Основы теории цепей. Часть 1
.pdfМетод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.
При использовании этого метода задача расчета разветвленной электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n цепей с одним источником.
Алгоритм расчета линейной электрической цепи методом наложения:
1.Произвольно задать направление токов в ветвях исследуемой цепи.
2.Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать
вn подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. При этом необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей, и поэтому они должны оставаться в подсхемах.
3.Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника, любым из известных методов. В большинстве случаев расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.
4.Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» – остальные.
К достоинствам метода относят то, что расчет производится по частям, где составляющие тока и напряжения определяются довольно просто. Однако, поскольку решение предполагает произведение множества преобразований, метод не рекомендуется применять для схем, содержащих большое количество источников.
51
Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 2.8, а. Для данной цепи должны быть изображены две расчетные подсхемы (рис. 2.8, б, в). С помощью подсхемы 1 (см. рис. 2.8, б) найдем составляющую I2J по формуле о токах в двух параллельных ветвях:
I2J = J |
|
|
R1 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|||
|
R |
+ R |
+ |
|
R3 R4 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
R3 + R4 |
||||
|
|
|
|
|
Направление тока в подсхеме 1 совпадает с направлением искомого тока.
С помощью подсхемы 2 (рис. 2.8, в) найдем составляющую I2E :
I2E = |
|
E |
|
|
R3 |
. |
||
( R1 |
+ R2 ) R3 |
+ R |
R1 |
+ R2 + R3 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
R1 + R2 + R3 |
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
I2 |
J |
I1 |
R1 |
I3 |
|
|
|
R4 |
|
I4 |
|
R3 |
E |
|
|
|
R2 |
|
J |
I1J |
R1 |
I 2J |
|
I |
J |
|||
|
|
|
3 |
а
R4 |
I4J |
R3 |
R2 |
I2E |
R1 |
I3E |
R4
I 4E
R3 E
б |
в |
Рис. 2.8
Направление тока в подсхеме 2 (см. рис. 2.8, в) противоположно направлению искомого тока. Ток в исходной цепи определится следующим образом: I2 = I2J − I2E .
52
2.3.5. Метод эквивалентного источника напряжения (генератора)
При расчете тока в одной из ветвей разветвленной цепи, содержащей произвольное число источников и потребителей, удобно рассматривать цепь, состоящую из двух частей: искомой ветви и осталь-
ной части. По отношению к рассматриваемой |
|
a |
I |
|
|
|
ветви вся остальная часть цепи является ак- |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
тивным двухполюсником (рис. 2.9), и задача |
А |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||
заключается в определении тока или напряже- |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||
ния на зажимах активного двухполюсника при |
|
|||||
|
||||||
подключении к нему потребителя с сопротив- |
|
Рис. 2.9 |
лением R.
Согласно II закону Кирхгофа ток не изменится, если в цепь, образованную активным двухполюсником и потребителем, включить последовательно два идеализированных встречно направленных источника с одинаковыми ЭДС (рис. 2.10). Величину каждой из них выбираем совпадающей с напряжением UХХ на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода (ХХ), который имеет место
при отключенном потребителе. |
|
E1 = E2 = UХХ . |
(2.19) |
Ток I в цепи с двумя источниками определим методом наложения. Сэтойцельюисточникиразбиваем надвегруппы(рис. 2.11 и2.12):
1. Источники активного двухполюсника и Е1, которые сохраняются в подсхеме (см. рис. 2.11).
53
Согласно II закону Кирхгофа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
′ |
|
′ |
|
|
|
−E1 +UХХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I R −UХХ = −E1 I |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 0, поскольку E1 =UХХ . |
||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Все потребители активного двухполюсника и Е2, которые |
||||||||||||||||||||||
сохраняются в подсхеме на рис. 2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку I′= 0, полный ток I =I″. |
|
|
|
|
|
|
Е2 |
|
|
|
|
|||||||||||
Если |
эквивалентное |
|
сопротивле- |
|
|
|
|
|
a |
I" |
||||||||||||
ние пассивного двухполюсника, образо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ванного коротким замыканием источни- |
|
Rвх |
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ков ЭДС и обрывом ветвей, содержащих |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
источники тока, обозначить через Rвх, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
получим простую одноконтурную схему |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(рис. 2.13), |
которую можно рассчитать |
|
|
|
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
|
|||||||||||
по закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I = I " = |
|
|
|
E2 |
|
= |
UХХ |
. |
|
|
|
|
(2.20) |
||||||||
|
|
R |
+ R |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
+ R |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
вх |
|
|
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула отражает теорему об активном двухполюснике или об эквивалентном источнике напряжения: относительно любой ветви разветвленной электрической цепи вся остальная часть схемы может быть представлена как источник напряжения, ЭДС которого равна UХХ, а внутреннее сопротивление равно Rэкв.
При коротком замыкании (КЗ) ветви с нагрузкой R = 0 ток превращается в ток короткого замыкания:
I |
КЗ |
= |
UХХ |
=U |
ХХ |
G |
|
R |
= |
UХХ |
. |
(2.21) |
|
|
|||||||||||
|
|
Rвх |
вх |
|
экв |
|
IКЗ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры активного двухполюсника можно определить опытным путем. Для этого необходимо разомкнуть i-ю ветвь и измерить UХХ , затем замкнуть накоротко Ri и измерить IКЗ:
Ii = |
UХХ |
. |
(2.22) |
||
UХХ |
+ R |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
IКЗ
i
54
Сопротивление Rвх можно найти расчетным путем, если известна конфигурация цепи и величины сопротивлений.
Алгоритм расчета линейной электрической цепи методом эквивалентного генератора:
1.Отключается потребитель в ветви с искомым током и на разомкнутых зажимах обозначается UХХ по направлению тока.
2.В образовавшейся более простой цепи находится UХХ с помощью II закона Кирхгофа, записанного для любого контура, содержа-
щего UХХ. Токи в ветвях упрощенной схемы определяются любым известным методом.
3.Определяется Rвх на зажимах разомкнутой ветви при условии E = 0 и J = 0. В полученной пассивной цепи пользуются правилами эквивалентных преобразований для потребителей.
4.По найденным UХХ и Rвх определяется ток в искомой ветви, значение которого может быть и отрицательным.
Замечание 1: Rвх можно найти по формуле Rвх =UХХ IКЗ при
условии Ri = 0 любым известным методом.
Замечание 2: если ветвь, в которой определяется ток, содержит источник ЭДС, следует данный источник отнести к активному двухполюснику, отключив только сопротивление Ri. Тогда величина E войдет в расчет UХХ.
Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 2.14, а.
Запишем II закон Кирхгофа для внешнего контура цепи
(рис. 2.14, б):
UХХ + I1хR1 = E1 − E2 , I1х = −J3 .
55
Следовательно, UХХ = E1 − E2 + J3 R1 .
Rвх определим по схеме (рис. 2.14, в), в которой удалены все источники: Rвх = Rэквab = R1 .
Тогда искомый ток
I2 |
= |
UХХ |
= |
E1 − E2 + J3 R1 |
. |
Rвх + R2 |
|
||||
|
|
|
R1 + R2 |
2.4.ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
Типовая задача
|
I1 |
1 |
I3 |
R3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
R1 |
R2 |
|
I2 |
UJ |
|
I4 |
|
|
J |
II |
|||
|
|
|
|
|
||
E1 |
I |
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|||
|
E2 |
|
|
|
III |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.15 \ |
|
|
Для цепи, изображенной на рис. 2.15, задано:
Е1 = 36 В, Е2 = 12 В, J = 8 А, R1 = R2 = 4 Ом, R3 = 1 Ом, R4 = 3 Ом.
Найти: токи I1, I2, I3, I4
и напряжение UJ на источнике тока J. Проверить баланс мощности цепи. Задачу решить различными методами.
Решение.
Метод, основанный на применении I и II законов Кирхгофа
Реализуем алгоритм расчета (п. 2.3.1):
–зададим положительные направления токов в ветвях, как показано на схеме (рис. 2.15);
–схема содержит 3 узла (0, 1, 2), для двух из них (1, 2) составим независимые уравнения по I закону Кирхгофа:
узел 1: |
– I1 – I2 + I3 = 0, |
(1) |
узел 2: |
–I3 – I4 + J = 0; |
(2) |
– схема содержит 3 независимых контура I, II, III (стрелками показаны направления обходов контуров), для каждого из которых запишем II закон Кирхгофа:
56
контур I: –R1I1 |
+ R2I2 = – E1 – E2, |
(3) |
контур II: –R2I2 |
– R3I3 + R4I4 = E2, |
(4) |
контур III: R4I4 – UJ = 0; |
(5) |
– подставляя численные значения и решая совместно уравнения (1) – (4), найдем токи, а из уравнения (5) – напряжение на источнике тока. Окончательно имеем:
I1 = 9 A; I2 = – 3 A; I3 = 6 A; I4 = 2 A; UJ = 6 B.
Составим уравнение баланса мощности цепи:
R1I12 + R2 I22 + R3 I22 + R4 I42 = E1I1 − E2 I2 +U J J .
После подстановки численных значений имеем 408 Вт = 408 Вт, что свидетельствует о правильности расчета.
Метод контурных токов
Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.2:
–схема содержит три независимых контура; при наличии ветви
систочником тока выбираем контуры так, чтобы эта ветвь принадлежала только одному контуру (при таком выборе контурный ток этого контура равен задающему току источника тока); выберем контуры так же, как и в предыдущем методе, а направления контурных токовI11, I22, I33 = J – совпадающимиснаправлениями обходовонтуров;
–уравнения по методу контурных токов:
I: R11I11 + R12 I22 + R13 I33 = E11 , |
(1) |
II: R21I11 + R22 I22 + R23 I33 = E22 , |
(2) |
III: R31I11 + R32 I22 + R33 I33 = E33 . |
(3) |
Численные значения коэффициентов:
R11 = R1 + R2 = 8 Ом; R22 = R2 + R3 + R4 = 8 Ом; R33 = R4 = 3 Ом; R12 = R21 = – R2 = – 4Ом; R13 = R31 = 0; R23 = R32 = R4 = 3 Ом;
I33 = J = 8 A; E11 = – E1 – E2= – 48 B; E22 = E2 = 12 B; E33 = UJ.
Решение уравнений (1), (2) дает I11 = – 9 A; I22 = – 6 A.
57
Из уравнения (3) определяется напряжение на источнике тока UJ = 6 B. Найдем токи в ветвях:
I1 = – I11 = 9 A; I2 = I11 – I22 = – 3 A; I3 = – I22 = 6 A; I4 = I22 + I33 = 2 A.
Метод узловых потенциалов
Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.3:
–схема содержит три узла; в качестве опорного (базисного) выбираем узел 0, тогда подлежат определению потенциалы узлов 1 и 2;
–уравнения для узловых потенциалов:
G11ϕ1 +G12 |
ϕ2 |
= J11 , |
(1) |
G21ϕ1 +G22 |
ϕ2 |
= J22 ; |
(2) |
– расшифруем значения коэффициентов:
G11 |
= G1 +G2 +G3 = |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
=1,5 Ом-1, |
||||||||
|
|
|
|
R2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
R3 |
||||||||||
G22 |
= G3 +G4 = |
1 |
+ |
1 |
= |
4 |
Ом-1, |
||||||||||||
R3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
R4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
G12 |
= G21 = −G3 = − |
1 |
= −1 Ом-1, |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
J11 |
= −G1E1 +G2 E2 |
= − |
1 |
E1 |
+ |
1 |
E2 = −6 А, |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|||
J22 |
= J =8 A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– решая систему уравнений (1) и (2), имеем
ϕ1 = 0, ϕ2 = 6 B;
– по закону Ома определяем токи в ветвях:
I1 |
= |
E1 + ϕ1 −0 |
= |
36 + 0 −0 |
= 9 А, I |
2 = −E2 + ϕ1 −0 = |
−12 + 0 −0 |
= −3 А, |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
R1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
R2 |
4 |
|
||
|
|
I3 |
= ϕ2 −ϕ1 = |
6 −0 |
= 6 А, I |
|
= ϕ2 −0 = |
6 −0 |
= 2 А. |
|||||||
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
R3 |
1 |
|
|
|
R4 |
3 |
|
|
|
58
Метод наложения
Реализуем алгоритм, изложенный в п.2.3.4:
–зададим положительные направления токов в ветвях,
–разобьем заданную схему на три частичных (по количеству источников), в каждой из которых действует только один источник питания (рис. 2.16).
Произведем расчет каждой схемы.
Рассмотрим схему, изображенную на рис 2.16, а. Воспользуемся методом эквивалентных преобразований, в результате схема примет вид, представленный на рис. 2.17. Входное сопротивление
R0 = R1 + R2,3,4,
где R2,3,4 – эквивалентное сопротивление ветвей 2, 3, 4.
R2,3,4 = |
R2 (R3 + R4 ) |
= |
4(1 |
+ 3) |
= 2 |
Ом; |
|||
R2 + R3 + R4 |
4 |
+ 1 + 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
R0 = 4 + 2 = 6 Ом. |
|
|
|
|
|
|
I1E1 |
||
По закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1E1 = E1 = 36 = 6 А. |
R1 |
|
R0 |
6 |
R2,3,4 |
Напряжение на участке 2, 3, 4: |
E1 |
|
|
||
U2,3,4 = R2,3,4 I1E1 |
= 2 6 = 12 В. |
Рис. 2.17 \ |
59
Токи:
I |
E |
= |
U |
2,3,4 |
= |
12 |
= 3 А; I |
E |
= I |
E |
= |
U |
2,3,4 |
= |
12 |
= 3 |
А. |
||||
2 1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
4 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R2 |
4 |
R3 |
+ R4 |
1 |
+ 3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проанализируем схему, изображенную |
I2E2 |
|
на рис. 2.16, б. После преобразования схема |
||
примет вид, представленныйнарис. 2.18. |
|
|
Входное сопротивление относительно |
R2 |
|
зажимов источника Е2: |
R1,3,4 |
|
Rэкв = R2 + R1,3,4, |
E2 |
|
|
||
где R1,3,4 – эквивалентное сопротивление |
Рис. 2.18 |
|
первой, третьей и четвертой ветвей. |
||
|
R1,3,4 |
= |
R1 (R3 + R4 ) |
= 2 Ом, I2E2 = |
|
E2 |
= |
|
|
12 |
|
= 2 А, |
||||||||||
|
R2 |
|
|
4 + |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
R1 + R3 + R4 |
|
|
+ R1,3,4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U1,3,4 |
= R1,3,4 I2E2 |
= 2 2 = 4 В. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Токи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 2 = |
U1,3,4 |
= |
4 |
= 1А; |
I3 2 |
= I4 2 = |
|
U1,3,4 |
= |
4 |
|
= 1 А. |
|||||||||
E |
|
|
|
E |
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
R1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
R3 + R4 |
|
|
|
|
1 + 3 |
|
Преобразуем схему (см. рис. 2.16, в) в схему, представленную на рис. 2.19.
Эквивалентное сопротивление ветвей 1, 2, 3:
I |
J |
I |
J |
R1,2,3 = R3 + |
R1R2 |
= 1 + |
4 |
4 |
= 3 |
Ом. |
3 |
4 |
R1 + R2 |
4 + 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R1,2,3 |
|
|
|
Эквивалентное сопротивление относи- |
||||||
|
J |
R4 тельно зажимов источника тока: |
|
|
R = |
R1,2,3 R4 |
= |
3 |
3 |
= 1,5 Ом. |
|
экв |
R1,2,3 |
+ R4 |
|
3 + 3 |
|
|
Рис. 2.19 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
60