Промышленные роботы Ч. 2 учебное пособие
.pdfчерез обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы F1, F2 ,…, Fn . Потенциальная энергия в состоянии устойчивого
равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил Fi отклонении от него выражается квадратичной формой вида (4.42).
Элементарная работа всех сил Fs , действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fs rs |
0, |
|
|
|
(4.43) |
|||||
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
где П – приращение потенциальной энергии, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
q |
|
q |
|
q ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
q |
1 |
|
|
q |
2 |
|
q |
3 |
|
|
rs приращение перемещений, |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
rs |
q |
rs |
|
q |
rs |
q . |
|
|
|
|||
|
q |
q |
|
|
|
|
||||||||
|
s |
|
1 |
2 |
q |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях q1 , q2 |
||||||||||||||
и q3 , получаем три уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
rs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fs |
|
|
Q1* , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
q1 |
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
rs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fs |
|
Q2*, |
|
|
|
|
|
(4.44) |
||||
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
q2 |
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
rs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fs |
|
Q3*, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
q3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
q3 |
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Q* , Q* |
и Q* обобщенные силы для системы сил F , |
F ,…, F , уравнове- |
||||||||||||
1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
шивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия q1 q2 q3 0 .
Заменяя в (4.44) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (4.42), получим систему уравнений, определяющих значение координат
q1 , q2 и q3 |
в положении равновесия: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
, |
|
|
C11q1 C12q2 C13q3 Q1 |
|
||||||||
|
C21q1 |
C22q2 |
C23q3 |
Q2* , |
(4.45) |
|||||
|
C q |
C q |
C q |
Q* |
, |
|
||||
|
|
31 |
1 |
32 |
2 |
33 |
3 |
3 |
|
|
причем C12 |
C21 , C23 C32 и C13 |
C31 . |
|
|
|
|
|
|
Решение системы (4.45) имеет вид:
131
|
|
|
* |
|
|
* |
|
* |
|
q1 11Q1 |
12Q2 13Q3 , |
|
|||||||
q2 |
21Q1* 22Q2* 23Q3* , |
(4.46) |
|||||||
q |
Q* |
|
32 |
Q* |
Q* , |
|
|||
|
3 |
31 |
1 |
|
2 |
33 |
3 |
|
где – коэффициенты, определяющие податливость звеньев,
|
|
C |
22 |
C C2 |
|
|
|
|
|
C C |
C C |
33 |
; |
|
|
|
C C |
23 |
C C |
23 |
; |
|
|||||||||||||
|
33 |
|
|
23 ; |
|
|
|
13 32 |
|
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
|||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21 |
|
C C C C |
|
|
|
22 |
|
C C C2 |
|
|
23 |
|
|
C C |
21 |
C C |
23 |
|
|
||||||||||||||||
|
23 |
31 |
|
|
21 |
33 |
; |
|
11 33 |
|
|
|
13 ; |
|
|
|
|
13 |
|
|
11 |
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.47) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31 |
|
C C C C |
; |
|
32 |
|
C C C C |
32 |
; |
33 |
|
|
C C |
|
C2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
21 |
32 |
|
|
31 |
22 |
|
12 31 |
|
|
|
11 |
|
|
11 |
22 |
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
C C |
C C C C C C |
22 |
C C C2 C2 |
C |
33 |
C |
22 |
C2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
22 |
33 |
|
|
21 |
32 |
13 |
31 |
|
|
12 |
|
11 |
23 |
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [2] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол 3 мал, и координаты массы m запишем так: q q1 q2 q3 . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
(4.48)
где Q* обобщенная сила, β коэффициент сопротивления, пропорциональный первой степени скорости движения массы m.
Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически рабочий орган
манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m. |
|
||
Сила Q* действует на все звенья манипулятора, следовательно: |
|
||
Q* Q* Q* Q*. |
(4.49) |
||
1 |
2 |
3 |
|
Коэффициенты Cij в формуле (4.45) будем определять из того, что согласно равенству (4.49) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим, что сначала Q* действует только по координате q1 , затем только по координате q2 инаконецтолькопокоординате q3 , тогдавыражение(4.45) можнопереписать:
132
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
, |
|
|
|
|
||
|
C11q1 0 q2 0 q3 Q |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 q1 |
C22q2 0 q3 Q* , |
(4.50) |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
q 0 q C q Q*. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
33 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Такимобразом, C12 C21 C23 |
C32 C13 |
|
|
C31 0. Используя(4.47), находим: |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
; |
|
|
0; |
|
|
0; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11 |
|
C11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21 |
0; |
|
|
|
22 |
|
|
|
1 |
; |
23 |
0; |
(4.51) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31 |
0; |
|
|
|
32 |
0; |
33 |
|
|
1 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C33 |
|
|||
Коэффициенты 11 , 22 |
и 33 определяют податливость звеньев манипу- |
|||||||||||||||||||||||||
лятора по координатам q1 , q2 |
и q3 соответственно. Выражая податливость зве- |
|||||||||||||||||||||||||
ньев через их жесткость, запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
1 |
, |
(4.52) |
||||||||
|
22 |
|
33 |
|
||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
C3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где C1 , C2 и C3 – жесткостизвеньевпокоординатам q1 , q2 и q3 |
соответственно. |
|||||||||||||||||||||||||
Подставляя (4.52), (4.49) и (4.48) в формулы (4.46), получим: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
1 |
|
mq q , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
q |
|
1 |
|
|
mq q , |
(4.53) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
q |
|
1 |
|
mq q . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:
q q1 q2 |
q3 |
, |
(4.54) |
|
q q1 q2 q3. |
||||
|
В манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу. Чтобы в ко-
нечном итоге определить положение |
массы m, координаты |
которой |
|||
q q1 q2 q3 , достаточно сложить уравнения в системе (4.53): |
|
||||
q C1 C2 |
C3 |
mq q |
(4.55) |
||
C C |
C |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
133
или |
|
|
|
|
q |
1 |
mq q , |
(4.56) |
|
C |
||||
|
|
|
где С суммарная жесткость звеньев манипулятора.
Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.
Преобразуя (4.56), получаем уравнение, описывающее переходный про-
цесс в системе: |
|
|
|
m q |
|
q q 0. |
(4.57) |
|
|||
C |
C |
|
|
Уравнение (4.57) легко решается классическим способом при следующих |
|||
начальных условиях: |
|
|
|
q0 0, q0 v0 , |
(4.58) |
где v0 скоростьрабочегоорганаманипуляторавмоментвыходанаконечнуюточку. Выражение (4.57) представляет собой линейное дифференциальное урав-
нение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
q(t) C*ek1x |
C*ek2x , |
(4.59) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
где |
C* |
и C* произвольные постоянные, |
которые могут быть определены из |
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальных условий при t = 0; k1 |
и k2 корни характеристического уравнения |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m k2 |
|
k 1 0 . |
(4.60) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
Решение уравнения (4.60) будет иметь вид |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|||||||||||
|
|
k |
|
|
|
C |
|
|
|
. |
(4.61) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 m |
|
|
|
||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим произвольные постоянные C* |
|
и C* , решая систему уравнений: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
q(0) |
C1* C2* , |
(4.62) |
||||||||||||
|
|
|
|
q(0) k1C1* k2C2*. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Решение системы (4.62) будет иметь вид |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
* |
|
|
|
q(0) k2q(0) |
|
|
|
||||||||
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
k1 k2 |
|
|
|
|
(4.63) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
C* |
y(0) C*; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
если учесть (4.58), то
134
|
C* |
|
|
v |
||
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
||||
1 |
k1 |
k2 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
v0 |
|
|
C* |
|
. |
||||
|
|
|||||
|
2 |
|
k1 k 2 |
|||
|
|
|
Подставляя (4.64) в уравнение (4.59) и учитывая (4.61), имеем:
-C
q(t) |
|
|
v0 |
|
|
e |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
C |
|
4 |
m |
|||
|
m |
|
|
|
C |
||
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
2 |
|
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
t |
||||
|
|
|
v0 |
|
|
e |
|
|
m |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
2C |
|
||||||||||
|
C |
|
2 |
4 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
m |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.64)
(4.65)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
реальная часть; |
|
|
|
C |
|
|
|
C |
мнимая часть. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда разделяя реальную и мнимую части в (4.65), получим: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
2 |
m |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
C |
|
|
|
4 |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
t |
C |
t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
2m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
q(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2m |
|
e |
|
|
C |
|
e |
|
|
C |
|
|
. |
(4.66) |
||
|
|
C |
|
2 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что
имеем:
q(t)
eix cos x i sin x,
v0
i |
C |
|
2 |
4 |
m |
|
m |
|
|
|
C |
||
|
||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||
e 2mt |
|
|
|
|
C |
|
t i sin |
|
|
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos |
|
C |
|
|
C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.67)
t
(4.68)
Преобразуя выражение (4.68), получим решение уравнения (4.57):
135
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
m |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
q(t) |
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
e |
|
t sin |
|
|
C |
|
|
|
C |
|
t. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
(4.69) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2m |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Прологарифмируем выражение (4.69), предварительно подставив в него |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значение допустимой погрешности позиционирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ln ln v |
|
ln |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
t , |
|
|
(4.70) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где допустимая погрешность позиционирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Преобразуя (4.70), получим выражение для определения времени переход- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного процесса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ln v ln ln |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tп.п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4.71) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования β в модели используются экспериментально полученные зависимости. В частности, коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.
Таким образом, время переходного процесса для данного типа манипулятора при заданных массе и положении рабочего органа определяется по выражению (4.71), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.
Определение коэффициента демпфирования. Источниками возникнове-
ния переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его свободная консоль.
На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в табл. 4.1 и 4.2.
136
Таблица 4.1 Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний рабочего
органа манипулятора МРЛ-901П на консоли
Величина |
|
|
|
|
|
|
смещения |
Период |
Частота |
Логарифмический |
Коэффициент |
Время |
|
рабочего |
колебаний |
затухания |
||||
колебаний |
декремент |
демпфирования |
||||
органа |
рабочего ор- |
, с–1 |
затухания |
кг/c |
колебаний |
|
вдоль кон- |
гана T, с |
|
|
|
tп.п, с |
|
соли ly, мм |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,057 |
17,54 |
0,956 |
369 |
0,6 |
|
175 |
0,067 |
15 |
0,693 |
227,55 |
0,9 |
|
350 |
0,08 |
12,5 |
0,446 |
122,65 |
1,2 |
Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения. Так, при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения = 0,03778 до максимального = 0,0067 (в исследуемых пределах) коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах как на этапе конструирования, так и в процессе его эксплуатации.
Анализ результатов исследований показывает, что смещение рабочего органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, как и увеличение начального натяжения ремня, вызывает уменьшение коэффициентов демпфирования, что существенно (в 2–3 раза) увеличивает время полного затухания собственных колебаний рабочего органа (см. табл. 4.1 и 4.2) и, как следствие, снижает реальную производительность.
Смещение рабочего органа относительно основания и увеличение натяжения ремня приводят также к уменьшению частоты собственных колебаний манипулятора, что должно учитываться при использовании его в технологических процессах, связанных с резонансными явлениями.
Комплексные исследования демпфирующих свойств манипулятора осуществлялись с целью установления численной зависимости коэффициента демпфирования от величины начального натяжения ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли (табл. 4.3). В качестве функции отклика выбиралась линейная модель. Поверхность отклика представлена на рис. 4.29.
Основные уровни и интервалы варьирования выбирались на основе результатов зондирующих экспериментов, а также исследований жесткости и точностных параметров манипулятора МРЛ-901П.
137
138
Таблица 4.2 Результаты исследований демпфирующих свойств модуля линейного перемещения с ременной передачей
Номер |
Номер |
|
параллельного |
||
опыта |
||
|
опыта |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
Период |
Логарифмический де- |
Коэффициент |
Среднее |
||||
Случайный |
Степень |
кремент |
демпфирования |
||||||
колебаний Т, с |
|||||||||
затухания |
кг/c |
время |
|||||||
порядок про- |
начального |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
затухания |
|||
ведения |
натяжения |
|
|
|
|
|
|
||
парал- |
|
парал- |
|
парал- |
|
||||
|
|
|
колебаний |
||||||
опытов |
ремня |
|
|
|
|||||
лельные |
среднее |
лельные |
среднее |
лельные |
среднее |
tп.п, с |
|||
|
|
||||||||
|
|
опыты |
|
опыты |
|
опыты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0,1 |
|
1,15 |
|
460,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,102 |
|
1,23 |
|
482,35 |
|
|
|
12 |
0,03778 |
0,113 |
0,105 |
1,383 |
1,253 |
489,72 |
477,33 |
0,4 |
|
7 |
|
0,108 |
|
1,258 |
|
465,91 |
|
|
|
11 |
|
0,102 |
|
1,244 |
|
488,52 |
|
|
|
4 |
|
0,125 |
|
0,85 |
|
272,12 |
|
|
|
15 |
|
0,128 |
|
0,815 |
|
254,68 |
|
|
|
|
0,02 |
|
0,12 |
|
0,8 |
|
266,67 |
0,45 |
|
10 |
0,117 |
0,756 |
258,3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
0,115 |
|
0,79 |
|
275,08 |
|
|
|
14 |
|
0,115 |
|
0,789 |
|
273,17 |
|
|
|
6 |
|
0,12 |
|
0,486 |
|
162,11 |
|
|
|
5 |
|
0,12 |
|
0,493 |
|
164,25 |
|
|
|
3 |
0,0067 |
0,132 |
0,128 |
0,496 |
0,504 |
150,32 |
157,47 |
0,6 |
|
8 |
|
0,14 |
|
0,544 |
|
155,43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0,128 |
|
0,5 |
|
155,24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.3 |
База данных для построения плана экспериментов |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Наименование фактора |
Условное обо- |
Область |
Основной |
|
Интервал |
|
значение |
определения |
уровень |
|
варьирования |
Начальное натяжение |
X1 |
0...0,04 |
0,02 |
|
0,013 |
ремня |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина смещения |
X2 |
|
|
|
|
рабочего органа манипуля- |
0...350 |
175 |
|
175 |
|
тора вдоль консоли ly, мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.29. Зависимость коэффициента демпфирования
манипулятора МРЛ-901П от начального натяжения ремня
и смещения lу рабочего органа вдоль консоли
Проводилась полная статистическая обработка результатов экспериментов (табл. 4.4), позволившая получить адекватную модель зависимости коэффициентов демпфирования от исследуемых факторов в виде:
290,5 179,5X1 138X2 92X1 X2 . |
(4.72) |
139
Выражение (4.72) позволяет получить численное значение коэффициента демпфирования, необходимое для расчета продолжительности переходного процесса при позиционировании.
Таблица 4.4 Матрица планирования и результатов экспериментов по комплексному
исследованию демпфирующих свойств манипулятора МРЛ-901П
|
|
|
|
|
|
Среднее значение |
|
Вычисленное |
Номер |
Дисперсия среднего |
значение |
||||||
опыта |
X0 |
X1 |
X 2 |
X1 X2 |
коэффициента дем- |
арифметического |
коэффициента |
|
|
|
|
|
|
|
пфирования, кг/c |
|
демпфирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
240 |
64 |
240 |
|
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
|
–1 |
700 |
49 |
700 |
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
|
–1 |
65 |
4 |
65 |
4 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
157 |
16 |
157 |
Экспериментальные исследования времени переходного процесса осуществлялись при помощи комплекта виброизмерительной аппаратуры АВ-44, вибродатчик которой крепился на рабочем органе манипулятора.
Определение жесткости звеньев манипулятора МРЛ-901П. Жесткость звеньев манипулятора МРЛ-901П определялась по экспериментальным замерам деформации консоли манипулятора при действии на нее определенного усилия
(табл. 4.5).
Таблица 4.5
Деформация звеньев манипулятора МРЛ-901П под действием возмущающих сил
|
|
|
|
|
Возму- |
|
Деформация , мм |
|
|
|
по оси X при |
|
|
|
щающая |
|
|
|
|
|
|
|
по оси Y |
|
сила F |
Y = 0 |
Y Ymax |
Y Y |
|
|
|
2 |
max |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0,111 |
0,135 |
0,178 |
0,111 |
20 |
0,206 |
0,234 |
0,390 |
0,206 |
30 |
0,265 |
0,334 |
0,560 |
0,265 |
40 |
0,302 |
0,418 |
0,750 |
0,302 |
50 |
0,345 |
0,507 |
0,930 |
0,348 |
60 |
0,390 |
0,580 |
1,090 |
0,393 |
70 |
0,418 |
0,658 |
|
0,421 |
80 |
0,460 |
0,745 |
|
0,465 |
90 |
0,498 |
0,825 |
|
0,505 |
100 |
0,534 |
0,902 |
|
0,540 |
|
|
|
|
|
140