Планирование эксперимента и измерение физических величин

Прежде определим коэффициенты сокращенного линейного полинома без парных взаимодействий вида

Y ' = b0 + b1x1 + b2 x2

и рассчитаемзначенияотклика Y'1, Y'2, Y'3, Y'4 по этому выражению. Коэффициенты полинома определяются по формулам

После подстановки найденных коэффициентов сокращенный полином примет вид

Y ' = 5 + 0x1 + 0,5x2 .

Значения функции отклика, полученные по данному выражению, представлены в соответствующем столбце плана-таблицы. Заметно существенное расхождение между измеренным Y и рассчитанным Y'. Если точность сокращенного полинома оказалась мала, то, используя результаты предыдущих опытов, возможно сформировать более полный полином вида

Y '' = b0 + b1x1 + b2 x2 + b12 x1x2 .

Так как план ортогональный, то все рассчитанные ранее коэффициенты остаются без изменений. Вычислим коэффициент при дополнительном члене полинома, отражающем совместное влияние обоих факторов

31

Полный полином будет иметь следующий вид:

Y '' = 5 + 0 x1 + 0,5x2 + 1,5x1x2 .

По данному полиному вычисляются значения отклика во всех точках плана (столбец Y'' в плане-таблице). Построенная по данному полиному поверхность будет проходить точно через

все четыре точки плана (|Y''1,2,3,4 – Y1,2,3,4| = 0), по которым были определены коэффициенты. Хотя в иных точках, скажем, в цен-

тре плана (точка 5 в плане, х1 = 0, х2 = 0), рассчитанные и измеренные значения могут отличаться (|Y''5 – Y5| = 3).

1.7. Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ)

Для многофакторного эксперимента, если используется более шести факторов (n > 6), число опытов для планов ПФЭ 2n (N = 2n) получается чрезмерным. Если нет необходимости в определении всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, можно перейти к дробному факторному эксперименту (ДФЭ), который представляет собой часть полного факторного эксперимента. Если, например, необходимо определить только коэффициенты, соответствующие факторам

Y = b0 + b1x1 + b2 x2 + ... + bn xn ,

план ПФЭ 2n даст чрезмерную информацию. При n = 6 потребуется найти n + 1 = 7 коэффициентов, тогда как для плана ПФЭ будет нужно уже N = 26 = 64 опыта.

Данная избыточная информация не является бесполезной (она позволяет более точно определить коэффициенты), однако чаще используют планы ДФЭ 2n–k, где k – показатель дробности плана ПФЭ. При k = 1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем

32

Такой план будет ортогональным, однако в нем присутствуют четыре пары идентичных столбцов. Следовательно, возможно определить лишь четыре коэффициента, которые будут отражать совместное влияние двух идентичных столбцов:

Остальные совместные значения коэффициентов b1 + b23, b2 + b13, b3 + b12 рассчитываются аналогичным образом. Это является следствием того, что полное количество коэффициентов 8 определяется по недостаточному числу опытов 4. Хотя если имеется априорная информация о том, что некоторые из членов уравнения равны нулю (пренебрежимо малы) или заранее известно о величинах некоторых коэффициентов, то коэффициенты могут быть вычленены по отдельности. Так, если b123 = 0, то

Графические представления планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23–1 в факторном пространстве (для трех факторов – трехмерное пространство) изображены на рис. 1.10. План ПФЭ 23 имеет вид куба с восемью точками плана, а допустимые планы ДФЭ 23–1 – проекции этого куба на три базовые плоскости. Иными словами из восьми узлов выбираются четыре (рис. 1.10, а). Также можно выбрать четыре точки из восьми, которые не будут лежать в одной плоскости, и сформировать еще одинплан ДФЭ23–1 (рис. 1.10, б).

34

Численные значения коэффициентов для приведенного ранее полинома:

b123 = b124 = b134 = b234 = b1234 = 0,

b0 = 10 + 8 + 8 + 7 + 9 + 8 + 8 + 6,5 = 8,06, 8

b1 = −10 + 8 − 8 + 7 − 9 + 8 − 8 + 6,5 = −0,69, 8

b2 = –0,69; b3 = –0,19; b4 = –0,19,

(b12 + b34 ) = 10 − 8 − 8 + 7 + 9 − 8 − 8 + 6,5 = 0,06, 8

b13 + b24 = 0,06, b13 + b24 = 0,06.

Если исходя из априорной информации предположить, что

то полином примет вид

Y = 8,06 − 0,69x1 − 0,69x2 − 0,19x3 − 0,19x4 + 0,03x1x2 + +0,03x1x3 + 0,03x1x4 + 0,03x2 x3 + 0,03x2 x4 + 0,03x3 x4 .

Рассчитанные по данному полиному значения представлены в последнем столбце плана ДФЭ 24–1. Видно, что его точность достаточно высока.

1.9. Насыщенные планы первого порядка

Насыщенным планом первого порядка называется план, содержащий n + 1 опыт (точку). Так, для n = 4, N = n + 1 = 5.

Для такого плана полином будет сформирован в виде

37

Подобные полиномы позволяют формировать поверхность отклика, проходящую точно через все опытные точки, по которым были определены коэффициенты полинома. Поскольку точки для планов ПФЭ расположены на границе диапазона варьирования факторов, поверхность отклика пройдет через эти граничные точки. Если рассечь полученную по такому полиному поверхность отклика плоскостью, параллельной оси Y, зафиксировав при этом все факторы, кроме одного, то получится след в виде прямой линии.

При исследовании вероятны ситуации, когда реальная поверхность отклика будет описываться полиномом второго или более высокого порядка. Тогда поверхность, построенная по плану ПФЭ, будет совпадать с реальной в граничных точках, но может отличаться от нее в других точках факторного пространства, скажем, в центральной точке плана (Y0 = Y'0). Следовательно, одним из косвенных признаков недостаточной аппроксимации полиномами для плана ПФЭ будет отличие функции отклика от реальной для центральной точки плана.

Зачастую, в случае многофакторного эксперимента, вероятны ситуации, когда функция отклика будет зависеть в том числе и от квадратов факторов, коэффициенты которых имеют противоположные знаки (например, для «седловидной» поверхности). Тогда, несмотря на то, что такая поверхность носит явно нелинейный характер, результат, полученный по неполному квадратичному полиному плана ПФЭ, будет достаточно близок к результату опыта в центральной точке. При этом расхождения будут возникать для всех остальных точек плана. Поэтому нецелесообразность применения плана ПФЭ определяется наличием нелинейности в какомлибо сечении поверхности отклика. Косвенным признаком неудовлетворительной аппроксимации может служить расхождение значенийY0 и Y'0 дляцентральнойточки плана.

В случае когда невозможно сформировать полином, хорошо аппроксимирующий реальную поверхность для плана ПФЭ, возможно применить следующие способы повышения точности полинома:

39