Прочность и устойчивость статически неопределимых рам учебно-методи

ма и статически определима. Канонические уравнения будут иметь вид

Рис. 1.4

3. Построим для основной системы (см. рис. 1.4) эпюры изгибающих моментов: MF – от заданной нагрузки; M1, M2 , M3 – от лишних неизвестных, равных единице, и суммарную единичную эпюру M∑ (рис. 1.5).

11

Рис. 1.5

12

4. Вычислим коэффициенты при неизвестных и свободные члены:

13

Сумма всех коэффициентов при неизвестных составит:

равенства следует искать ошибку, выполняя построчные проверки; сумма коэффициентов при неизвестных каждого

уравнения ∑δi =δi1 +δi2 +… должна быть равна δi ∑ =

= ∑∫ Mi M∑ ds. EJ

14

Сумма всех свободных членов

∑∆iF = ∆1F +∆2F +∆3F = −378EJ .

Чтобы проверить правильность вычисления свободных членов, перемножим по способу Верещагина эпюру M∑ на грузовую MF:

5. Решим систему канонических уравнений, подставив найденные значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов в канонические уравнения:

x1, x2 , x3 в систему (1.10) и убедимся, что они найдены верно.

6. Построим эпюру изгибающих моментов (рис. 1.6) по формуле

M = M F +M1x1 + M2 x2 + M3x3.

15

Рис. 1.6

Для проверки построения умножим эпюру M на суммарную единичную МΣ (см. рис. 1.5):

+ 63,5EJ (2 4,5 0,81− 2 1 14,53 − 4,5 14,53 +1 0,81) = −0,1.

16

Равенство (1.7) выполняется приближенно. Условия

тоже выполняются.

7. Для построения эпюры Q рассмотрим каждый стержень в виде простой балки, нагруженной заданной нагрузкой и двумя моментами на опорах. Тогда поперечная сила Q вычисляется по формуле

где Qk0 – поперечная сила от заданной нагрузки;

Mпр, M лев – опорные моменты на правом и левом концах

Для поперечной силы Qk0 и для опорных моментов Mпр, Mлев следует пользоваться принятым правилом знаков.

Эпюра Q показана на рис. 1.6.

Эпюру продольных сил N (см. рис. 1.6) построим путем последовательного вырезания узлов. Вырежем левый верхний узел рамы и приложим усилия, действующие на этот узел (рис. 1.7). Продольные силы N полагаем положительными (растягивающими) и направляем от узла. Поперечные силы направляем по правилу знаков: если поперечная сила положительна, то она

17

вращает отсеченную часть (узел) по направлению движения часовой стрелки.

Составим уравнения равновесия:

∑ X = 4,38 + Nриг = 0, ∑Y = Nст +17,83 = 0.

Отсюда

NF = −4,38 кН, Nст = −17,83 кН.

Опорные реакции заданной системы определяем из уравнений равновесий, приложив к основной системе найденные значения x1, x2, x3, либо по эпюрам M, Q, N. Нарисуем ось заданной системы с нагрузкой (рис. 1.8). В эпюре M у левой шарнирно неподвижной опоры изгибающий момент равен нулю, горизонтальная составляющая реакции равна поперечной силе (4,38 кН) и направлена вправо, т.е. так, чтобы вращать отсеченную часть стойки против часовой стрелки (по правилу знаков поперечной силы).

Вертикальная составляющая реакции равна продольной силе в стойке (17,83 кН) и направлена вверх (продольная сила – отрицательная, сжимает стойку). Все остальные реакции определены так же (см. рис. 1.8). Для окончательной проверки составим уравнение равновесия сооружения.

18

1.3. Расчет статически неопределимых рам на подвижную нагрузку

Для построения линий влияния изгибающего момента, поперечной и продольной сил в каком-либо сечении k воспользуемся формулами:

л.в. Mk = л.в. MkF0 + Mk1 (л.в. x1 ) + Mk 2 (л.в. x2 ) + Mk3 (л.в. x3 ) +…; л.в. Qk = л.в. QkF0 + Qk1 (л.в. x1 ) + Qk 2 (л.в. x2 ) + Qk3 (л.в. x3 ) +…; л.в. Nk = л.в. NkF0 + Nk1 (л.в. x1 ) + Nk 2 (л.в. x2 ) + Nk3 (л.в. x3 ) +…,

где Mki , Qki , Nki – усилия в сечении k от действия xi. Следовательно, для построения линий влияния необходимо

построить линии влияния лишних неизвестных x1,…, xn (рас-

крыть статическую неопределимость). Для этого решаем систему канонических уравнений:

где δiF – уравнения линий влияния перемещений по направле-

нию лишних неизвестных.

Построим линии влияния M, Q, и N в сечении k (при x = 3,6) системы, показанной на рис. 1.3. Основная система и единичные эпюры построены на рис. 1.5.

Коэффициенты δij при неизвестных вычислены ранее. Система канонических уравнений (1.9) примет вид

19

Составим уравнения линий влияния перемещений δiF . Для

этого построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы, перемещающейся по горизонтальным стержням рамы. Когда сила F = 1 находится в первом пролете, эпюра изгибающих моментов имеет вид, показанный на рис. 1.9, а, при нахождении силы F во втором пролете эпюра имеет вид, показанный на рис. 1.9, б. На рис. 1.9 показано также положение центра тяжести эпюр.

Рис. 1.9

Перемножив по способу Верещагина эпюры (см. рис. 1.9) на эпюры M1, M2 и M3, получим:

20