX ( p) x(0)		pX ( p) ,

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p) 1,

z (t) pZ ( p) z(0) pZ ( p) .

Операторная система после преобразований примет вид:

X ( p)( p 1) Y ( p) Z ( p) 0,X ( p) Y ( p)( p 1) Z ( p) 1,

X ( p) Y ( p) Z ( p)( p 1) 0.

Решаем операторную систему по формулам Крамера:

p 1	1				1		p3 p2 p2 ( p 1),
p 1	1				1
1	p 1				1
1	1				p 1
		0			1		1
		0			1		1
X		1			p 1		1	p 2,
		0			1		p 1
			p 1 0				1		p2 2,
			p 1 0				1
Y			1 1				1
			1		0		p 1
				p 1		1			0
				p 1		1			0
	Z			1		p 1			1	p,
				1			1		0

X ( p)	p 2	, Y ( p)	p2	2	,	Z ( p)	1		.
	p2 ( p 1)		p2 ( p 1)				p( p	1)

Для нахождения оригиналов разложим каждую дробь на простейшие:

X ( p)

, x(t) 2t 1 et ;

p 1

Y ( p)

, y(t) 2t 2 et ;

Z ( p)

, z(t) 1 et .

2.4. Решение интегродифференциальных уравнений

При анализе нестационарных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами активного сопротивления R, индуктивности L и емкости C, соединенными последовательно (рис. 4), на основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений тока будем иметь интегродифференциальное уравнение

	di(t)		1	t
L	dt	Ri(t)		i(t)dt UC (0) U (t) ,

			C 0

где i(t) – ток в электрической цепи; U (t) – напряжение на входе; UC (0) – начальное напряжение на емкости.



U(t)				C
U(t)				C

Рис. 2.4

Интегродифференциальное уравнение решается операционным методом.

Пример 2.19. Для цепи (рис. 2.4) определить ток нестационарного режима при следующих параметрах: UC 0 ,

i(0) 0, R 2, L 1, C 12 . Функция U (t) напряжения на входе задана графиком (рис. 2.5).

U(t)
1

0	1	t
	Рис. 2.5.
Решение.		U (t) имеет вид:
Аналитическое выражение функции

U (t) 1(t) 1(t 1) .

При заданных параметрах задача сводится к решению уравнения

di(t) 2i(t) 2 t i(t)dt 1(t) 1(t dt 0

Перейдем к изображениям:

i(t) I ( p) ,

di(t) pI ( p) i(0) pI ( p) dt

t	i(t)dt	I ( p)	,

0		p

1(t) 1(t 1) 1p 1p e p .

1) .

Решаем операторное уравнение

pI ( p) 2I ( p) 2p I ( p) 1p 1p e p ,

находим:

I ( p)

e p

p2 2 p 2

2 p

e p ,

( p 1)2 1

2 p 2

i(t) e t sin t e (t 1)

sin(t 1) 1(t 1) .

Глава 3 ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ

3.1. Функции комплексного переменного

Задача 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1.1. 1 2i5 2 i10 . 3 2i

1.2.			2 i5					1 i			3
1.2.			19					1 i			3 .
		1 i						1 i
1.3.		3 5i7			2 3i											1			2i	.
1.3.			1		2i													5		.
			1		2i													5
1.4.			1 i 2					3 4i8
1.4.								3		4i			7 .
			1 i					3		4i						2i
									2		3i					2i
1.5.		1 2i3							2		3i							.
1.5.			3 4i9													3		.
			3 4i9													3
1.6.		4 i12						4 i				.
1.6.		4 i5				1 4i					3	.
		4 i5				1 4i					3
1.7.	1 i40					2 i20						.
1.7.		2 i					1 i					.
		2 i					1 i
1.8.		2 i3					4		3 2i					.
1.8.		3 2i5					4		2 i					.
		3 2i5							2 i
1.9.		2 3i3					3 4i					.
1.9.		3 4i5					2 3i					.
		3 4i5					2 3i
1.10.			1 i5				i(2 3i							3 )	.
1.10.			2 3i							1 i					.
			2 3i							1 i
1.11.			(3 2i7 ) (3 2i) i10 .
				4 3i													5

1.12.

1 2i7

i13 (2 i)

2 i

1 2i

1.13.

4 i11

1 3i7 .

1 3i

4 i

1.14.

3 i

i15 ( 3 2i)

2 3i

2 i40

1.15.

2 i16

3 2i7 .

3 2i

2 i

1.16.

5 i

i31 ( 1 i)

1 2i

5 i6

1.17.

4i20

3 4i7

4i5

1.18.

2 i

i15

1 2i3

4 3i

1.19.

8 i3

3( 1 i11 ) .

2 3i

1 i

1.20.

3 5i7

i40 ( 1 i)

1 2i

7 i4

1.21.

6i16

2 3i

1.22.

2 3i

3 4i5

3 4i

2 3i

1.23.

2 5i9

5 2i

5i5

1.24.

2 3i8

4 i5

1.28.

i12 (1 i)

1 2i .

4 i

2 3i

2 i

1 2i

1.25.

2 5i3

5 2i15 .

1.29.

i7 (1 i)

2 i10 .

5 2i

2 5i

2 i

3 2i

4 i9

1 3i7

2 2i

i23

1.26.

1.30.

i17

3 i

4 i

2 2i

1.27.

7i28

2 i

2 i7

Задача 2. Найти модуль и аргумент комплексного числа, изобразить число на плоскости. Записать число в тригонометрической и показательной формах.

2.1.	а)	Z 3 3i ;		б)	Z 3			3i .
2.2.	а)	Z 5 5i ;		б)	Z	2		6i .
2.3.	а)	Z 4 4i ;		б)	Z 3			3i .
2.4.	а)	Z 3 3i ;		б) Z		6		2i .
2.5.	а)	Z 7 7i ;		б)	Z	3 i .
2.6.	а)	Z 5 5 3i	;	б)	Z	7		7i .
		2
2.7.	а)	Z 6 6i ;		б) Z		3	i .
2.8.	а)	Z 5 5 3i	;	б)	Z	8		8i .
		2
2.9.	а)	Z 2 2i ;		б) Z		54 18i .
2.10. а)		Z 5 ( 1	3i) ;	б)	Z	7		7i .
		2
2.11. а)		Z 8 8i ;		б) Z		6		2i .
2.12. а)		Z 5 5 3i ;		б) Z		7		7i .
2.13. а)		Z 9 9i ;		б)	Z	2		6i .
2.14. а)		Z 7 3 7i ;		б) Z		5		5i .

2.15. а) Z 5 5i ;				б) Z			6	2i .
2.16. а) Z 7		3 7i ;		б) Z 4 4i .
2.17. а) Z 7		3 7i ;		б) Z		2 2i .
2.18. а)	Z 3 3i ;			б)	Z		2	6i .
2.19. а)	Z 7	3 7i ;		б)	Z		2	2i .
2.20. а)	Z 4 4		3i ;	б) Z			8		8i .
2.21. а) Z 3 3			3i ;	б) Z			3	3i .
2.22. а) Z 4 4			3i ;	б) Z			2	2i .
2.23. а) Z 3 3			3i ;	б) Z			5		5i .
2.24. а) Z 4 4			3i ;	б) Z			5	5i .
2.25. а)	Z 3	3 3i ;		б) Z		1	6		6i .
						2
2.26. а)	Z 4 4		3i ;	б)	Z 2 2i .
2.27. а)	Z 3	3 3i ;		б)	Z 8 8i .
2.28. а)	Z 3 3		3i ;	б)	Z 2 2i .
2.29. а)	Z 3	3 3i ;		б) Z			6		6i .
2.30. а)	Z 3 3i ;			б)	Z 4 4i .

Задача 3. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

3.1.	(1 i)12 ( 3 i)5 .							3.5.	(1 i)12	(1 3i)5 .
	(1 i)9								32(	3 i)5
3.2.	( 1 i)9 (1			3i)3 .				3.6.	(1 i)15	( 1		3i)9 .
		2(1 i)10							2(1 3i)16
3.3.	(1 3i)10							3.7.	(1 i)20	( 1 3i)7
						.						.
	(1 i)	8	(1	3i)	7				(1		14
											3i)
3.4.	( 1 i)20 ( 3 i)5						.	3.8.	( 1 i)8 (1 3i)5
	( 3 i)17								8( 1 3i)4			.

3.9.		( 1 3i)7							.			3.20.	4( 3 i)5							.
3.9.	( 1 i)4			(1			3i)7		.			3.20.	(1 i)8		(	3 i)4				.
3.10.		( 1 3i)8						.				3.21.	( 2)11 (1 i)11													.
3.10.		(1 i)4		(1			3i)4	.				3.21.	(1 3i)9			( 1 3i)4										.
3.11.		( 1 i)8 (1 3i)7									.	3.22.	4( 3 i)5								.
3.11.			(1			11					.	3.22.	(1 i)	8	(	3 i)			4		.
			(1		3i)								(1 i)		(	3 i)
3.12.		(1	3i)6 (1 i)11					.				3.23.	(2i)13 (1 i)7												.
3.12.			(1 i)			9		.				3.23.			12	( 1 i)							6		.
			(1 i)										(1 3i)			( 1 i)
		2( 1 3i)5										3.24.	( 1 i)4 ( 3 i)7										.
3.13. ( 1 i)4 (1							3i)5 .					3.24.	(		3 i)7								.
3.13. ( 1 i)4 (1							3i)5 .						(		3 i)7
					6			13					16( 1			3i)		5
3.14.		( 1		3i)		(1 i) .						3.25.	16( 1			3i)						.
3.14.						(1 i) .						3.25.	(1 i)4		(1		3i)7					.
			4(1 i)15										(1 i)4		(1		3i)7
3.15.			4( 3 i)7					.				3.26.	( 3 i)5 (2i)3										.
3.15.		(1 i)12		(		3 i)4		.				3.26.	( 3 i)7 ( 1 i)4										.
3.16.			4( 3 i)7					.				3.27.	( 3 i)7											.
													( 1 i)8 (1					3i)5
		(1 i)12		(		3 i)4							( 1 i)8 (1					3i)5
			16					8					(		3 i)17
3.17.		(1 i)		(		3 i)					.	3.28.										.
3.17.			8(1		3i)10						.	3.28.	(1 i)20 (			3 i)5						.
			8(1		3i)10								(1 i)20 (			3 i)5
3.18.			4( 1 i)11								.	3.29.	(1 i)3		(1		3i)9 .
3.18.		( 1		3i)6 (1 i)3							.	3.29.	(1 i)21				3i)9 .
		( 1		3i)6 (1 i)3									(1 i)21
3.19.		(2i)10 (1 i)7								.		3.30.	(2i)7 (1			3i)16 .
3.19.		(1	3i)12 (1 i)3							.		3.30.				3i)16 .
		(1	3i)12 (1 i)3										( 1 3i)23

Задача 4. Найти все значения корня. Построить их на плоскости.

4.1. а)	3	3 3 3i ;	б)	4 1 i 3 .
				2
4.2. а)	3	7 7i ;	б)	3 1 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022643.13 Кб2Формы и инструкции для подачи диссертации в ProQuest Dissertations and Theses..pdf
#
15.11.20225.22 Mб42Формы существования углерода. Их получение и применение.pdf
#
15.11.20222.99 Mб33Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электрост..pdf
#
15.11.20228.78 Mб10Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1..pdf
#
15.11.20224.96 Mб4Функции комплексного переменного и их приложения Часть 2..pdf
#
15.11.2022754.37 Кб10Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
15.11.202212.71 Mб16Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория ус.pdf
#
15.11.2022658.11 Кб20Химическая технология неорганических веществ метод. указания к выпо.pdf
#
15.11.20224.75 Mб137Химическая технология неорганических веществ..pdf
#
15.11.202215.72 Mб11Химическая технология топлива и углеродных материалов. Cборник задач.pdf
#
15.11.2022232.22 Кб15Химические свойства элементов VIIА группы и их соединений учебно-метод..pdf