Планирование эксперимента и измерение физических величин

квадрантов отклонений во всех N опытах. Таким образом, данный полином будет достаточно хорошо соответствовать результатам эксперимента.

1.5. Ортогональное планирование эксперимента

Строение матрицы С играет немаловажную роль в алгоритме определения коэффициентов аппроксимирующего полинома. Ее структура будет существенным образом зависеть от значений факторов во всей серии из N опытов. Следовательно, выбирать значения факторов в опытах необходимо специальным образом.

Элемент главной диагонали матрицы С Сii (i-я строка, i-й столбец) можно представить как сумму квадратов значений i-го столбца сочетаний факторов матрицы Х для N опытов:

N

Cii = xiU2 , i = 0, 1, 2, …m.

U =1

Симметрично расположенные относительно главной диагонали элементы матрицы равны между собой, иными словами, матрица С является симметричной.

Cij = Сji , i = 0, 1, 2, …m; j = 0, 1, 2, …m.

Здесь первый индекс показывает номер столбца матрицы Х, второй индекс – номер строки.

Для того чтобы существовала матрица С–1, матрица С мерности (m + 1; m + 1) должна быть невырожденной, то есть определитель этой матрицы не должен быть равен нулю. Такое условие соблюдается, если все m + 1 столбцов матрицы Х линейно независимы друг от друга. Помимо этого, необходимо, чтобы общее количество сочетаний факторов в матрице Х (или число опытов N) было не меньше, чем m + 1. Это является след-

21

ствием того, что для определения m + 1 коэффициента полинома требуется не менее m + 1 уравнений (опытов).

Рассчитанный таким образом вектор-столбец B позволяет составить уравнение функции отклика с m+1 членом. В случае если точность уравнения получилась неудовлетворительной, необходимо использовать уравнение с большим количеством членов и повторить всю процедуру определения коэффициентов снова, поскольку все коэффициенты B будут зависимыми. Эта ситуация имеет место в случае пассивного эксперимента. Вместе с тем если целенаправленно применять активный эксперимент и построить матрицу сочетаний факторов в опытах Х особым образом (т.е. использовать методы планирования эксперимента), то коэффициенты полинома окажутся независимыми.

Таким образом, стратегия построения планов состоит в принципе постепенного планирования – нарастающего усложнения модели. Исследование начинают с простой модели, определяют ее коэффициенты и точность. В случае когда точность не удовлетворяет, планирование и модель усложняются.

Задача планирования заключается в том, чтобы построить матрицу Х так, чтобы матрица С легко обращалась и коэффициенты B определялись независимо друг от друга. Такие требования соблюдаются, если матрица С является диагональной, то есть все элементы, расположенные не на главной диагонали матрицы, равны нулю.

Cij = 0 ; i ≠ j ; i = 0, 1, 2,… m; j = 0, 1, 2,… m

или

22

Тогда обратная матрица выглядит как

В этом случае система уравнений распадается на m + 1 независимое уравнение, а коэффициенты полинома определяются по выражению

1 N

bi = C (xiU YU ) , i = 0, 1, 2,… m.

ii U =1

Если учесть, что Сii определяется как сумма квадратов значений факторов

N

Cii = xiU2 ,

U =1

то коэффициенты определяются как

Требование выполнения условия Cij = Cji = 0 заключается в выполнении условия

23

где i, j – номера столбцов в матрице Х; i = 0, 1, 2,… m; j = 0, 1, 2,… m при i ≠ j.

Каждый столбец матрицы Х можно представить в виде вектора

N

Если Xi Xj = xiU xjU = 0 , то это означает, что скаляр-

U =1

ное произведение двух векторов Хi и Хj равняется нулю, то есть векторы Хi и Хj – ортогональны.

Так как любое скалярное произведение двух различных столбцов в матрице Х должно быть равно нулю, то это условие называется условием ортогональности матрицы Х, а соответствующее ему планирование эксперимента (определение сочетаний факторов) называется ортогональным планированием.

Для ортогонального планирования, учитывая, что x0U = 1,

U = 1,…N,

Таким образом, при ортогональном планировании сумма элементов любого столбца матрицы Х, кроме первого столбца, должна быть равна нулю. Такое правило используется при построении плана эксперимента, когда необходимо определить, каким образом нужно менять значения факторов в опытах. Это правило показывает, что в ортогональном планировании при четном числе уровней, на которых фиксируется каждый фактор,

24

ное количество возможных сочетаний всех n факторов (иными словами, число опытов или число строк в плане) N = 22 = 4. План формируется таким образом, чтобы количество столбцов факторов и их сочетаний соответствовало количеству членов в уравнении. Так, для уравнения

Y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b12 x1x2 + b11x12 + b22 x2 2 – m + 1 = 6.

План ПФЭ 22 будет выглядеть следующим образом:

В первый столбец (i = 0) для всех четырех строк вносится +1. Во второмстолбце (i = 1) задаются единицы с чередованием знаков через один элемент (первое значение –1). Таким образом, сумма элементов столбца будет равна нулю. Третий столбец заполняется чередующимися через два элемента значениями –1 и +1. Их сумма по столбцу также равна нулю. На рис. 1.7 приведено геометрическое представление плана ПФЭ 22 с указанием номеров точек плана в факторном пространстве. Заметно, что все четыре точки плана находятся в вершинах квадрата.

Остальные ячейки заполняются значениями, полученными в результате построчного перемножения элементов предшествующих столбцов. Подобный механизм заполнения таблицы плана гарантирует отсутствие повторений в сочетаниях факторов, а также не позволяет пропустить ни одно возможное сочетание. Столбцы i = 4 и i = 5, соответствующие значениям квадратов факторов, содержат только +1. План данного эксперимента об-

26

3. Для плана ПФЭ 22 сумма квадратов элементов любого столбца

N

xiU2 = 4 = N. U =1

Значит, для планов ПФЭ 2n формулу для определения коэффициентов полинома можно упростить:

При помощи планов ПФЭ 2n возможно найти свободный член уравнения b0, Cn1 = n коэффициентов bi, Cn2 – коэффициентов при различных взаимодействиях двух факторов bij, Cn3 – коэффициентов тройных взаимодействий факторов bijk, …, Cnn = 1 коэффициент b12…n максимального взаимодействия факторов. Суммарное количество определяемых коэффициентов

1+ n + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = m +1 = 22 = N .

План ПФЭ 2n будет насыщенным (если число членов уравнения m + 1 = N) или ненасыщенным (если число членов уравнения или число столбцов плана m + 1 < N). План ПФЭ 2n также является рототабельным, поскольку все точки плана расположены на окружности (сфере или гиперсфере) с постоян-

ным радиусом r = n , измеренным относительно центра плана.

В плане ПФЭ 23 количество факторов n = 3. Для его проведения необходимо выполнить N = 23 = 8 опытов. Уравнение будет содержать до восьми членов:

Y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 + +b23 x2 x3 + b123 x1x2 x3 .

План состоит из восьми строк и восьми столбцов. В четвертый столбец (i = 3) заносятся единицы с чередованием знаков через четыре элемента. В остальном план аналогичен рассмотренному ранее плану ПФЭ22:

28