Моделирование объектов и процессов в металлургии

Y(t) и управление u(t) должны удовлетворять заданным ограничениям и экстремальной цели – минимуму заданного функционала

где f0 (Y (t ), u (t)) – заданная функция.

В качестве такого функционала выбирают обычно затраты на управление. При f0=l получаем Q=T, т. е. время перехода из состояния Y0 в Y*. Принцип максимума позволяет свести эту задачу к задаче максимизации так называемой функции Гамильтона, приводящей из состояния Y0 в какое-то промежуточное (текущее) состояние Y(Т). Это так называемый цикл быстрой оптимизации. Затем решается задача попадания в заданную точку Y* путем выбора соответствующих начальных условий С(c1, ..., cm), для чего минимизируется следующая невязка

Эту задачу решают поисковыми методами (цикл медленной оптимизации), которые требуют больших затрат машинного времени, причем очень резко возрастающих в зависимости от размерности объекта, что ограничивает применимость этого метода.

Метод динамического программирования используется обычно для многоэкстремальных вариационных задач, требующих в принципе для своего решения организации полного перебора. Он позволяет ввести определенную целенаправленность и таким образом значительно сократить полный перебор всех допустимых вариантов управления. В основе этого метода лежит предположение о выполнимости так называемого «принципа оптимальности», заключающегося в том, что оптимальное поведение объекта и дальнейшее управление зависит только от его исходного состояния и не зависят от предыстории попадания в это состояние. Для применимости рассматриваемого метода необходимо иметь модель объекта управления, позволяющую достаточно удовлетворительно предсказывать будущее поведение объекта при определенном управлении.

111

elib.pstu.ru

Общая постановка задачи и вид функционала качества аналогичны предыдущему методу. Идея решения задачи представляется следующим образом. Прежде всего задача дискретизируется, что позволяет рассматривать управление для каждого определенного интервала времени:

Далее для простоты остановимся на случае равноотстоящих единичных интервалов времени, т.е. ∆t=1. Решение ищется начиная с конца процесса (t=T), поскольку, исходя из принципа оптимальности, оптимальное решение, полученное на каком-то отрезке [t1, T], будет «куском» решения исходной задачи на отрезке [0, Т]. На последнем (N–1)-м шаге решается задача попадания в конечную точку состояния yN=y , т.е. определяется корень уравнения

y = yN −1 + f (yN −1, uN −1 ).

На этом шаге нужно удовлетворить граничному условию yN = y .

ϕ − (y − )= f (y − ,u* − ),

N 1 N 1 0 N 1 N 1

где f0 – функция затрат.

Далее, двигаясь от конца (t=T) к началу (t=0), рассматривается следующий (N–2)-й шаг (предпоследний), который, как и все предыдущие, делается из пока неизвестного состояния yN–1. Приращение минимизируемого критерия на этом шаге равно f0 (yN −2 , uN −2 ). В

соответствии с принципом оптимальности необходимо минимизировать сумму затрат на этом и последующем шаге, т.е.

112

elib.pstu.ru

где yN −1 = yN −2 + f (yN −2 ,uN −2 ).

Из этих соотношений находится зависимость оптимальных управлений u*N −2 для данного шага от неизвестных значений yN–2 и

минимальное значение затрат на двух последних (в общем случае на всех последних) шагах:

ϕN −2 (yN −2 )= min f0 (yN −2 ,uN −2 )+ ϕN −1 (yN −2 + f (yN −2 ,uN −2 )) .

Таким образом, двигаясь с конца к началу, предварительно определяют следующие необходимые для дальнейших расчетов функции:

которые характеризуют минимальные затраты при движении из исходного состояния у0 в конечное у* и зависимость оптимального управления каждого шага от его начальных условий.

Далее синтез оптимального управления идет с начального до конечного состояния. Оптимальное управление на первом шаге определяется из условия

а точка оптимальной траектории на первом шаге

y1* = y0 + f (y0 ,u0* ).

Затем, используя полученные выше функции (6.14), имеем

u1* =u1* (y1* ); y2* = y1* + f (y1* ,u1* )

и так далее до

u* − = u* − (y* − ).

N 1 N 1 N 1

В результате определяется оптимальное управление

U * = (u* , u* , L, u* − )

0 1 N 1

113

elib.pstu.ru

и соответствующая ему оптимальная траектория

Y * = (y* , y* ,L, y* − , y* ).

0 1 N 1 N

Метод динамического программирования позволяет достаточно просто учитывать не только ограничения на управления, но и ограничения, накладываемые на оптимальную траекторию, дает возможность находить глобальный минимум при решении многоэкстремальных задач. Однако применимость этого метода ограничивается задачами управления объектами размерности не более 2–3 (по количеству управляющих воздействий), так как объем необходимой памяти за счет многомерности таблиц функций (6.14) увеличивается почти на порядок для каждой единицы размерности. В связи с этим теоретические представления обычно используются для правильной постановки задач оптимизации, их решение чаще всего осуществляется поисковыми методами.

Постановка динамической задачи нелинейного программирования имеет следующий вид:

elib.pstu.ru

a1Laq , b1Lbq – границы неравенств; n – число варьируемых пе-

ременных; m – число конечных уравнений; q – число неравенств; r – порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение поставленной задачи основано на методе координатного поиска, алгоритм которого состоит из следующих операций: определение минимума функции в заданном направлении, выработка команды перехода на новое направление, формирование направления поиска, формирование траектории поиска.

115

elib.pstu.ru

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа состоит из 5 заданий.

1.Описать указанные понятия.

2.Описать один из этапов моделирования.

3.Провести регрессионный анализ экспериментальных данных

свыводом о применимости полученной модели. При выполнении работы используйте приложение.

4.Разобрать метод построения разностных схем и решения сеточных уравнений.

5.Описать метод оптимизации.

Все методы описываются по схеме:

•идея;

•алгоритм;

•достоинства и недостатки;

•область применения.

116

elib.pstu.ru

Варианты условий к заданиям

elib.pstu.ru

elib.pstu.ru

elib.pstu.ru

elib.pstu.ru