Виброакустическая диагностика технических объектов

В случае гармонической модулирующей функции по виду колебательного процесса и по его спектру нельзя заключить, с какой модуляцией имеем дело, с частотной или фазовой. Различие между ними проявится лишь в результате изменения частоты модуляции.

При частотной модуляции величина девиации ∆ω не изменится, а при фазовой модуляции изменение ∆φ будет прямо пропорционально изменению частоты модуляции Ω. В действительности исследуемые колебательные процессы часто являются модулированными одновременно как по амплитуде, так и по частоте (фазе). При этом обычно нарушается симметрия спектра, но отличить один вид сложной модуляции от другого при помощи анализа спектров весьма трудно, а часто и невозможно.

Современные методы теории аналитического сигнала [6] позволяют выделить (демодулировать) из колебательного процесса его мгновенную амплитуду (огибающую) A(t), мгновенную фазу φ(t) и мгновенную частоту ω(t). Для получения этих мгновенных функций необходимо с помощью интегрального преобразования Гильберта преобразовать исходный процесс x(t),

где интеграл понимается в смысле главного значения.

Преобразование Гильберта можно осуществить, например, если на вход фильтра с импульсной характеристикой (πt)−1 подать сигнал, определяемый функцией x(t) [6]:

Физический смысл интегрального преобразования Гильберта для сигнала, представленного в частотной области, заключается в фазовом сдвиге всех спектральных составляющих исходного сигнала на π/2. Двойное преобразование Гильберта приводит к исходному процессу, но только с обратным знаком, т.е. осуществляет сдвиг исходного сигнала на π.

Используя понятие аналитического сигнала

можно однозначно определить мгновенные амплитуду (огибающую), фазу и частоту процесса [6]:

4.4. Спектральный анализ

Спектральный анализ – один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Важную роль в спектральном анализе играют методы статистики, поскольку виброакустические сигналы, как правило, представляют собой смесь шумовых и периодических составляющих [14]. Поэтому по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра.

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея: почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами A, периодами T (частотами ω)) (рис. 4.31). Нижняя часть рисунка есть иллюстрация одного из основных принципов ПФ: спектр суммарной функции времени равен сумме спектров ее гармонических составляющих.

Рис. 4.31. Представление прямоугольного импульса суммой гармонических составляющих

102

Спектр является важнейшей характеристикой сигнала и отражает все его свойства. Зная спектр, можно восстановить сигнал. В этом смысле представления сигнала в виде функции времени и в форме спектра (в виде функции частоты) равнозначны. Но для решения конкретной задачи бывает удобнее то или другое представление сигнала, поэтому рассматривают его в двух аспектах: во временном и спектральном.

Говоря о равнозначности спектра и временной формы сигнала, подразумевают комплексный спектр, т.е. спектр амплитуд и фаз. На практике, говоря о спектре, чаще всего имеют в виду спектр амплитуд. По спектру амплитуд нельзя восстановить первоначальную форму сигнала, однако амплитудный спектр обычно вскрывает такие свойства сигнала, ради которых и прибегают к спектральному представлению.

Следует отметить, что формулы (4.33), (4.34) и (4.36) справедливы только для периодических сигналов. Но это ограничение несущественно (и это можно доказать в достаточно строгой форме). Поскольку любой сигнал s(t) существует на конечном интервале времени 0 ≤ t ≤ T и интересует его форма только на этом интервале, то ничто не мешает считать его периодическим вне указанного интервала. Можно предположить, что

Интервал (0,T), на котором задан сигнал, рассматривается как один из его периодов, вне которого форма сигнала повторяется. Но возможен и другой подход, при котором считается, что до момента времени t = 0 сигнала не было, вернее он был равен нулю, а также и после момента t = T он стал равен нулю. При таких предположениях суммы в формулах (4.31) и (4.34) следует заменить интегралами. Ряд (4.35) переходит в интеграл

В общем случае, когда не уточнено значение T, спектральная плотность записывается в виде

−∞

Соотношения (4.35) и (4.36) являются соответственно прямым и обрат-

ным преобразованием Фурье. Функция S(ω) называется спектральной плот-

ностью. Ее модуль |S(ω)| характеризует распределение интенсивности гармонических составляющих сигнала s(t) по частотам.

104

4.5. Кепстральный анализ

При применении методов, относящихся к определению кепстров, учитываются функции, которые можно рассматривать как «спектры логарифмических спектров». По существу понятие кепстра было введено уже в 1963 г.

Всвязи с дефиницией кепстра мощности как «спектра мощности логарифмического спектра мощности» [14]. Кепстр мощности был предложен в качестве более эффективной альтернативы автокорреляционной функции при обнаружении эха в сейсмических сигналах. Поскольку соответствующая функция по определению отображала спектр спектра, авторы работ [7, 10] воспользовались терминологической аналогией и согласно термину «спектр» придали этой функции название «кепстр». Аналогичным образом возникли и термины

«квефренция» (quefrency), «рагмоника» (rahmonic), «лифтр» (lifter), «гамни-

туда» (gamnitude) и «сафе» (saphe), основанные на аналогии с английскими терминами для частоты (frequency), гармоники (harmonic), фильтра (filter), модуля (magnitude) и фазы (phase). Термины кепстр, квефренция и рагмоника нашли широкое применение и используются в данном разделе. Относительно часто используются и термины, относящиеся к лифтру (лифтрация, пролифтрованный и т.п.) и указывающие на процесс фильтрации в кепстральной области. Отметим, что упомянутые выше термины приняты фирмой Брюль и Кьер и учтены как в конструкции двухканальных анализаторов сигналов 2032 и 2034, так и в соответствующей технической литературе.

Однако самая важная особенность кепстра заключается не в том, что он представляет спектр спектра, а в логарифмическом преобразовании исходного и подвергаемого дальнейшей обработке спектра. Отметим, что автокорреляционную функцию, определяемую на основе собственного спектра мощности путем обратного преобразования Фурье, также можно рассматривать как «спектр спектра». По существу, используемая в настоящее время дефиниция кепстра определяет кепстр мощности как «обратную трансформанту Фурье логарифмического спектра мощности». Различие между этой дефиницией и дефиницией автокорреляционной функции заключается лишь в логарифмическом преобразовании исходного спектра.

Ситуацию, в которой кепстр более эффективен, чем автокорреляционная функция, иллюстрирует рис. 4.32. На рис. 4.32, a показан определенный спектр мощности в логарифмическом и линейном масштабе (разумеется, что линейная шкала амплитуды проградуирована в единицах возведенной в квадрат амплитуды). На рис. 4.32, б, в показаны результаты обратного преобразования Фурье, т.е. соответственно автокорреляционная функция и кепстр.

Впредставленном спектре в логарифмическом масштабе (см. рис. 4.32, а) видны серии гармоник (обусловленные дефектом шарикоподшипника гармоники). Присутствие этих серий гармоник легко обнаружить по кепстру на

105

рис. 4.32, в, содержащему соответствующие рагмоники (отдельные рагмоники обозначены символами 1, 2 и т.д.). Соответствующую информацию весьма трудно получить на основе показанной на рис. 4.32, б автокорреляционной функции, форма кривой которой почти совершенно определена двумя наибольшими пиками исходного спектра, т.е. пиками, преобладающими при представлении этого спектра в линейном масштабе.

Рис. 4.32. Спектрмощностивлинейномилогарифмическоммасштабе(а), автокорреляционнаяфункция(б) икепстрмощности(в) практическогосигналаамплитуды

Кепстр, определенный на основе спектра мощности, в настоящее время называется «кепстром мощности». Другим видом кепстра является введенный недавно «комплексный кепстр». Так как комплексный кепстр определяется на основе комплексного спектра, в нем учтена информация как о лога-

106

рифме, так и о фазовом угле. Следовательно, комплексный кепстр можно преобразовать назад в исходный сигнал во временной области, в то время как кепстр мощности допускает обратное преобразование в спектр мощности. Отметим, что исходная дефиниция кепстра исключала возможность его обратного преобразования. Обработка кепстров, в частности модифицирование (редактирование) комплексных кепстров, является примером «гомоморфной» обработки сигналов.

4.5.1. Дефиниции и методы определения кепстров

Согласно исходной дефиниции кепстр мощности определен выражением

в котором (двусторонний) спектр мощности SAA(f) сигнала a(t) задан выражением

причем штрихом отмечено усреднение по ансамблю определенного числа реализаций (усреднение осуществляется по мере надобности).

С учетом новой и используемой в настоящее времени дефиниции определяющее кепстр мощности выражение имеет вид

Ниже будет показана целесообразность применения соответствующего аналитического сигнала, определяемого на основе логарифма (одностороннего) спектра мощности TAA(f) по выражению

где ГAА(f) = 2 log SAA(f) приf >0; ГAА(f) = log SAA(f) при f = 0; ГAА(f) = 0 при f <0.

Современные спектроанализаторы определяют кепстры на основе выражения (4.44). Отметим, что действительная часть ĈАА(τ) идентична САА(τ), определенному выражением (4.42).

При сравнении выражений (4.41) и (4.43) вопрос о прямом или обратном преобразовании Фурье носит лишь формальный характер. Так как спектр мощности SAA(f) является вещественной четной функцией, кепстр мощности также является вещественной функцией. Следовательно, прямое и обратное преобразования Фурье дают идентичные результаты (однако при применении дискретного преобразования Фурье учитываются отличающиеся друг от друга масштабные коэффициенты). Единое различие заключается в определяемой выражением (4.41) операции возведения в квадрат, которая обусловлива-

107

ет необратимость соответствующего процесса и придание наибольшего веса наибольшим значениям. Такое взвешивание не всегда целесообразно, так как наибольшие значения обычно соответствуют наименьшим значениям квефренции и часто менее важны чем значения, присущие средним и большим значениям квефренции. Обратное преобразование Фурье в выражении (4.43) упрощает как связь кепстра с автокорреляционной функцией, так и переход от функции частоты к функции времени. Следовательно, параметр τ в выражениях (4.41) и (4.43) по существу является параметром с размерностью времени, несмотря на его название «квефренцией». В случае автокорреляционной функции параметр τ также является параметром с размерностью времени, но его нужно рассматривать как параметр задержки (или параметр периодичности), а не как параметр абсолютного времени.

Комплексный кепстр определен выражением

в котором А(f) является комплексным спектром сигнала a(t), т.е.

А( f ) = F {a(t)} = AR ( f ) + jA1 ( f ),

при представлении с помощью действительной и мнимой частей (см. выражение (4.40)) или

припредставлении спомощью модуля (абсолютного значения) и фазового угла. В результате (комплексного) логарифмического преобразования выра-

жения (4.46) получается выражение

Определенная выражением (4.47) комплексная функция частоты, действительная и мнимая части которой образованы соответственно логарифмом амплитуды и фазовым углом, подвергается при применении выражения (4.45) обратному преобразованию Фурье, в результате которого получается комплексный кепстр.

Нужно подчеркнуть, что в случае действительно значимого сигнала a(t), т.е. в большинстве практических ситуаций, комплексный спектр A(f) является сопряженной четной функцией, откуда следует: АR(f) является четной функцией, A1(f) – нечетной функцией; |A(f)|, ln |A(f)| – четные функции, ln (f) – нечетная.

Следовательно, lоgА(f) является сопряженной четной функцией, а комплексный кепстр СА(τ) является вещественной функцией, несмотря на его название – комплексный кепстр.

108

4.5.2. Свойства кепстров

Ранее (см. рис. 4.32) был рассмотрен пример, иллюстрирующий возможность обнаружения с помощью кепстра периодических составляющих логарифма соответствующего спектра, например, серий гармоник и/или равномерно распределенных боковых полос, которые не обнаруживаются на спектральной характеристике сигнала.

Рис. 4.33. Модель сигнала с эхом, созданная путем свертки

Появление боковых полос в кепстре (серии гармоник) периодичности логарифма спектра может быть объяснено присутствием эха в несущем сигнале. На рис. 4.33 показана модель сигнала с эхом, созданная путем свертки исходного сигнала (рис. 4.33, а) с двумя дельта-функциями (рис. 4.33, б), т.е. сединичным импульсом в начале и с соответствующим ослаблению и временной задержке эха бесконечно узким импульсом с уменьшенной амплитудой в соответствующей моменту τ точке. Согласно теореме свертки, спектр показанного на рис. 4.33, в сигнала с эхом равен произведению спектров соответственно исходного сигнала (см. рис. 4.33, а) и образуемого двумя дельта-функциями сигнала (см. рис. 4.33, б). Упомянутый последним спектр можно определить на основе аналогии с комплексным сигналом во временной области, обладающим тем же спектром. На рис. 4.33, г показано, что такой сигнал образован составляющей постоянного тока с единичной амплитудой и фазором, вращающимся с пропорциональной τ скоростью (т.е. с периодом 1/τ в области изображений). Амплитуда, отображающая упомянутый сигнал (комплексной) функции, периодически изменяется вокруг равного единице среднего значения, а ее фазовый угол периодически изменяется вокруг нулевого значения. Умножение на эту функцию рав-

109

носильно сложению логарифма спектра спериодической функцией и аналогичному сложению фазового угла с другой периодической функцией с тем же периодом. Сказанное иллюстрирует рис. 4.34, на котором показан отклик механической конструкции на повторяющиеся удары. В присутствии эха (в результате двукратного удара) как логарифмический спектр амплитуды, так и фазовый спектр имеют периодический характер, причем частота этой периодичности (18,8 Гц) соответствует временной задержке эха (53 мс). При этом импульсный сигнал возбуждения с эхом – второй импульс с временной задержкой 53 мс (см. рис. 4.34, б), в отклике системы на импульсное возбуждение второго импульса эхопочти незаметно.

Рис. 4.34. Пример сигналов с эхом в механической системе: а – импульсный сигнал возбуждения с эхом; б – временной сигнал отклика системы на импульсное возбуждение

Присущие сигналу возбуждения и сигналу отклика кепстры мощности показаны на рис. 4.35. Легко видеть, что эху соответствует пик при соответствующей временной задержке квефренции (и несколько рагмоник с малыми амплитудами). На рис. 4.35 также показаны соответствующие автокорреляционные функции, предусмотренные для сравнения и подтверждающие их малую эффективность при обнаружении эха в сигнале.

Другим важным свойством кепстров, способствующим их широкому практическому применению, является обеспечиваемая ими возможность выделения эффектов, связанных с источниками и путями распространения сигналов, т.е. возможность «разложения свертки». Связь между сигналами на входе и выходе идеальной физической системы можно во временной области описать выражением

110