Планирование эксперимента в химической технологии

для q = 0,05. Поэтому гипотеза о согласованности мнений экспертов принимается. Гистограмма результатов ранжирования приведена на рис. 4. Из рисунка видно, что сумма рангов изменяет­ ся неравномерно, и поэтому одним из решений может быть включение в план основного эксперимента четырех факторов (х3, xlt х2, х5) и исключение х4 и хв. Однако более осторожный подход требует тща­ тельного изучения широкого круга факторов с помощью, например, метода случайного баланса.

§ 6. Дисперсионный анализ

Информация предварительного эксперимента, полу­ ченная при наладке лабораторной установки, позволяет оценить все или большинство статистических характеристик переменных объекта исследования. Эти сведения являются важными для иссле­ дования, но их недостаточно для постановки основного эксперимен­ та. Значительно больших результатов можно ожидать от предва­ рительных экспериментов, поставленных по определенным планам

на объекте исследования или, как говорят, по активному экспери­ менту. К числу методов активного экспериментирования принадле­ жит дисперсионный анализ.

Исследование влияния различных факторов на изменчивость средних значений наблюдаемых случайных величин и их количест­ венная оценка являются задачей дисперсионного анализа. Для по­ яснения сути дисперсионного анализа рассмотрим такую ситуа­ цию. На экспериментальной установке выпускается продукт с определенным (измеряемым) качеством. Исследователь знает, что качество продукта изменяется, но не знает причин, приводящих к этому, то ли это связано с изменением добавки к сырью, то ли это влияние случайных факторов.

Причину изменчивости качества продукта можно определить, зная оценки дисперсий случайной составляющей и влияния фак­

тора.

Это типичная задача дисперсионного анализа — разложение сложной дисперсии на составляющие и оценка этих дисперсий. Дисперсионный анализ широко используется как основной инстру­ мент в решении подобных задач, или как вспомогательный — при анализе математических моделей объектов, полученных на осно­ вании пассивного или активного эксперимента.

Математически задача дисперсионного анализа ставится следую­ щим образом: пусть мы наблюдаем N независимых случайных ве­

Это означает, что на каждую из переменных yt действуют только случайные воздействия или, другими словами, средние уъ у2,

щественном различии между средними значениями переменных в

серии.

Применительно к задаче, изложенной выше, дисперсионный ана­ лиз можно представить так. Влияние добавки х на качество продук­ та у можно выявить, если изменять ее согласно определенной схеме. ПредпОД°жим» что фактор х может принимать значения xlf х2,

ху, равноотстоящие друг от друга. Эти значения называются уровнями фактора х. На каждом уровне фактора х будем проводить

4. Находят отношение дисперсий по формуле (39) и оценивают влияние фактора на переменную состояния.

Пример 10. Исследовалось влияние добавки диоксида марган­ ца (фактор X) на качество стыкующего герметика, измеряемого в некоторых единицах. Добавка изменялась по уровням с шагом 0,25. Каждый опыт повторялся четыре раза. Результаты эксперимента в условных единицах и расчеты, необходимые для дальнейших оце­ нок, приведены в табл. 7.

Решение. Производим вычисления:

Определяем дисперсии:

= 15).

Таким образом, можно считать, что при заданном 5%-ном уров­ не значимости влияние добавки на качество продукта существен­ но. Рассмотренный пример показывает эффективность дисперсион­ ного анализа в исследованиях технологических процессов.

Многофакторный дисперсионный анализ используется для оцен­ ки влияния нескольких факторов на переменную состояния, на­ пример, при сравнении работы нескольких лабораторных установок, при выборе методов исследования и т. д.

Широко применяют дисперсионный анализ для оценки влияния различных неоднородностей. Например, в [41] используются слож­ ные схемы с ограничениями на рандомизацию, оценкой эффектов взаимодействия между факторами, учетом неравного числа парал­ лельных опытов.

Дисперсионный анализ также является составной частью мето­ дов планирования эксперимента, которые изложены в гл. III.

§ 7. Метод случайного баланса

Метод ранговой корреляции позволяет обработать мнения специалистов о переменных объекта исследования и распо­ ложить их в порядке убывания влияния на переменную состояния. Однако при некоторых видах ранжировочных кривых (см. рис. 3, б, в) вопрос включения переменных в план основного экспе­ римента остается нерешенным. Метод случайного баланса позволяет решать и такие задачи. Идея метода заключается в постановке экспе­ римента по определенному плану и выделении из общего числа фак­ торов xt>а также их взаимодействий xtxh i Ф / (в общем эффектов) определенного числа значимых эффектов. Остальные эффекты отно­ сят к случайной составляющей объекта или шумовому полю.

Этот метод обладает высокой разрешающей способностью отсеи­ вания, т. е. позволяет выделить доминирующие эффекты (если они есть) из общей совокупности эффектов. Планы эксперимента (сверх­

т. е. число оцениваемых эффектов п должно быть больше общего числа опытов. Это значит, что число степеней свободы / становится отрицательной величиной.

Из условия (50а) видно, что чувствительность метода случайно­ го баланса невысока и поэтому он не может быть использован для получения математической модели.

Алгоритм метода случайного баланса содержит ряд эвристиче­ ских приемов, поэтому лучше всего его изложить на иллюстрирую­ щем примере (без расчетов), рассматривая следующие этапы отсеи­ вания факторов.

Построение матрицы плана. В плане эксперимента по методу случайного баланса исследуемые переменные варьируются на двух уровнях — максимальном (+) и минимальном (—). Предположим, что при ранжировании факторов получена гистограмма, содержа­ щая десять факторов в определенной последовательности. Разобьем факторы гистограммы на две части: хъ х3, х4, х2, х5 и х8, х7, хбУ хд, х10. Число факторов в группе обычно не должно превышать шесть.

Для каждой группы строят матрицу плана, число опытов в ко­ торой обычно принимают равным 8, 16, 32 и так далее, т. е. крат­

ное 2п.

Во всех опытах каждый фактор должен поровну «побывать» на верхних и нижних уровнях. Уровни в столбцах могут быть рас­ пределены по таблице случайных чисел. Чаще всего, однако, для построенияпланов отсеивающих экспериментов используют слу­

вий. Диаграммы рассеяния строят так: по оси абсцисс откладывают значения факторов для уровней (+) и (—), а по оси ординат — значения переменной состояния (рис. 5).

В каждом столбце х{ диаграммы рассеяния размещены все 16 значений выходной переменной, которые разбиваются на две груп­ пы. Одна из них соответствует тем опытам, где фактор был на ниж­ нем уровне, другая группа — где фактор находился на верхнем.

Среди опытных данных на каждом уровне находят медиану (ме­ дианой называется линия, по обе стороны которой лежат равные числа точек). Разность между медианами двух уровней характери­ зует качественное влияние фактора xL на переменную состояния.

Таким образом, построение диаграммы рассеяния позволяет ви­ зуально выделить наиболее значимые факторы, применяя для этого разность между медианами. Для этой же цели используют так назы­ ваемые «выделяющиеся точки» в нщкней и верхней частях диаграм­ мы рассеяния. Для фактора хх их число равно: 6 + 6 = 12, для фак­ тора х3 : 3 -f- 5 = 8, для фактора х10: 1 + 2 = 3 и т. д. На рис. 5 группы выделяющихся точек отмечены фигурными скобками.

Последовательное выделение существенных факторов. Для коли­ чественной оценки факторов нужно отделить значимые факторы от