- •Выполнил:
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •Z ai |ф*ФА = /ф* cosxdx’ к = 0,4,
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Результаты расчётов
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •2.1. Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Алгоритм решения
- •Результаты расчетов
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •3.1. Явная разностная схема
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •Разрешающие соотношения
- •Программа 3.2
- •Реализация алгоритма
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
разложения для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; для ука занной последовательности определить погрешности аппроксима ции; исследовать зависимость погрешности аппроксимации от дли ны h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксимации; оценить быстродействие вычислительной программы.
Разрешающие соотношения
Для повышения порядка аппроксимации функции cos х система функций (1.15) на каждом из сегментов дополняется кусочно-не
прерывными полиномами1 |
четвёртой степени (рис. 1.20): |
|
Ч>м (*) = (*/ -* )/А , |
|
|
Ф/-1/2(*) = - 4 ( * |
- tx ~ x ,)/h 2, |
|
Фы/2(*) = “4 (х - х,_, ){х- x,_l/2 \x - x ,) /h 2, |
(1.16) |
|
ф 'i/2(х )= - Н х - х,_, )(*- *м/2f (х - х, )/h2, |
|
|
Ф/(^) = (^ - |
)/* - |
|
Рис. 1.20. Кусочно-непрерывные полиномы четвертой степени на сегменте [0, я]
1Общее число пробных функций п = 4т+ 1.
Это, в свою очередь, требует вычисления дополнительных инте гралов для формирования системы уравнений (1.3):
я 2 х>
/ф ' 1/2 (*)ф, (*)<& = ТГ J(* - *М )(* - *,-|/2 Д * - ) 2^ =
П” .
_2_ (■* —xiУ , 2h(x-xif |
| 5А2(дг-дг,)4 |
| А3(дс-дг,.)3 |
- |
h |
■ Г~ ■ |
||||
А3 |
6 |
5 |
|
16 |
12 |
|
— , |
1= 1,т: |
|
|
|
|
120 |
|
|||||
|
п |
|
2 Х‘*Р |
- Xi+1/2 |
|
-*,41 )2<& = |
|
||
|
/фГ+1/2(*)ф,■(*)<& |
= 7 1 |
J ( * _Х1)(х |
|
|
||||
|
п |
|
ft |
|
|
|
|
|
|
2_ (-У--У,+|)6 , 2//(jc- |
JC,+I )s |
t 5h2(x -x M У | hz{x-xM)3 |
_A^_ |
||||||
h3 |
6 |
5 |
|
16 |
|
|
12 |
|
120’ |
|
|
|
i = 0,/w -l; |
|
|
|
|
||
|
я |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|ф '|/2 (*)ф,-1/2 (*№ = 74 |
|( X “ *i-l )2 (* " X i-\J2 f(X~Xif < b = |
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
_8_ (дг-дг,)7 |
| А(дс—дг,.)6 | 13А2(дг-дг,.)5 | ЗА3(х-д:,.)4 |
| A4(.t-x,)3 |
_A^ |
||||||
A4 |
7 |
2 |
20 |
8 |
|
12 |
|
105’ |
|
|
|
|
|
/ = l,m; |
|
|
|
|
|
П g Jf,
/фм/2(*Ж-|/2 |
= 7 7 |
J(* “ x i-l У(*- |
|
П |
|
ft |
|
{x-x._V2f |
|
|
|
В |
|
12 |
64 |
|[ф'|/2 (*)f dx = T |
i \ X~ */-l |
||
о |
h |
*ы |
|
X i-V 2 У ( х ~ |
X i )2^ |
= |
"н |
и" |
;э| |
II О |
||
тн |
|
|
x -x ,fd x =
-X , - J
9
*■'(•^-^м/г)7 ! Л4 14
|
1 |
х1 J* <7 |
^ |
-------- |
|
ю |
|
г |
|
оо ° |
>*| |
-1
= |
А5 |
. |
. |
2520 |
, 1=1,т; |
||
|
|
|
=-p-{(4jc3 -2 4 A)COSA + (A4 -12A2)sin A -
-(2JC/_1/2 + jt,_, + A,.)[(3A2 - 6)cos x + (A3 - 6*)sin x\ +
+(A2_i/2 +2A'|._]/2JC/_I + 2X,._1/2A. + A,._JA, ) [2ACOS A + (A2 -2)sin A]-
~ { X i - \ X f - V 2 + X ? - V 2 X i + 2 A /_ 1A/_ 1 2 A J )(cOS A + A sin A ) + Ay_, A A( sin A } ' =
= |
48-A2 , |
v 5Л2 -48 / . |
\ |
. -j— |
--------(cos A;-_. + cos A-) |
------- 5— (sin A(_, -sinAj, |
i = \,m, |
||
|
2h |
h |
|
|
Система 4ш + 1 линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ai,i = 0,m, разложения (1.2) получается после подста новки значений интегралов в выражение (1.3). Матрица коэффициентов и правая часть этой системы уравнений принимают вид
Л/3 |
А/З |
—А2/30 |
А3/120 |
А/6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
“ |
А/3 |
8А/15 |
0 |
A3/l 05 |
А/З |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-А2/30 |
0 |
2A3/l 05 |
0 |
а2/зо |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А3/ 120 А3/105 |
0 |
А5/2520 |
А3/120 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
h/в |
А/З |
Л2/30 |
Л3/120 |
2А/3 |
А/З |
- а2/зо |
А3/120 |
А/6 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
А/З |
8Л/15 |
0 |
А3/Ю5 |
А/З |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
- а2/зо 0 |
2А3/105 |
0 |
л2/зо |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
А3/120 |
A3/l05 |
0 |
А5/2520 А3/120 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Л/6 |
А/З |
а2/зо |
А3/120 |
2А/З |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
А/З |
(l-cosA )/A |
|
- 4 (l + cosA)/A+8sinA/A2 |
|
(2A2 —24) (1-cos A)/A2 + 12sinA/A |
|
|(48-A 2)(l + cosA)/2A + (5A2-48)sinA/A2 |
| |
-(l-2cosA+cos2A)/A |
|
< -4(cosA + cos2A)//?-8(sinA- sin2A)/A2 |
l |
(2A2 -24)(cosA -cos2A)/A2 + 12(sinA + sin2A)/A |
|
|(48-A 2)(cosA + cos2A)/2A-(5A2 -48)(sinA -sin 2A)/A2
- (cos A - 2 cos 2A + cos 3A)/A
-^1 + C O S ((/W -1)A)J/A
В приведённой системе уравнений выделены столбцы и строки, добавление которых, по сравнению с системой уравнений, приведён ной в подразд. 1.4.3, обусловлено включением функции
в разложение (1.2).
Алгоритм решения
Текст Программы 1.6 на языке Си описывает вычислительный ал горитм, реализующий процедуру аппроксимации функции COSJC с ис пользованием иерархической системы кусочно-непрерывных полино мов 4-й степени.
Программа 1.6
//Аппроксимация функции. Система иерархических пробных функций
//Полиномы четвёртой степени
//Neчисло сегментов
//С массив для коэффициентов
//F массив правых частей
//х массив координат узлов
#define Ne 64 |
|
void main(void) |
|
{ long double xO, x l f h, |
C[4*Ne+l] [4*Ne+l] , F[4*Ne+l], x[Ne+l]; |
int i , k ; |
|
for(k=0; k<Ne+l; k++) |
x[k]=xO+h*k; |
for(k=0; k<4*Ne+l; k++)__________________________________________