Моделирование объектов и процессов в металлургии

Методы многомерного поиска делятся на 2 группы: градиентные и неградиентные (рис. 6.1).

Рис.6.1. Методы многомерного поиска

Рассмотрим метод Гаусса – Зейделя на примере двухфакторного эксперимента. На первом шаге движение происходит за счет изменения одного фактора, другой при этом фиксируется на одном значении, определенном экспериментально (точка M на рис. 6.2). Движение продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост по отклику. В точке с лучшим выходом (точка N) фиксируется второй фактор и начинается движение при изменении первого фактора.

Итак продолжается до достижения оптимума (см. рис. 6.2).

Воснове метода крутого восхождения (Бокса – Уилсона) лежит шаговый принцип достижения оптимума с движением на каждом шаге в направлении наибольшего возрастания градиента. На

первом шаге области, далекие от оптимума (окрестности точки М0), описываются по результатам факторного эксперимента (точки 1–4) линейным уравнением регрессии вида

y = b0 +b1xx +b2 x2 +L+bk xk ,

на основе которого определяется направление движения по градиенту:

101

elib.pstu.ru

Так как при этой процедуре уравнение регрессии применяется для прогнозирования параметра оптимизации y за пределами области его определения, то для проверки соответствия сравнивают мысленный опыт y’ и фактическое значение y. Для этого в некоторых точках факторного пространства реализуют проверочные опыты. В случае когда результаты опытов существенно расходятся, принимают решение о проведении в окрестностях этой точки новой серии ПФЭ. По результатам этого эксперимента находят новое направление и продолжают движение к оптимуму.

В области оптимума из-за значительной кривизны поверхности линейная аппроксимация становится неадекватной, в связи с чем требуется повышать порядок полинома. Чаще всего ограничиваются полиномом второго порядка

y = b0 +b1x1 +b2 x2 +b11x12 +b22 x22 +L.

102

elib.pstu.ru

Для проведения эксперимента применяют более сложные планы, чем ПФЭ, к ним относятся центральное композиционное, рототабельное и D-оптимальное планирование.

Теоретические методы оптимизации

Если целевая функция единственная, то такая задача называет-

ся задачей математического программирования. Если целевых функций много, то такая задача называется задачей многокритериальной оптимизации. Если целевая функция и ограничения являются линейными относительно параметров оптимизации, то такая за-

дача называется задачей линейного программирования. При нели-

нейной зависимости целевой функции или ограничений от парамет-

ров оптимизации говорят о задаче нелинейного программирования.

Многие математические модели дискретных и непрерывных задач оптимизации можно сформулировать в виде многошаговой задачи оптимизации, в рамках которой процесс поиска решения представляется как последовательность некоторых этапов (шагов). Для решения таких задач используется метод динамического про-

граммирования.

Экспериментальные методы оптимизации

Всякий детерминированный метод поиска представляет собой систему алгоритмов, которая однозначно предполагает систему действий в зависимости от сложившейся в процессе поиска ситуации. В экспериментальных методах осуществляется последовательное локальное изучение поверхности отклика. Поиск экстремума включает следующие процедуры:

• определение по результатам специально спланированного эксперимента направления движения из некоторой точки, в окрестностях которой проводится эксперимент; направление зависит от локальных свойств поверхности отклика вблизи данной точки, движение осуществляется таким образом, чтобы найденные значения функции отклика были более близкими к оптимальному, чем в исходной точке.

103

elib.pstu.ru

•движение в найденном направлении;

•многократное повторение этапов до достижения точки опти-

мума.

Оптимизация металлургических процессов на основе математических моделей

Металлургические процессы относятся к классу сложных многосвязных объектов, имеющих большое число входов и выходов с перекрестными связями. В объектах такого рода свободное и вынужденное движение системы по отдельным каналам управления существенно зависит от процессов, протекающих в других каналах. Выбор управлений для подобных объектов осуществляется с учетом внутренних взаимосвязей в объекте, с ориентацией на получение конечного показателя оптимизации, учитывающего связи со всеми основными управляемыми параметрами.

Постановка задачи оптимального управления

Постановка задачи представлена на рис. 6.3. Устройство управления УУ состоит из модели объекта и алгоритма управления (или оптимизации) А. В модели объекта представлены все априорные знания об объекте, формализованные на момент синтеза алгоритма. Для выбора алгоритма используется более широкая концептуальная модель. Ситуация, которая складывается в каждый момент в процессе оптимизации, характеризуется состоянием среды Х, состоянием объекта Y и целью управления Q. Путем выбора управляющих воздействий U можно изменять состояние объекта Y, модель которого

104

elib.pstu.ru

где Е – вектор неконтролируемых возмущений, обусловленный неизмеряемыми входами, постепенным изменением характеристик объекта во времени или неточностью задания структуры модели.

Для простоты дальнейших рассуждений при постановке задачи будем считать, что Y=YМ, а ошибка модели εм, зависящая в первую очередь от Е, достаточно эффективно устраняется блоком адаптации модели.

а б Рис. 6.3. К постановке задачи оптимального управления:

а– схема постановки задачи оптимизации;

б– график изменения интенсивности продувки

искорости обезуглероживания

Достижение цели управления Q* сводится к выполнению следующих целевых соотношений:

Функции ψi , ψj , ψl , а также числа аi и сj должны быть заданы

на стадии формулировки целей управления и ограничений. Для дальнейшего анализа удобно записать эти соотношения в канонической векторной форме:

105

elib.pstu.ru

где G – функция ограничений типа равенств; Н – функция ограничений типа неравенств; Q – целевая функция.

Реализация условий (6.4) возможна путем соответствующего изменения состояния Y объекта за счет выбора определенного управления U, что приводит к следующей экстремальной задаче:

где

G (X ,Y ) = 0,

Ω: H (X ,Y )≥ 0,

Y = F (X ,Y ),

решение которой U* и является оптимальным управлением. Ресурс, выделяемый на управление, выражается системой равенств и неравенств в области Ω. Для прогнозирования состояния объекта Y необходима его модель F (см. формулу (6.1)). Следует заметить, что, хотя задача в целом экстремальная, первоочередным является выполнение ограничений Ω, а экстремальные цели Q достигаются лишь при условии выполнения неэкстремальных целей, т.е. ограничений. Например, при оптимизации управления каким-либо сталеплавильным процессом в первую очередь, естественно, выполняются требования попадания в заданные ГОСТ пределы по химическому составу и температуре, ограничения на сырьевые ресурсы, и лишь при выполнении этих условий решается задача минимизации затрат или себестоимости продукции.

Рассмотренную выше задачу (6.5) целесообразно представить в следующем виде:

106

elib.pstu.ru

где

В зависимости от вида модели F, т. е. от того, является ли F функцией или оператором, получают различные задачи, которые решаются разными методами.

Задача синтеза управления статическим объектом, для которого модель F является функцией, заключается в минимизации векторной функции Q(X, U) путем изменения q управлений u1, ..., uq, удовлетворяющих ограничениям Ω, наложенным на U. Состояние среды X (значения измеряемых, но неуправляемых входов) при этом должно быть известным.

Примером такой задачи может служить планирование производства. Здесь U – производственный план; X – поставка сырья; G – требования к номенклатуре продукции, соблюдению норм безопасности и т.д.; H – требования к качеству продукции, производственные нормативы и ограничения. В качестве экстремальных целей могут служить производительность труда, себестоимость продукции и т.д. Это наиболее характерный пример задачи математического программирования, отличающейся тем, что исходное управление представляет собой набор параметров u1, ..., uq, a Q, G и Н являются векторными функциями управления U. Если функции Q, G и H линейны, то имеет место широко распространенная и теоретически хорошо разработанная задача линейного программирования, применяющаяся прежде всего для решения вопросов планирования и управления производством в условиях ограниченных ресурсов.

Рассмотрим теперь динамический объект, для которого F – оператор. Тогда управление U представляет собой векторную функцию времени U(t), a Q, G и H являются функционалами. При этом задача (6.6) становится вариационной.

Рассмотрим здесь в качестве примера задачу получений заданного содержания углерода в конвертере за минимальное время в

107

elib.pstu.ru

упрощенной постановке. Допустим, что изменение содержания углерода в конвертерной ванне начиная с момента заливки чугуна описывается дифференциальным уравнением следующего вида:

где y1(t) – содержание углерода в ванне; u1(t) и u2(t) – управляющее воздействие, соответственно u1(t) – интенсивность продувки, u2(t) – положение фурмы; x1(t) – воздействие среды, например, степень чистоты продувочного кислорода или его давление.

Для решения поставленной задачи необходимо минимизировать функционал Q(t)=Q[u1(t), u2(t), x1(t)] в условиях наложения целого ряда ограничений на управления.

Более конкретно задача представляется в следующем виде:

Здесь выражение (6.8) – целевая функция, подлежащая минимизации, а выражение (6.9) – система ограничений. Первое соотношение этой системы накладывает ограничения на интенсивность продувки кислородом, второе – на скорость обезуглероживания в связи с пропускной способностью газоотводящего тракта. Третье уравнение представляет собой модель обезуглероживания, а четвертое – граничные условия (содержание углерода в начале и конце

108

elib.pstu.ru

продувки). Соотношение пятое накладывает ограничение на скорость обезуглероживания в связи со скоростью нагрева, а шестое представляет собой модель нагрева, где скорость нагрева y2(t) описывается как зависимость от скорости обезуглероживания y2(t), положения фурмы u2(t) и потерь тепла в окружающую среду x2(t). Седьмое соотношение накладывает ограничение на положение фурмы в связи с возможностью переокисления шлака и выбросов из конвертера при слишком высоком положении фурмы а6 и опасностью преждевременного выхода ее из строя при слишком низком положении a5.

Естественно, в связи со сложностью процесса не учтен еще целый ряд ограничений, но для понимания задачи достаточно и такой

еепостановки. Количественное решение этой задачи представляет значительные трудности как методического, так и вычислительного характера, поэтому ограничимся лишь упрощенным качественным

ееанализом. На рис. 6.3, б показан график изменения интенсивности продувки по ходу конвертерной плавки и траектория изменения скорости обезуглероживания. Здесь можно видеть, что на первом

участке 0–t1 поддерживается максимальная интенсивность продувки, допускаемая ограничением а2. В этот период наряду с углеродом окисляются также кремний и марганец. Распределение затрат кислорода на окисление этих элементов учитывается в уравнении

(6.7) коэффициентом b1, являющимся функцией их концентраций. При этом содержание двух последних элементов, имеющих большее сродство к кислороду, чем углерод, к концу первого периода доходит практически до следов. В связи с этим практически весь вдуваемый кислород начинает расходоваться на реакцию обезуглероживания, протекающую с большим выделением СО. При этом

начинает действовать ограничение a3, связанное с пропускной способностью газоотводящего тракта. Поэтому на втором участке t1–t2 скорость обезуглероживания за счёт выбора соответствующего зна-

чения u1(t) поддерживается на максимально возможном уровне с учетом ограничения а3. С момента t2 наряду с окислением углерода начинает заметно сказываться накопление кислорода в металле и

109

elib.pstu.ru

шлаке, что приводит к повышению содержания оксидов железа в шлаке. В уравнении (6.7) это отражается через возрастание второго члена левой части. Значительную роль в этот период начинает играть ограничение по синхронизации процессов обезуглероживания и нагрева, которое в свою очередь связано с ограничением на окисленность шлака. Варьируя управляющими воздействиями u1(t) и u2(t), можно свести к минимуму продолжительность продувки, т. е. функционал Q(t).

Таким образом, оптимальное управление динамическим объектом требует решения вариационной задачи, в которой искомые уравнения представляют собой функции времени, а Q, G и Н являются заданными функционалами управления U(t). Аналитически эта задача решается довольно сложно, чаще всего ее стараются свести к задаче математического программирования.

Имеются хорошо разработанные теоретически методы решения этой задачи, однако при их практической реализации чаще всего возникают определенные трудности. Наиболее известными из этих методов являются принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование.

Принцип максимума применяется для динамических объектов, модель которых может быть представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

с заданными начальными условиями при t=0, yi(0)=yi0 и скалярным управлением. В векторной форме эта система записывается следующим образом:

Y& = F (Y,u (t)),

где Y(t) – вектор состояний объекта; F – вектор заданных функций, определяющих модель объекта.

Задача ставится следующим образом: необходимо перевести объект из состояния Y0 в заданное состояние Y*, причем траектория

110

elib.pstu.ru